2026年中考数学一轮复习：整式（附解析）

2026年中考数学一轮复习整式

一,选择题（共10小题）

1.如图，将两张长为小宽为〃的长方形纸片按图1,图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片

重叠部分分别记为①和②，正方形A8CO中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2

中阴影部分的面积分别记为S和S2.若知道下列条件，仍不能求S|・S2值的是（）

O

A.长方形纸片长和宽的差

B.长方形纸片的周长和面积

C.①和②的面积差

D.长方形纸片和①的面积差

2.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点”为AE的中点，连接FH,

将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为8,图2的阴影部分面积为6,则

图I的阴影部分面积为（)

21D.28

3.如图所示，两个正方形的边长分别为〃和儿如果。+〃=10.必=20,那么阴影部分的面积是（）

A.10B.20C.30D.40

已知整式nn_1其中为整数，〃为正整数,

4.M：anx+an_1x4-axx+cz0,a”，…m,aoa“W0,

且1|+•+⑷|+|ao|+〃=4,卜列说法：

①不存在任何一个〃，使得满足条件的整式W为二次三项式；

②若an^an-\+an-2+-+aI+ao»则满足条件的整式M之和为lr2-3x-5；

③满足条件的整式M共有22个；其中正确的个数是(

A.0B.IC.2D.3

5.若〃为正整数，贝U(Q・Q[-a)?=()

a个

A.B.2aaC.ailD.aa2

6.已知：n=(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)(2164-1)(232+l)(2M+1),则〃・2022的末位数字是()

A.1B.3C.5D.7

E.9

7.对于多项式：2x-6,3x-2,4x-1,5%+3,我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个

多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：2A-6-(4.r-1)=-lr-5,5x+3

-(3A--2)=2x+5,-2x-5-(2x+5)=-4x-10,给出下列说法：

①二为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除；

②至少存在一种“双减操作”，使其结果为2、-8；

③所有的“双减操作”共有5种不同的结果.

以上说法中正确的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

8.如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，

只要知道下列哪个图形的面积()

A.正方形①B.正方形②C.正方形③D.大长方形

9.如图，有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为〃，b,c,将三张纸片按图1,图2两种不同方

式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为八，面积为N，图2中阴影部分周长为/2,面积为

52.若S2-S1=(但普)2,则儿C的值为()

图102

35

A.-B.2C.-D.3

22

10.如图，用I块边长为。的大正方形，4块边长为人的小正方形和4块长为小宽为〃的长方形(〃>",

密铺成正方形/WCQ,已知面=2,正方形/WCD的面积为S,()

A.若。=2什1,则S=16B.若a=2b+2,则S=25

C.若S=25,则〃=2b+3D.若S=16,贝lja=2〃+4

填空题(共8小题)

11.已知3"=4,3"=2,则32"+〃值为.

12.单项式-TU2),3的次数是.

13.如果父=2,那么/〃=.

14.已知。加=7,an=3,则。"厂，的值是.

15.计算(2X103)X(6X106)的结果是(结果用科学记数法表示).

16.若。十〃=7,贝IJ/+2皿+庐=.

17.Cm-2)Un-a)的结果是关于小的二次二项式，则〃的值为.

18.计算,贝IJ?=.

三,解答题(共8小题)

19.先化简，再求值：(x+y)(x-y)-x(x-y)+2y2,其中x=]y=2.

20.已知(・3丁+2/一刍--3)•(・3x?)-X2*(4X3+/JX2-x+1)的结果不含有f和9的项，求加，〃.

(2)当4/?r=12+/广，2m+n=6时，贝ij2m-n=

(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：

①20252-2024X2026；

②2X(3+1)X(32+1)X(34+1)X(38+1)+1.

图1图2

25.如图，从一个长方形ABCO铁皮中剪去一个小正方形EFGH,长方形的长为（4a+2b）米，宽为（〃+〃）

米，小正方形的边长为人米.

（I）求剩余铁皮（阴影部分）的面积.

（2）当。=2,匕=4时，求剩余铁皮的面积.

