易错04 一次函数与反比例函数（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错04一次函数与反比例函数易错陷阱一、一次函数忽略了函数定义的理解：一次函数定义为形如的函数，其中和是常数，且。易错总结：容易犯的错误是忽略了的条件，或者对函数的自变量和因变量的理解不清晰。例1．已知函数．(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？(3)若函数的图象经过点和，求m，n的值．【答案】(1)(2)(3)的值分别为【详解】（1）解：由题意得，即时，函数是一次函数；（2）解：由题意得，且，即时，函数是正比例函数；（3）解：函数图象经过点，即．又经过点，，解得，故的值分别为．例2．若关于的函数是一次函数，则的值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【详解】解：∵关于的函数是一次函数，∴∴即故选：C易错警示：易错警示：①若题目明确要求“一次函数”，接受的答案会违反定义，导致解题逻辑错误；②在求参数或交点时，若未排除，可能得到无效解（如水平直线与正比例函数无交点）变式1-1．已知关于的函数．(1)若该函数为二次函数，求的值；(2)若该函数为一次函数，求的值．【答案】(1)(2)，，【详解】（1）解：依题意，得，且，解得∴时，该函数为二次函数；（2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时，且，解得，当首项系数为零时，，解得和，综上，，和时，该函数为一次函数．变式1-2．一次函数的图象经过原点，则m的值为（

）A． B．C． D．且【答案】C【详解】解：∵一次函数

的图象经过原点，∴且解得：，故选：C．变式1-3．若函数是一次函数，则．【答案】【详解】解：函数是一次函数，且，．故答案为：．3易错陷阱二、一次函数y=ax+b中不理解a,b对函数图像的影响。一次函数中的决定直线的倾斜方向和增减性：当时，直线从左向右上升，函数值随自变量增大而增大;时则相反。决定直线与轴的交点位置，时交点在正半轴，时在负半轴，其符号与共同影响直线经过的象限。两者结合可全面描述一次函数的图像特征与变化规律。易错总结：不理解对函数图像的影响例3．对于函数，下列结论正确的是（

）A．当时，则B．它的图像经过第一、二、三象限C．它的图像必经过点D．y的值随x值的增大而增大【答案】A【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而减小，∵当时，，∴当时，，正确，符合题意；B、∵，，∴它的图像经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意；C、∵当时，，∴它的图像必经过点，原说法错误，不符合题意；D、∵，∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意．故选：A．例4．若一次函数（是常数，）的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是．【答案】【详解】解：对于一次函数（），当，时，函数图象经过第二、三、四象限，在函数中，，要使图象经过第二、三、四象限，则，即：的取值范围是，故答案为：．变式2-1．若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，∴一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，当一次函数的图象经过第二、四象限时，得：，解得：；当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，得：，解得：；综上所述，的取值范围是：．故选：B．变式2-2．直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故A不合题意；由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，一致，故B符合题意；由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故C不合题意；由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故D不合题意；故选：B．变式2-3．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：一次函数的随的增大而减小，．，，此函数的图象经过第一、二、四象限．故选：B．易错陷阱三、混淆反比例函数的增减性质反比例函数的图象及性质反比例函数的图象是双曲线图象性质（1）图象分别位于第一、三象限；（2）在每个象限内，值随值的增大而减小（1）图象分别位于第二、四象限；（2）在每个象限内，值随值的增大而增大对称性反比例的图像关于原点的对称易错总结：混淆对反比例函数增减的影响，可能记成时，在每个象限内，值随值的增大而增大，有时候还遗漏在每个象限内例5．已知点，是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，反比例函数的图象在第二、四象限，又，点在第四象限，点在第在二象限，．故选：D．例6．在函数（为常数）的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为．【答案】【详解】解：，反比例函数的图象经过第二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，点，在第二象限，，，点在第四象限，，，．故答案为：．易错警示：易错警示：错误关联的符号与图象所在象限，例如时误认为图像在二、四象限（正确应为一、三象限），直接影响函数性质的判断。在涉及面积计算、几何意义（如的绝对值与面积关系）或综合题中，可能因增减性错误导致后续推导全盘错误变式3-1．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，，解得，故选：D．变式3-2．点，，在反比例函数的图象上，且有，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴函数图象在二，四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大，由，可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为、的点在第四象限，则，∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，∴．故选：B．变式3-3．若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是．【答案】【详解】解：∵当时，，∴y随x的增大而增大，∴，∴．故答案为：．易错陷阱四、不会结合不等号与图象关键点函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案例7．若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵函数和函数的交点为，，，

