高考数学二轮复习专项突破（全国版理）函数的新定义问题

微重点1函数的新定义问题

函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一

般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生

的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.

考点一特征函数

考向1高斯函数

例I（2022.长治模拟）已知函数/口）=工一团（[可表示不超过x的最大整数，例如

[-0.5]=-1）,则以下关于/U）的性质说法错误的是（）

A.述力是R上的增函数

B.是周期函数

C.7U）是非奇非偶函数

D.危）的值域是[0.1）

答案A

解析对于A,人1）=42）=0,故A错误；

对于B,因为7U+l）=x+l—[x+l]=x—口]=/5），所以凡r）是以1为周期的周期函数，故B

正确；

对于C,川.2）=1.2—1=0.2,人-1.2）=—1.2—（-2）=0.8,/.2）工/一1.2）,所以危）是非

奇非偶函数，故C正确；

对于D,根据区的定义可得4则OWA—[X]V1,即府）的值域是[0,1）,故D正确.

考向2狄利克雷函数

例2德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名

[1,x为有理数，

字命名的函数41）=八6工E岭称为狄利克雷函数，则关于函数7U）,下列说法正确的

[0,X为无理数，

是（）

A.火好的定义域为｛0,1｝

B._/u）的值域为[0』]

C.欢工））=0

D.任意一个非零有理数7,4丫+。=/5）对任意XWR恒成立

答案D

（I,x为有理数，

解析因为人r）=|以#而反

（0,x为无理数，

所以函数的定义域为R,值域为｛0』｝,故A,B错误;

因为yu)=o或./u)=i,且o与i均为有理数，

所以.软幻)=x0)=1或用3)=/U)=i，故c错误；

对于任意一个非零有理数r,若x为有理数，

则x+7也为有理数，则/(x+7)=/U)=l;

若X为无理数，则x+7也为无理数，则/u+7)=/u)=o,

综上可得，任意一个非零有理数7,yu+n=/(x)对任意x£R恒成立，故D正确.

考向3黎曼函数

例3(2022・新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德・黎曼发现并提出，

在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在［0』］上，其解析式如下：R(x)=

・5k肌4都是正整数，，是既约真分数),

.0,x=0,1或［0,1］上的无理数.

若函数兀1)是定义在R」二的奇函数，且对任意x都有人2+工)+42—幻=0,当x£［0,l］时，,火外

=〃3),贝1］心022)+/(一考/.

答案Y

解析・・7(2+x)+42—x)=0,

.*./(2+x)=—fl2—x).

又yu)是奇函数，

・\/a+2)=/(x_2),••爪4+x)=/(x),

・•・,“©的一个周期为4.

•・7(2+x)t/(2r)=0,

二令x=0,可得12)=0,

：.fl2022)=fl4X505+2)=fl2)=0.

小甯T竽一5。出)

=-哈)=-凝T

W+小甯t

考向4欧拉函数

例4(2022・重庆八中调研)若正整数〃?，〃的公约数只有1,则称机，〃互质.对于正整数小

»(〃)是小于或等于〃的正整数中与〃互质的数的个数，例如：°(3)=2,矶7)=6,叭9)=6,函

数9(〃)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是()

A.贝5)=3(10)

B.次2"—1)=1

C.(32)=15

D.g(2〃+2)>0(2〃)，〃仁N'

答案A

解析因为夕(5)=s(10)=4,故A正确；

因为当〃=4时，8(15)71,故B不正确；

因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,579,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,

共有16个，

所以奴32)=16,故C不正确；

因为当〃=2时，9(4)=夕(6)=2,故D不正确.

规律方法以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，

与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决.

1,A>0>

跟踪演练1(1)(2022•东北师大附中模拟)已知符号函数sgnx=]0,x~(),偶函数满

1»x<0,

足於+2)=/),当xw[0,1]时，,")=%,则()

A.sgn[/(A)]>0

(102n

B」E=I

C.sgn(A2HH)]=l伏WZ)

D.sgn[/(k)]=|sgn川仅£Z)

答案C

解析对于A选项，

sgn[/(0)]=sgn0=0,A错；

对于B选项，

°l°+g=X1)==B错；

对于c选项，

对任意的女£Z,人2k+l)=/(l)=l,

则sgn[/(2k+l)]=sgn1=1,C对；

对于D选项，取k=2,

则sgn[/(2)]=sgn[/(0)]=sgn0=0,W|sgn2|=1,D错.

(2)(2022.滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着广泛的

ax户工-X-aN

实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sin以=「一和双曲余弦函数cos法=-5—.

故是“保等比数是函数”；

一加|。”+「ln|%”|

对丁⑷，人知)一同斯|一ln|叫

_Ink,|+ln|^|In⑷-

1川小|—十ln|a广吊处

故yu)=ln|x|不是“保等比数列函数”.