26,用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形.

（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？

3

求

甲-

（2）利用（1）中的结论计算：〃?+〃=2,mn,♦

b

2026年中考数学一轮复习整式

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.如图，将两张长为小宽为〃的长方形纸片按图1,图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片

重叠部分分别记为①和②，正方形ABC。中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2

中阴影部分的面积分别记为S和S2.若知道下列条件，仍不能求S「S2值的是()

A.长方形纸片长和宽的差

B.长方形纸片的周长和面积

C.①和②的面积差

D.长方形纸片和①的面积差

【答案】D

【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证.

解：如图，设矩形的两边长分别是〃、b；阴影部分的长分别为下X、)，；

贝I」a+x=b+y,即：a-b=y-J,

，51=7+>2,S2=2xy；

.*.5i-S2=x2+y2-2xy=(x-y)2=(a-b)2=(a+b)2-4ab；

•・•矩形的面积是4,矩形的周长是2(a+b)；

故4、8是正确的；

乂因为①的面积是(/>-x)(a-y)②的面积是(a-x)(/?-y)；

(b-x)(a-y)-(a-x)(b-y)=(a-b)(y-x)=(a-b)2；

故③正确，

故选：D.

【点评】本题整式的混合运算的运用，熟记运算法则是解题的关键

2.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，己知点”为AE的中点，连接力，、FH,

将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为8,图2的阴影部分面积为6,则

图1的阴影部分面积为()

A.3B.19C.21D.28

【答案】B

【分析】设甲正方形边长为文，乙正方形边长为》根据题意分别得到(x+y)2=64,(x-y)2=6,两

式相加可得/+『=35,在图I中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得

阴影部分面积.

【解答】解：设甲正方形边长为弟乙正方形边长为y,则EF=y,AE=x+y=S,

(x+y)2=64,

.,..r4-j'2+2n,=64,

•・•点H为AE的中点，

：・AH=EH=4,

•••图2的阴影部分面积=Cx-y)2=/+/-2xy=6,

(x+y)2+(x-y)2=64+6,

••・/+)?=35,

，图1的阴影部分面积=/+/一品4・工一齐4・)，

=7+)?-2(x+y)

=35-2X8

=19,

故选：B.

【点评】本题考查了整式的加戒，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式

的变形.

3.如图所示，两个正方形的边长分别为〃和爪如果〃+〃=1（），"=20,那么阴影部分的面积是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可

看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线8”与

直线C。的交点为O（如图），则可看出△800与△石尸0、ABGF有关,用△BC。与。七CG尸的面积和

减去4BGF的面积可得阴影部分△BOO与丛EFO的面积，阴影部分和△CG/的面积可依据正

方形的边长。与〃各自求出.至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再

代入计算数值.

【解答】解：首先令直线B尸与直线CO的交点为O；

贝S^BDO+S^EFO=S^BDC+S^ECGF-S^BGF=a*a-Jrl+b*b-(a+ZO•〃+2;①

S△DEF=底EF•高DE+2=b・(a・b)4-2；②

SKGF=J&CG•高GF+2=b・b・2；③

・•.阴影部分面积二①十②+③

=a2^2+tr-(ab+岸)4-2+(ab-b2)+2+川+2

={a2+2b1-(ab+b2)+Cab-b2)+b2}^2

=(cP+〃2)4-2,④

由已知。+方=10,他=20,构造完全平方公式：

(a+b)2=102,

解得/+庐+2"=100,

/+户=100・2・20,

化简=60代入④式，

得60+2=30,

・二S阴影和分=30・

方法2：,:CF〃BD,

•••△8。尸的面积=/\8。的面积，

・•・阴影部分的面积=Z\8C。的面积+ACG/的面积=1(/+廿)，

•/a+b=10,ab—20,

A-(J+庐)=1(a+b)2-时=50-20=30：

22

故选：C.