，把A点的坐标代入得，，把代入得，解得：故选：A．例8．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．(1)求该反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：把点代入得：，∴，∴反比例函数的解析式为．（2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，∴，∵点是点关于轴的对称点，∴，∴．∴．（3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，所以根据图象得：不等式的解集为或．变式4-1．如图，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点．(1)求直线的函数表达式．(2)求点的坐标，并结合函数图象直接写出当时的取值范围．【答案】(1)(2)；【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点，，∴，解得：，∴直线的函数表达式为；（2）解：联立，解得：，∴；根据图象，当时，直线在直线上方，∴时的取值范围为．变式4-2．如图，函数与函数的图象交于点和点，点是点A关于轴的对称点，连接，．(1)分别求这两个函数的解析式；(2)求的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】(1)，；(2)16；(3)或．【详解】（1）解：把点代入得：，解得：，∴反比例函数的解析式为；把点代入得：，解得：；∴正比例函数的解析式为．（2）解：∵点是点A关于轴的对称点，，∴，∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，∴，∴，∴．（3）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，所以根据图象可得：不等式的解集为或．变式4-3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若，求的面积；(3)请直接写出当时，不等式解集．【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式为(2)的面积为6(3)【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，当时，，则，点A横坐标为2，，，，设点C坐标为，，，，当时，，即，把代入，解得：，一次函数表达式，反比例函数表达式为；（2），直线表达式，直线表达式为，由题意得：，解得：，，当时，，，；（3）由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值，当时，不等式解集为．易错陷阱五、应用题忽略自变量的取值范围应用题的处理方式：1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数的类型，若是一次函数可设为，若是反比例函数可设解析式为，然后求出对应的参数．2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式，并且要特别注意自变量的范围.易错提醒：学生在应用一次函数解决实际问题时，容易忽视问题的实际背景，或者不理解如何将实际问题转化为数学问题例9．为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元：(1)求A、B两种树苗单价各是多少？(2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】(1)90元，70元(2)A种树苗11棵，B种树苗10棵，1690元【详解】（1）解：设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，由题意可得：，解得：，答：A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元；（2）解：由题意可得：，，，，随的增大而减小，当时，元，当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时费用最小，为1690元．例10．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．(1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；(2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用．【答案】(1)且为整数)(2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元【详解】（1）解：；∵，，∴；函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数；（2）解：，，，因为取整数，所以x可取20，21，22，23，24，25，26，所以有种方案.在中，随的增大而增大，所以当时，最省钱，费用元，答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元．易错警示：易错警示：在初中应用题中忽略自变量的取值范围，会导致答案脱离实际或数学错误。例如，时间、人数等变量若取负值，结果将失去实际意义；此外，分式分母为零、根号下负数等情况会破坏解析式本身的数学合理性。考试中若未标注范围，可能因步骤缺失被扣分变式5-1．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．(1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？(2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；(2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人．【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元，由题意得：，解得，答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；（2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人，由题意得，解得：，∵，∴，∵是整数，∴，，；∴线路的年均载客总量为与的关系式为，∵，∴随的增大而减小，∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）∴（辆）∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，变式5-2．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围）(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？