(2)函数尸g(x)在区间m，川上连续，对m，切上任意两点AI与.口，有；$('%寸,

我们称函数g(x)在［a,b］±."严格上凹”,称函数g(x)在［a,句上为“凹函数”，若用导数的

知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即

g"*)>0.则下列函数中在所给定义域上“严格上凹”的是()

A.y(x)=log2%(x>0)

2

B.<X)=G+X

C./(X)=-X3+2X

D./x)=sin.r—x2(O<i<n)

答案B

解析由题意可知，若函数在所给定义域上“严格上凹”，则满足广⑴乂)在定义域内恒成立.

对于A,/(.r)=log2X(.r>0),

则/(©=(-'=一涡3<°在(°，+8)上恒成立，不符合题意，故选项A错误；

2

对于B,凡¥)=6+―

则((幻=看>0恒成立，符合题意,

故选项B正确；

对于c,yu)=—r+2t,

则/"(©=(-3.F+2)'=-6］，当x>0时，/(x)<0,不符合题意，故选项C错误；

对于D,/(A)=sinx—jr(O<x<n),

则/(x)=(cosx—Zv)'=—sinx—2<0在(0,兀)上恒成立，不符合题意，故选项D错误.

规律方法利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义.进一

步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹

函数，否则函数不是凹函数.

跟踪演练2(1)定义方程贝幻=/(幻的实数根助为函数人工)的“新不动点”，给出下列函数:

①g*)=2-'2；②或幻=—ex—2x；

@g(x)=lnx；④g(x)=sinx+2cosx.

其中只有1个“新不动点”的函数是.(填序号)

答案②③

解析对于①，g(x)=¥，

则/(x)=x,令*=x,

得x=0或A=2,

故函数g(.r)有2个“新不动点”，不符合题意：

对于②，g(x)=-e"一2x,

则g'(x)=—e*—2,

令一2A•=-8—2,得X=1,

故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意：

对于③，g(x)=lnx,则g，(x)=g

令A(x)—In.r—;(A>0),

人

则力'(工)=(+±=率>0.

所以以x)在(0,+8)上单调递增,

又/?(1)=—1<0,力(e)=l—£>0,

所以力(幻在(0,+8)上存在唯一零点xo,且x()£(l,e),即吊工=：有唯一实数根，

人

故函数g(x)只有1个“新天动点”，符合题意；

对于④，g(x)=sinx+2cos%,

则g'(x)=cosx-2sinx,

令sinx+2cosx=cosx-2sinx,

得3sinx=—cosx,

an1

即tanx=­y

囚为函数lank的周期为兀，

所以canx=-g的根有无数个，

故函数g(x)有无数个“新式动点”，不符合题意.

(2)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a,b£R,。★。为唯一确定的实数,

且具有下列三条性质：

(i)。★力=/?★“；(ii^/★0=a；(iii)(a★切★c=c*(")+(4*c)+(c,★力)-2c.

若函数火x）=x★;则下列说法正确的是.（填序号）

①函数7U）在（0，+8）上的最小值为3：

②函数人幻为奇函数；

③函数/（X）的单调递增区间为（一8,-I）,（1,4-00）；

④函数./U）不是周期函数.

答案①③④

解析对于新运算“★”的性质（iii）,令c=0,

则（“★/^★0=0*（。。）+3*0）+（0*。）=。力+。+瓦即。★0=aZ?+a+Z?.

.*.Xx）=v^=l+x+p

人人

当x>0时，J（x）=1+x+121+2^^=3,

当且仅当x=J,即x=iBr取等号，

・•・函数段）在（0,+8）上的最小值为3,

故①正确；

函数兀v）的定义域为（一8,0）U（0,+~）,

•・・/）=1+1+1=3,y（-i）=i-i-i=-i,

且加一1）壬ZU）,

・•・函数火划为非奇非偶函教，故②错误；

1d—11

/（K）=]_y=.,令/（x）>0，则行一1或所以函数/m）=l+x+q的单调递增区问

为（一8,—1）,（J,+°°）,故③正确；

由③知，函数八r）=l+x+:不是周期函数，故④正确.

专题强化练

a-d

1.（2022•眉山模拟）四参数方程的拟合国数表达式为y=-十或0°），常用于竞争系统和

计钞

免疫检测，它的图象是一条递增（或递减）的类似指数或对数的曲线，或双曲线（如尸□），还

可以是一条S形曲线，当以=4,b=—\,c=l,"=1时，该拟合函数图象是（）

A.类似递增的双曲线

B.类似递增的对数曲线

C.类似递减的指数曲线

D.一条S形曲线

答案A

3

解析依题意可得拟合函数为)，=7左7+1(.>0),

3.t,,3(X+1)-3.

即尸干+4g。),

l+xx+1

由)，=-?入>1)向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到丫=一高+4(心>0),

3

因为y=—;在(1,+8)上单调递增，

所以拟合函数图象是类似递增的双曲线.