【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面枳与三角形面积和正方形面枳的关系，同时考查了完

全平方公式的运用和符号计算变化.

nn-1

4.已知整式M：anx+an-iX+•••axx+a0,其中a〃，a”」，…ai,ao为整数,a〃K0,〃为正整数，

且i|+-+|ai|+|ao|+n=4,下列说法：

①不存在任何一个小使得满足条件的整式M为二次三项式；

②若an^an.\+an-2+-+a\+ao,则满足条件的整式M之和为lx2-3x-5；

③满足条件的整式M共有22个；其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据给定的条件逐条分析判断即可.

【解答】解：根据题意，陶1+⑸.什…+⑷田如什〃=4,且〃为正整数,a〃WO,据此逐项分圻判断如下:

说法①，当〃=2时，|a2|+|ai|+|ao|=2,。221,因此叫|+|闻=2-oaWl,

若s=l,则|m|+|ao|=l,此时最多有两个非零系数，无法构成三项式，

若6=2,则，即m=ao=O,仅一项，矛盾，故①说法正确，符合题意：

说法②：当〃=0时，整式M为：4,

当〃=1时，整式M为：x-2,2x+l,2v-1,3x,

当〃=2时，整式M为:7+1,x2-I,x2+x,x2-x,2x2,

当〃=3时，整式M为：

•••满足条件的整式之和为：x-2+2x+\+2x-1+3X+X2+1+.V2-I+x2+x+x2-x+Zi'+x3=X3+6X2+8X-2#2A?

-3x-5,故②说法错误，不符合题意；

说法③：由上述分析可知：

当〃=1时，可能的整式M为：x+2,x-2,-x+2,-x-2；2x+I,2x7,-2x+l,-2x~1；3x,-

3xi共10个；

当〃=2时，可能的整式M为：/+x,x2-x,-』+x,-x2-x；/+1,x2-I,-7+1,-/-I；2x2,

-2?；共10个；

当〃=3时，可能的整式M为：/，-?

总计满足条件的整式M的个数有：10+10+2=22.

说法③正确：正确说法有2个.

故选：C.

【点评】本题主要考自了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是

解题的关键.

5.若。为正整数，贝U(a・Q••…。产=()

a个

A.2B.2aaC.i/1D.一

【答案】A

【分析】根据乘方的意义可得Q个二a。，再根据基的乘方即得答案.

aa・・・・・a

【解答】解：•・•(。个)2=(aa)2=a2a,

a・a・・・・・a

故选:A.

【点评】本题考查了嘉的乘方，关键在于要根据乘方的意义进行计算.

6.己知：n=(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)(2I6+1)(232+l)(2M+1),则〃-2022的末位数字是()

A.1B.3C.5D.7

E.9

【答案】B

【分析】根据平方差公式进行简便计算.

【解答】解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)(264+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)•2^+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)(2.+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)(2.+1)

=(28-1)(28+1)(2,6+1)(232+1)(264+1)

=(216-1)(2,6+1)(232+1)(2M+1)

=32-])(232+1)(264+1)

=C264-I)

=2128-1,

VZI=2128-1,

・•・〃的末位数字是5.

・・・〃-2022的末位数字是3.

故选：B.

【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键.

7.对于多项式：2A--6,3x-2,4x-1,5x+3,我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个

多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：Zv-6-(4x-1)=-2x-5,5x+3

-(3x-2)=2x+5,-2x-5-(2x+5)=-4x-10,给出下列说法：

①工为任意整数时，所有''双减操作”的结果都能被2整除：

②至少存在一种“双减操作”，使其结果为2r8；

③所有的“双减操作”共有5种不同的结果.

以上说法中正确的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【分析】令A=2K-6,8=3X-2,C=4X-1,。=5工+3,所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D

四个整式前面增添两个“一”号和两个“+”号，据此列出所有计算结果，再逐一判断即可.