【答案】(1)(2)到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元(3)该化工厂资金紧张期共有5个月【详解】（1）解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：，由图可知：在函数图像上，，，当时，当时，设函数为，由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元，，由图可知，过点，，，，综上：，（2）解：在函数中，令，得，解得：，答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．（3）解：在函数中，当时，，∵，y随x的增大而减小，∴当时，，在函数中，当时，得解得：∴且x为整数；∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．答：该化工厂资金紧张期共有5个月变式5-3．为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为．(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若植物园面积为，求的值；(3)求植物园的最大面积．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：依题意得：，；（2）解：依题意得：，解得：，，，，即：的值是；（3）解：设植物园的面积是，则，，抛物线开口向下，当时，取得最大值，最大值为，植物园的最大面积为．【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形问题），一元二次方程的应用（与图形有关的问题），一次函数的实际应用（其他问题），二次函数的最值，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和函数解析式是解题的关键．易错陷阱六、一次函数与反比例函数图象识别时混淆一次函数与反比例函数综合题时，需注意两者的图像特征与参数关系。一次函数（形如）为直线，反比例函数（形如）为双曲线，需结合图像位置（象限分布）判断参数符号。易错提醒：联立方程求交点坐标时，注意代入消元并检验解的合理性。当题目涉及函数值比较或不等式时，应通过图像交点分析解集范围。若涉及几何问题（如面积），需结合坐标轴分割法或利用点的对称性简化计算。对于存在性问题（如特殊点或图形），需结合函数性质与几何条件分类讨论例11．如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误；B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故选项正确；C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误；D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，故选项错误．故选B．例12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为．【答案】【详解】解：∵另一个交点的坐标与点关于原点对称，∴另一交点的坐标为．故答案为：．变式6-1．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，且与过点的正比例函数图象交于点（点不在同一象限），则点的坐标为．【答案】【详解】解：点在第二象限，点在第一象限，点在第一或四象限，点，，分别在三个不同的象限，的图象经过其中两点，点C必在第四象限，且反比例函数的图象经过，，，，，与过点的正比例函数图象交于点，点与点关于原点对称，，故答案为：．变式6-2．一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点，(1)求该反比例函数表达式．(2)若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值．【答案】(1)反比例函数解析式为：；(2)或【详解】（1）解：点，都在反比例函数图象上，，解得，，，，反比例函数解析式为：；（2）解：，在一次函数的图象上，，解得，一次函数解析式为，把一次函数的图象向下平移b个单位长度，平移后的直线解析式为，令，整理得：，平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，，解得或变式6-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为.(1)，并求反比例函数的解析式.(2)已知点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点C，交函数（）的图象于点D.①当时，求线段的长；②若，结合函数的图象，直接写出m的取值范围.【答案】(1)，(2)①；②或【详解】（1）解：∵直线与函数（）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为，点B的坐标为.∴把点代入解析式得，解得；把点代入解析式得，故反比例函数的解析式为.故答案为：2（2）①根据题意，当时，点，当时，，，根据题意，得；②根据题意，时，，，根据，即得，∵过点P作平行于y轴的直线，∴当时，，由点A的坐标为在上，故，由，结合函数的图象，得或.1．下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，选项B正确，符合题意；故选：B．2．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，，，，一次函数的图象经过二、三、四象限，故选：D．3．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为．【答案】【详解】解：由图象可知，直线与x轴的交点的横坐标为3，当时，直线在x轴的上方，∴不等式的解集为，故答案为：．4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（

）A． B．1 C．3 D．0【答案】C【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，∴，∴n的取值可以是，故选：C．5．反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【详解】解：∵反比例函数中，∴函数位于第一、三象限，随的增大而减小，∴时，，解得：，即当，；时，，解得：，即当，，所以结合选项可知：符合题意，故选：．6．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（

）A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】C【详解】解：当时，，而，∴，∴过第三象限，不过第二象限，故甲同学说法正确，当，当时，，∴图象经过点，但这两点不关于直线对