代数式与代数式求值的五类综合题型（压轴题专项训练） 学生版-2024华东师大版七年级数学上册

专题04代数式与代数式求值的五类综合题型

目录

典例详解

类型一、用代数式表示数的规律

类型二、用代数式表示图形的规律

类型三、已知字母的值，求代数式的值

类型四、已知式子的值，求代数式的值

类型五、程序流程图与代数式求值

压轴专练

典例详解

怎类型-、用代数式表示数的规律

1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项+前

项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。

2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如〃边形边数、点阵层数与

点数的关系，转化为含〃的代数式。

3.代数式构建：根据规律用字母（多为〃）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成常

见形式有一次式的+〃、二次式加+M+c等。|

例I.有一组数依次为/|,得，持，…按此规律，第〃个数为.（用含〃的代数式表示）

【变式1】观察下面一列有规律的数：；1，7了，白3，：74;，弓5，弓6，…根据规律可知第〃个数应是________.（〃

3815243548

为正整数）

【变式1-2］观察下面三行数：

-2,4,—8»16,-32,64,...；（T）

-1,5,-7,17,-31,65,...；②

-4,8,-16,32,-64,128...③

⑴第①行第8个数为；

（2）用含〃（〃为正整数）的式子表示第①②③行中第〃个数；

⑶设x,y,z分别为第①②③行的第2024个数，求x+）=z的值.

【变式1-3］如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。

ftn—田1+3=2?

图i

Bmi->KHBI1+3+5=3?

「Ilin

图2

1+3+5+7W

IIIII111III1I

图3

根据图形与等式的关系，解答下列问题:

⑴猜想1+3+5+…+（2“-1）=；（用含〃的等式表示，不用说明理由）

（2）利用（1）的结论，计算：1+3+5+…+2023.

，类型二、用代数式表示图形的规律

1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小

正方形个数、线段段数等的变化。

2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如s+6）、二次

增长（如加+c）等模式。

3.代数式验证：用字母〃表示序号,根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保

代数式的通用性。

例2.一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起.

O

O,

（1）2张桌子拼在一起可坐人,3张桌子拼在一起可坐人，〃张桌子拼在一起可坐

人.

⑵一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8

张大桌子，共可坐多少人？

【变式2-1］如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小

相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地横的边长均为

0.5米.

⑴按图示规律，第3个图案的长度%=；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为.

⑵若某个图案中带有花纹的地砖为〃块，求没有花纹的地砖块数.（用含〃的代数式表示）

【变式2-2】在一个A/智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程.如图所示,

小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律；

⑴若拼成的图形中含有4个三角形，则需要根火柴棒；

⑵若拼成的图形中含有〃个二角形，则需要根火柴棒；（用含有〃的式子表示）

⑶若每根火柴棒的长为3"，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为405k则拼成的图形中含有多少个

三角形？

【变式2-3】【观察思考】

如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有"A"或第1个图案中“A〃有4个，“▲”有4个;

第2个图案中“A"有8个，"▲〃有7个；第3个图案中"A”有12个，“▲"有10个；第4个图案中"A”有16个，

“▲第13个.

【规律发现】

（1）请求出第〃个图案中\"有个，"▲”有个；（用含〃的式子表示）

【规律应用】

（2）现有2025个按此规律制作围栏,要求加〃剩余最少,需要购买多少个“▲〃?

*.*/一■*育**

▲▲▲▲）

41▲，44

★上★^^金★▲★食

第I个图案第2个图案第3个图案第4个图案

覆类型三、已知字母的值，求代数式的值

1.代数式代入；明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对

有这样一道题："如果整式4+力的值为-4,那么整式2(4+2〃)+3々+〃〃的值是多少？

爱动脑筋的小明同学把a+〃作为一个整体进行求解.，解题过程为：

原式=2a+4b+3a+b

=5a+5b

=5(a+b)

=5x(-4)

=-20.

请仿照以上解题方法，解决下面的问题：

(1)已知/+。=5,求2/+2^+2022的值：

⑵己知々-2/?=-3,求3(a-Z?)-4&+5/？-5的值.

【变式4-2］理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法.例如：

若f+x=0，Md+x+1186=_;

我们将x2+x作为一个整体代入，则原式=0+1186=1186.

仿照上面的解题方法，完成下面的问题：

(1)若V+x—1=(),则/+犬+2024=_;

⑵如果〃+/=3,求2(a+b)---劭+21的值;

(3)若a-被=20,从+2〃〃=8,求a?+2〃+6"的值.

【变式4-3】先阅读下面的材料，再解决问题：

已知/+加+c=0,在求关于x的代数式的值时，可将Y+bx+c=0变形为、2=-版-°,就可将/表示为x的

一次多项式，从而达到“降次〃的E的.我们称为〃降次代换法〃

例如：已知/+2工一4=0,求代数式f(x+4)的值.

解：x2+2x-4=0>x2=-2x+4

原式=(-2x+4)(x+4)=-2f-8x+4x+16=-2x2-4x+l6

=-2(-2.r+4)-4.v+16=4x-8-4.r+16=8

/.f(x+4)=8

请用“降次代换法”完成下列各小题:

(1)若V+x—l=O,则代数式(x+4)(x—3)的值为.

(2)若f+5x+l=0,求代数式x2(x+5)+(x+7)(x-l)的值.

⑶若X2+2X-1=0,则代数式5丁+12/-x+3的值为.

