高考数学二轮复习专项突破（全国版文）三角函数中ωφ的范围问题

微重点5三角函数中“，°的范围问题

三角函数中①，（P的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值（值域）、

单调性、零点等求口，伊的取值范围，难度中等偏上.

考点一三角函数的最值（值域）与物3的取值范围

例I（1）若函数府尸血（心一目（3乂））在［。，?上的值域是一挈1,贝IJ3的取值范围是

3一r3-

-3

・B"

A.2t

■-

7一r57

-D-

,一

2It72

-

答案B

解析因为①>0,所以当闻0,于时，

冗「nconn

s一片］一不T-4j-

又因为函数.凡0=$而（口.丫一?（60>0）在

0,Ml上的值域是一笔1,

所烤W等-台季

3

解得^WQ）W3.

（2）已知函数/U）=sin/x+acoscox（a>0,加>0）的最大值为2,若使函数_/U）在区间［0,3］上至少

取得两次最大值，则①的我值范围是.

答案［畸+8）

解析J（x）=sincox+4cosox

=414-«2sin（（yx+^）,

因为yu）max=、1+/=2,Q>0,

故a=小，

原式为府）=2sin（（ox+W）,

当yu）取到最大值时，①x+W=W+2E,kez,

当xG［0,3］,«v）取得两次最大值时，々分别为。和1,当％=1时，cox+3当+2兀，x=肾，

此时需满嗡<，

解得①2噂.

规律方法求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体代换cox±s，利用正、余弦函数的图象

求解，要注意自变量的范围.

跟踪演练I已知函数以尸sin（s+9）（①>0,磔<9的图象与直线尸1的相邻两个交点的距

离为兀，若对任意的低，与，不等式人此《恒成立，则8的取值范围是（）

A话,flB©,

眼f]D.e,§

答案A

解析因为函数y=/*）的图象与直线y=l的相邻两个交点的距离为兀，所以函数y=«x）的最

小正周期为7=兀，所以①=竿=2,

所以大幻=sin（2x+9）.

当（玄，4）时，自+”2X+9§+8.

因为一多卬专

所以一适〈五+8<73,咒+*.

又因为不等式危号对任意的不£彷，§恒成立，

解得完备崂

JT冗

因此9的取值范围是[正，不.

考点二单调性与口0的取值范围

例2（1）已知函数«i）=sin（cox+；）（①>0）在焦，上单调递减，则co的最大值为

答案10

解析/W=sin（s+g,

当xG（j6»且3。时，

neo,n.7tno）,n

记+i+z〈i_+不

因为加）在区间（卷目上单调递减，

所以（常+*詈+£）彳0+2*兀，自+2E）（k*Z）,

］器+”与+2而收Z）,

即<.

1詈+号或£+2E伙£Z）,

解得4+32左W①W10+16©k£Z）,

因为①>0,从而4WeyW10,

因此，0）的最大值为10.

（2）（2022.柳州模拟）若直线x是曲线y=sin（s-］（M>0）的一条对称轴，且函数y=

sin（3x-J在区间［o,自］上不单调，则出的最小值为（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因为直线是曲线）=sin（s—的一条对称轴，则*o—E=E+T,k£Z.即

①=44+3,kEZ,

由一卜3•一:V得一焉<W券则函数产加（5—孑）在［一看,含|上单调递增,

而函数产sin（3-：）在区间［（）,用上不单调，则含哈，解得①>9,

所以S的最小值为11.

规律方法若三角函数在区间［4,句上单调递增，则区间口，切是该函数单调递增区间的子集,

利用集合的包含关系即可求解.

跟踪演练2已知危尸si吟一9）（0<9<号在］。，,上单调递增，且凡I）在（°，芝）上有最小值，

那么9的取值范围是（）

答案B

解析由,可得—（/）,牛一8，

又由0＜9＜与且危）在0,j上单调递增，

可得争一衿9所以台94

当、£（。，华）时,2^_0£（_0,苧一°）,

由/（%）在（0,1上有最小值，可得与一0》竽，

所以

综上，狂冶.

考点三零点与巴伊的取值范围

例3（1）（2022•全国甲卷）设函数Ar）=sin（c0x+g在区间（0,兀）上恰有三个极值点、两个零点,

则co的取值范围是（）

A[i卷）8（3'号）

＜I]D盘,第

答案c

解析由题意可得M＞0,故由x£（o,兀），得住冗功+^）

根据函数凡r）在区间（0,兀）上恰有三个极值点，知当＜江3+太多，得号＜。后?

T5R

根据函数段）在区间（0,兀）上恰有两个零点，知2"3+43兀，得*:①若

13Q-

（片，3•

⑵（2022・龙岩质检）已知函数危）=2sin（s—5）+尔加＞0）,若.心）关于点（小I）对称，且/U）在

区间[0,1]上有且仅有3个零点，则/e）的取值范围是（）

A.-1,明B.[-1,小）

C.[-1,小+1）D.[0,小+1）

答案C

解析因为/（X）关于点（4,1）对称，所以）=1.