【解答】解：令A=2x-6,8=3x・2,C=4x-1,O=5x+3,“双减操作”结果是在4、B、C、。四个

整式前面增添两个“一”号和两个“+”号，

则有以卜几种计算结果：

(I)A+B-C-D=(2v-6)+(3x-2)-(4x7)-(5x+3)=-4x-10,

(2)A-B+C-D=(2x-6)-(3x-2)+(4.r-1)-(5x+3)=-8,

(3)A-B-C+D=(2x-6)-(3x-2)-(4x-1)+(5x+3)=0,

(4)-A+B+C-D=-(2A--6)+(3x-2)+(4x-1)-(5x+3)=0,

(5)-A+B-C+D=-(2A--6)+(3x-2)-(4x-1)+(5x+3)=2x+8,

(6)-A-B+C+D=-(2x-6)-(3x-2)+(4x-1)+(5x+3)=4x+10,

x为任意整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确；

不存在哪种“双减操作”，其结果为2x-8；故②说法错误；

所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解新定义，并准确列出所有可能结果的算式，并计

算.

8.如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，

只要知道下列哪个图形的面积（）

A.正方形①B.正方形②C.正方形③D.大长方形

【答案】B

【分析】要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设”/=x,HN=y,正

方形①的边长为。，正方形②的边长为b,正方形③的边长为c.进而推断出C六叱PIGRSD=

PI+IG+GR+RS+DS+PD=2a-2y+4b-2x以及。四边形08硒=0旭08+8£+标=2。・2x+2b-2y,那么，两

个阴影部分的周长之差为2b,所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两

个阴影部分的周长.

【解答】解：如图,

设〃/=x,HN=y,正方形①的边K为小正方形②的边K为心正方形③的边K为c,

ON=a-x,NE=b-y,PD=c+b-x,Pl=a-y,IG=b-x,GR=b-c,RS=c,DS=a+b-y-c»

；•C六边形p/GRSD=PI+/G+GR+RS+DS+PD=a-y+b-x+b-c+c+a+b-y-c+b+c-x=2a-2v+4Z?-2x,

Cw边形OBEN=ON+OB+BE+NE=a-x+b-y+a-x+b-y=2a-2x+2b-2y,

・'・C六边形PIGRSD-C四边形OBEN=2b,

・•・只要知道正方形②的边长人就可以求出两个阴影部分周长的差.

・•・只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差.

故选:B.

【点评】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键.

9.如图，有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为.，泊c,将三张纸片按图1,图2两种不同方

式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为小面积为Si,图2中阴影部分周长为/2,面积为

图1图2

35

A.—B.2C.-D.3

22

【答案】D

【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d,表示出S2,再代入S2-S=（匕言）

2即可求解.

【解答】解：设大长方形的宽短边长为力

・・・由图2知,d=b-c+a,

.*./I=2(a+b+c)+Cd-a)+(t/-c)+(a-b)+(/?-(?)=2a+2力+24,

ST=d(a+b+c)-cr-tr-c2>

/2=a+b+c+d+a+c+(«-b)+(/?-c)=3a+b+c+d,

S2=d(a+b+c)-ci2-b2+bc,

AS2-Si=bc+(rf

l\~h=b-c-a+d,

/.bc+c2=(b-c)2,

.\3hc=b2,

:,b=3c,

：.b：c的值为3,

故选：D.

【点评】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计匏方法是解题的关键.

10.如图，用1块边长为。的大正方形，4块边长为〃的小正方形和4块长为〃，宽为/，的长方形(〃>",

密铺成正方形ABC。，已知而=2,正方形ABC。的面积为S,()

A.若a=26+l,则S=16B.若a=2H2,则S=25

C.若S=25,则。=2人+3D.若S=16,贝I」a=2〃+4

【答案】C

【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据

正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定.