2.若函数7U)对▼〃，力£R,同时满足：

(1)当。+1=0时,有人编一人份=0：

(2)当a+b>0时，有/(a)+/(加>0,

则称为。函数.下列函数中是。函数的为()

A.y(x)=x34-1

B.J(x)=x\x\

C.fix)=e~\~e~x

0,x=0,

D.Ax)=\1

uX

答案B

解析由条件(1)可知，对

都有人4)+人一。)=0,故凡r)是奇函数，

由条件(2)可知，当a>—Z?时，

故人幻是增函数，

对于A,4i)=V+l是增函数，但不是奇函数，故A不符合；

X2,x20,

对于B,.仆)=中|=|,

一尸，x<0,

是奇函数也是增函数，故B符合；

对于C,,/(幻=廿+屋。是奇函数，但不是增函数，故C不符合；

对于D,当M0时，Av)>0,而当心>0时，"r)〈0,故J(x)在定义域上不是增函数，故D不符合.

3.设/'(x)是函数y=/(x)的导函数，/'(x)是函数(x)的导函数，若方程/"(x)=0有实

数解x=xo,则称(刈，加)))为函数尸八。的“拐点”.经研究发现所有的三次函数段)=/

+"F+u+dm#())都有“拐点，，，且该“拐点”也是函数)，=人划的图象的对称中心.若函数

危-a则/岛5)+/(忐)+/(壶)+•••+/(瑞1)+/(揣)等于()

A.-8086B.-8082

C.8084D.8088

答案A

解析因为函数«r)=r—3f,

则f(x)=3x2—6.r,f'f(x)=6.r—6,

令((幻=0,解得x=l,且川)=一2,

由题意可知，火x)的拐点为(1,-2),

故内0的对称中心为(1,-2),

所以12—幻+/(幻=-4,

4043

2=一8086.

4.已知函数应丫)的定义域为。，若满足：①/U)在。内是单调函数；②存在区间口，b］,使儿6

在［。，句上的值域为［J，部那么就称函数小)为“。上的h类成功函数”.己知函数/)=

3一/是“(()，+8)上的&类成功函数”，则实数〃的取值范围为()

A.(0,21B.［0,2］

C.(0,2)D.(-2,2)

答案C

解析由题意知函数yu)=3-f是“(0,+8)上的左类成功函数”，

则段)在［a,b］上的值域为伍,3.

由;(%)在(0,+8)上单调递减,得Q0,

1^)=?

即方程在(0,+8)上必有两个不相等的实数根，

即3%一/=攵在(0,+8)上必有两个不相等的实数根.

设g(x)=3x—则原问题可转化为直线,)="与函数g(x)的图象在(0,+8)上有两个不同的

交点.

因为屋(%)=3-3『，当x£(0,l)时，屋(戏>0,

f

当。£(1,+8)时,g(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减，其图象如图所示，

所以在(0,+8)上，g(x)uu\=g(l)=2.

又g(0)=g(小)=0，所以04V2.

5.(2022・成都质检)设函数y=")在R上有定义，对于任一给定的正数p,定义函数力(幻=

fix),y(x)wp,

。则称函数/启)为7U)的界函数”.若给定函数/U)=.F—2X—1,〃=2,

p，./w>p，

则下列结论错误的是()

A./,8()))=A4，(0))

B-/p«i))=yw，(D)

c.q仿(2))=欢2))

D.胸⑶)=熬3))

答案B

解析因为贝幻二/一2JV—1,〃=2,

X2—2x—1,-1WXW3,

所以力(.()='

2,x<—1或x>3,

对于A,加(0))=以-1)=2,

/3(0))=4-1)=1+2—1=2,所以A正确;

对于B,加於))=」(-2)=2,

的(1))=/(-2)=4+4—1=7,所以B错误;

对于C,%6(2))=洪(-1)=2,

欢2))=/(—1)=2,所以C正确；

对于D,%(仅3))=伙2)=-1,

欢3))=人2)=-1,所以D正确.

6.(2022.重庆市育才中学模拟)在函数J(.r)上存在A,B两点，使0408=0,则称人幻为“正

交函数”.下列四个函数中不是“正交函数”的为()

A.fix)=x~2B./U)=cosx+1

C.J(x)=\nxD.J(x)=2x-2

答案C

解析由题意，要使yu)为“正交函数”，则yu)的图象与)，=出在相邻的象限上有交点即可,

对于A,儿1)=/2与),="的图象如图所示，符合题意;

对于B,凡r)=cosx+l与y=±x的图象如图所示，符合题意;

对于C,.«x)=lnx与y=±r的图象如图所示，只有一个交点，不符合题意;

对于D,凡》=2'-2与y=±Y的图象如图所示，符合题意.

7.(2022・武汉质检)某学生在研究函数凡1