■类型五、程序流程图与代数式求值

1.流程图解读：识别程序框类型：输入、输出、运算、条件判断)，理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值

与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。

2.代数式转化：将流程图中的运算步骤(如加减乘除、乘方)转化为代数式，确定输入值与输出结果的

代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。

3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符

合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致:

例5.如图，是一个简单的数值运算程序.

(I)请用含X的代数式表示输出的结果.

⑵计算当工=-2时，输出的结果.

【变式57]如图是一个“数值转换机”的示意图.

输冲

[()2

X3

3片

-(-1)

|输%?|

(1)写出输出结果(用含x的代数式表示)；

⑵填写下表：

X-2-102

输

出

X-2-1012

输出1341413

【变式5-2］有一数值转换器，原理如下图所示:

(I)如果开始输入x的值是1,可发现第一次输出的是4,第二次输出的是」第三次输出的是第四次输出

的是一，…；

⑵如果开始输入的数是II,可发现第一次输出的是14,第二次输出的是7,…，请你探索：第2017次输出

的结果是—和2018次输出的结果是

【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题：

(1)如图①，当输入数工=-4时，瑜出数y=；

(2)皿图②，第一个带？号的运算框内，应填；第二个带？号的运算框内，应填；第三个带？号

的运算框内，应填.

(3)如图③，当输入4时，则输出结果为.

压轴专练

一、单选题

I.当工=-3时，代数式2x+l的值是（）

A.7B.-7C.5D.-5

2.如果2冲+x=8,那么20+x-3的值为（）

A.-1B.\C.-5D.5

3.按如图所示的运算程序，若输入〃?的值是2,则输出的结果是（）

A.-1B.3C.-5D.7

4.按规律排列的一组数据：y,|,□,-jy,其中口内应填的数是（）

A.-B.-C.-D.W

31192

5.烷危是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、

植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷，乙烷，丙烷，…，癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉

文数字表示，如十一烷，十二烷，…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6,丙烷的化学式为

QA，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十一烷的化学式为（）

丙烷

A.B.C,,HC.G1H26D.

CHH2224CHH28

二、填空题

6.若2.r-3y=2,则6y-4x+\=.

7.若网=2,旦卜〃+〃|=〃2+〃，则仪=

8.按图所示的程序计算：若开始输入的工的值为-g,则最后输出的结果是—.

俯入x午:当£出站量/

9.大衍数列：0,2,4,8,12,…，来源于《乾坤谱》中对易，专“大街之数五十”的推论.对亍按一定规律

排列的数：0=匚」，2=—,4=—,8=—,12=—...,依此规律排列，则大衍数列的第10个数

22222

是，第H个数是.

10.如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数

为4,第2幅图形中“•”的个数为第3幅图形中“•”的个数为4,…，以此类推，%=

111

+—+—+……+—的值为.

4a2a20

第I幅图第2幅图第3幅图第4幅图

三、解答题

./\2O25

II.(I)若。，人互为相反数(〃，力均不为0),c,4互为倒数，加一1|=3,求竺&_5〃+3+〃?3的

200I刈

值；

(2)已知(x—5y+|)，+2|=0,求筋-3)，的值.

12.下面给出了如图所示的程序框图，进行计算.

图1图2

(1)如图1,若输入4=(，求输出结果；

⑵若在图1基础上增加一个计算程序“M”，如图2,若输入a=3,第一次运算得到Y,求输出结果.

13.［知识呈现］我们可把5（x—2），）一3（x—2），）+8（x—2），）一4（x—2.y）中的“x—2y”看成一个字母a,使这个

代数式简化为5a-34+8〃-々，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与

求值中应用极为广泛.在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单的问题.

【尝试应用】

（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为;（用含工、的式子表示）

（2）若丁+X=耳，则—/—X-1=；

【拓展应用】

（3）若代数式-+X+1的值为6,求代数式5-2/一2'的值；

（4）已知幼一c的值是最大的负整数，求3〃+劭-2（劝+。的值.

14.观察下面三行数：

2、-4、8、-16、32、-64.①

1、-2、4、-8、16、-32.②

0、6、-6、18、-30>66.③

取每一行的第〃个数，依次记为a,b,c.例如图中，当〃=2时，a=-4,b=-2fc=6.

（］）当〃=8时，a=,b=；

（2）是否存在某一列的三个数a,〃，c使得a+〃+c=1026?若存在，求出。和”的值；若不存在，请说明理

由.

15.用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律援放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，

第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推.

第I个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【规律发现】

（1）第6个图形中有个圆形棋子；

（2）第〃个图形中有个圆形棋子；（用含〃的代数式表示）

【规律应用】

（3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋了•全部用完.若能摆放成功，是第几个图形?

若不能，请说明理由.

16.阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为

广泛.例如：已知/+2〃=|,则代数式2c『+44+4=2(a2+24+4=2xl+4=6.

请你根据以上材料解答以下问题：

(1)若f-5x=2,；V一x—1的值为：

(2)当入-=-1时，代数式底+於+1的值是5,求当x=l时，代数式pf+qx+l的值；

⑶当x=2()24时，代数式五+版的值为〃?，求当x=—2024时，代数式/+版3+以—5的值(用含加的

式子表示).

17.【问题提出】

连接五边形八石的五个顶点和它内部的〃个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有

区域都变成三角形，可分得多少个三角形？(不计被分割的三角形)

【问题探究】

为了解决上面的问题，我们将运川归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律.

探究一：

如图①当五边形内有1个点时，可分得个三角形.

探究二：

当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？

在探究一的基础上，我们在图