【解答】解：由题意，正方形A8C。的边长为。+24

ab=2,a>b>0,

若a=2b+l,则正方形A4c。的边长为a+2〃=4〃+l,b(2Z?+1)=2,

即2b2+b-2=0,

解得：。=当①(负值不合题意，舍去)，

717-1

:.b=

-4-

2=(4x^~1+l)2=17,

・・・S=(4b+l)

，选项A不正确;

若a=2b+2,则正方形4BCZ)的边长为a+2%=4〃+2,b(2/?+2)=2,

即序+b-I=0,

解得：言正(负值不合题意，舍去)，

.,_v'5-1

••u-2，

：.S=(4/7+2)2=(4x与i+2)2=20,

・•・选项B不正确；

若5=25,则(a+2b)2=25,

V«+2Z?>0,

，a+2Z?=5,

・・・。=5-2b,

:・b(5-2b)=2,

BP2力2-58+2=0,

1

解得：b\=2，b2=2,

当〃=/时，a=5-2h=4,

2什3=4,

此时，4=28+3；

当〃=2时，〃-5-2。=1,a<b,不合题意,

・••选项C正确；

若S=16,则(a+2b)2=16,

•・Z+2〃>0,

，〃+2〃=4,

：,a=4-2b,

：.b(4-2/?)=2,

即后-28+1=(),

解得：b\=bi=\,

当6=1时，。=4・2〃=2,2>4=6,

・・・〃工25+4,

，选项D不正确；

故选：C.

【点评】本题考查的是一元二次方程的几何背景，正确识图、一元二次方程求根公式是关键，

二,填空题（共8小题）

II.已知3。=4,3力=2,则值为32.

【答案】32.

【分析】将要求的式子变形为（3。）2X3"再代入求值即可.

【解答】解：・・・3。=4,3"=2,

...3%卅=3^x3、=（3D2x3-2X2=32,

故答案为：32.

【点评】本题考查了塞的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

12.单项式-心2,3的次数是j.

【答案】5.

【分析】根据单项式次数：单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数，直接求解即可得到答案.

【解答】解：由题意可得，2+3=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查单项式次数，熟知单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数是解题的关键.

13.如果./=2,那么x2n=4.

【答案】4.

【分析】逆用幕的乘方法则计算即可.

【解答】解：,・*=2,

，7"=（亡）2=22=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了累的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

7

14.已知"”=7,/=3,则/r的值是一.

一3一

7

【答案】］

【分析】同底数'寻相除，底数不变，指数相减，由此计算即可.

【解答】解：・・・"〃=7,/=3,

7

故答案为：

【点评】本题考查了同底数昂的除法，热练掌握运算法则是解题的关键.

15.计算(2X103)X(6XI06)的结果是一1.2X101°(结果用科学记数法表示).

【答案】1.2X1O10.

【分析】先根据单项式乘单项式法则计算，再用科学记数法表示即可.

【解答】解：(2X1()3)x(6X106)

=(2X6)X(103X106)

=I2X109

=1.2X10叱

故答案为：1.2X10叱

【点评】本题考查了单项式乘单项式，科学记数法-表示较大的数，正确计算是解题的关健.

16.若〃+/?=-1,贝IJ/+2。匕+必=|.

【答案】1.

【分析】根据完全平方公式直接计算即可.

【解答】解：•・•〃+》=・1,

：,cr+2ab+tr

=Ca+b)2

=(-1)2

=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键.

17.(w-2)Cm-a)的结果是关于，〃的二次二项式，则a的值为0或-2.

【答案】0或・2.

【分析】利用多项式乘多项式法则计算得原式=〃?2-(。+2)m+2a,结合(〃[-2)(m-a)的结果是关

于用的二次二项式，知2〃=0或。+2=0,解之可得答案.

【解答】解：(m-2)(m-a)

=m2-cun-2m+2a

=nr-（〃+2）川+2。，

•・•（〃L2）（m-a）的结果是关于m的二次二项式,

2a=0或〃+2=0,

解得a=（）或a=-2,

故答案为：0或-2.

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及多项式的概念.

18,计算/。/=/,则？=6.

【答案】6.

【分析】根据同底数哥的除法运算法则计算即可.

【解答】解：as^a2=as-2=a6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了同底数暴的除法，掌握同底数幕除法运算法则是解题的关键.

三,解答题（共8小题）

19.先化简，再求值：（x+y）（x-y）-x（x->,）+2y2,其中％=y=2.

【答案】冷叶/，原式=5.

【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x,y的值代入化简后的式子进

行计算，即可解答.

【解答】解：原式/・£+冷中2/

=xy^+y2,

当％=4，y=2时，原式=4x2+22=1+4=5.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

20.已知（-3/+27一母一3）・（-3/）-，・（4/+/7+1）的结果不含有d和f的项，求机，〃.

【答案】〃?=-I»n=-6.

【分析】先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后根据题意得出-（6+〃）=0,小+1=0,

即可求出加，〃的值.

【解答】解：（-34+21—2t-3）・（-3.1）-x2•（4xi+nx2-x+1）

=9小-6/+/一+9/-(4/+--/+/)

=94-6/+//+9/-4/-/

=5丁-(6+M)X4+(m+1)/+&*,

(-3/+2?-纵-3)*(-3?)-X2*(4?+HX2-X+1)的结果不含有x4和4的项，

-(6+〃)=0,/n+1=0,

in=-1,n=-6.

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则并理解多项式不含某•项的意义是解题的关键.

21.计算：(-a-b)(a-b)-(a+2b)2+(a-2b)2,当〃取2,〃取扣，求原式的值.

3

【答案】-$+/-&力；-11-.

4

【分析】利用平方差及完全平方公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可.

【解答】解：原式=・(a+b)(a-b)-(«+2/?)2+(a-2b)2

=-(-Z?2)-(fl2+4«/?+4b2)+cT-4ab+4b2

=-a2+b2-a2-4ah-4/?2+6/2-4ab+4b2

=-j+启-8"；

当a=2,时，

原式=-22+(-)2-8X2x1

22

=-4+1-8

3

=-11-.

4

【点评】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

22.如图1,从边长为。的正方形中剪掉一个边长为力的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，

如图2所示.

(1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式：〃2庐=(a+b)(a-b)；

(2)应用以上公式，解答下列问题：

①已知x-2y=3,x+2y=5,求7-4『的值；

②计算：20252-2026X2024：

(3)拓展:计算(22+42+62+82)-(12+32+52+72).

b

|_________|ab

a

图1图2

【答案】(1)a2-b2=(a+b)(a・6)；(2)®15；②1；⑶36.

【分析】(1)根据题中图形求解即可：

(2)①将原式因式分解，然后代入求解即可；②利用平方差公式求解即可；

(3)根据题意，利用平方差公式求解即可.

【解答】解：(1)根据图形可知，a2-h2=(a+b)(a-b).

故答案为：J-b~=(a+b)(q-b)；

(2)①x2-4y2

=(x-2y)(x+2y)

=3X5

=15：

②原式=20252-(2025+1)X(2025-1)

=20252-(20252-I)

=20252-20252+l

=1；

(3)原式=(22-I2)+(42-32)+(62-52)+(82-72)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7)

=3X1+7X1+11X1+15X1

=36.

【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题关健.

23.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2025年1月份的日历，我们任意选择

其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再用积较大的数减去较小的数，例

如：3X9-2X10,你发现了什么规律？

2025年I月

H―-二二四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

(1)将每个方框的左上角数字设为〃，请用含〃的式T表示你发现的规律：(〃十1)(〃+7)-〃(〃+8)

=7.

(2)请利用整式的运算对以上规律进行证明.

【答案】(1)(〃+1)(〃+7)-〃(〃+8)=7；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意用含〃的式子表示其余三个数，然后用含〃的式子表示发现的规律即可；

(2)根据整式乘法公式，把(/2+1)(,2+7)(〃+8)化荷，即可证明.

【解答】(1)解：设日历中所示的方框左上角数字为〃，则其余三个数从小到大依次是：〃+1,〃+7,〃+8,

・••规律用含〃的式子可表示为(〃+l)(n+7)-〃(〃+8)=7,

故答案为：(〃+1)(〃+7)-n(〃+8)=7；

(2)证明：•:(〃+1)(〃+7)・〃(〃+8)

=M+8〃+7-n2-8〃

=7,

/.(〃+1)(〃+7)-n(〃+8)=7成立.

【点评】本题考杳整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则.

24.从边长为〃的正方形中剪掉一个边长为〃的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图

2).

(1)上述