所以fix）=2sin［x-春）+1（30）,

令於）=0,则2sin（①x—专）+1=0,

即sin（cox_/）=一£,

因为X6［O,1］,

所以①*一7£［_不to—

因为儿丫）在区间［0,1］上有且仅有3个零点，

4-n19花

所以T右飞汗，

则2TTWQ）2^,

又/僚=2sin&Y）+l,

所以黑华戈序

则-iWsin曾一目＜察

所以一1W2sin律一目+1〈小+1,

即一1勺。〈4+1.

规律方法已知函数的零点、极值点求G,伊的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求

解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的

最大值、最小值点.

跟踪演练3设函数./（x）=sin（5：+M）（c»0），已知力t）在［0,2兀］上有且仅有5个零点.绐出以

下四个结论：

①/5）在（0,2兀）上有旦仅有3个极大值点；

②/&）在（0,2兀）上有目.仅有2个极小值点；

③/⑴在（0，点）上单调递增；

④口的取值范围是［3常.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

答案D

解析如图，根据题意知，mW27TV切，根据图象可知函教Hx）在（0,2兀）上有且仅有3个极大值

点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据融W2兀<皿，有誓W27K等,

JCtz»-»

得号。端，所以④正确；当x£（0,令）时，枭>+如学+率因为①湍，所以号+三

湍书，所以函数人幻在（0,聆）上单调递增，所以③正确.

jy~~\JA\_/29n7

5co

专题强化练

I.（2022・安康模拟）已知函数yU）=/UanQox+a>0,口>0）的图象向左平移,个单位长度后

与原图象重合，则实数①的最小值是（）

48

-政-

A.33C.yD.8

答案A

解析由题意可知，乎是该函数的周期的整数倍，即乎=》<七kez,解得“=竽2£Z,

又Q>0,故其最小值为东4

2.（2022・湖南六校联考）将函数Ar）=3sin（x-§的图象向右平移夕（0<8令）个单位长度后得到

g（x）的图象.若g（x）在像引上单调递增，则8的取值范围为（）

一兀兀]「兀7t~|

Ajj，2JB],2J

c[rT.J-T

答案B

解析企）=3$访（工一专一，，

、t，花571r.n2K

纵o『时l，一师L[e<y

由0<°<九，得一*£（一兀，0）,

得狂崂

3.已知①>击，函数./U）=sin（2Gx+g在区间e，平）内没有最值，则①的取值范围为（

B[*/

D[*1]

答案C

-

jrIT^rKII

解析由25+1=&兀+1kez,得吊=兀,kGZ,

因为函数./U）=sin（2s+W在区间停与）内没有最值，

所以对任意k£Z,都有4:嚏图4），

当①2=1时，争），故选项A,D不正确；

当①=非时，存在&=1使得*■兀=誉《停，嗡，故选项B不正确.

246（011\ZZ/

4.（2022・邵阳模拟）设函数7U）=sin（s+5）（①>0）,已知4%）在一专月上单调递增，则/U）

在（0,2兀）上的零点最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.5个

答案A

解析由-4+2EWcax+^w3+2E,A£Z,

2兀,2kli）〜兀，2kn

得京+京W后五十工,kGZ,

取2=0,可得一金;0W卷.

若加）在［一去月上单调递增,

4

解得0<SWQ.

若xW（0,2兀），则，"x+狂管，2①兀

设f=cox+^,

则2①兀+5），

因为2由+如儡V]-

所以函数丁=丽/在《，2/兀+3上的零点最多有2个.

所以_/（%）在（0,2兀）上的零点最多有2个.

5.已知函数./U）=sin（cox+8）（s>0,刷与，./■（一§=（）,©W卜传）恒成立,

且兀V）在区间

（一有为）上单调，那么下列说法中正确的是（）

①存在9,使得人r）是偶函数；

颤。）=借）；

③8是奇数；

④口的最大值为3.

A.①②③B.®®

C.②④D.②③

答案D

解析由凡r）w|/怎知为函数K用图象的一条对称轴，

所以用））=/停）

又/（-*。,

所以空.7="（一（H（“ez）,

2〃+】2兀

即4co枭WZ）,

即①=2〃+l（〃£Z）.

因为段）在（一自，立）上单调,

所以六拉克一（一盍）弋，

所以①W8,所以①max=7.

因为I夕I器,

所以

所以不存在夕，使得凡、•)是偶函数.

6.(2022•萍乡模拟)设函数yU)=sin3+j)在区间［a,上的最大值为M,最小值为小，

则M—in的最小值为()

A乎B.1

c.1-f-

答案B

解析当a,a+W时，

2_¥+不£［2〃+不2^+^+—J,

令2x+3=f,2a+：=力,

则问题转化为g(尸sin/在［/?,。+用上的最大值是M,最小值是加，

由正弦函数性质，可知g(i)=sin/的周期是2冗，要使得M一m最小，则g(f)的最大值或最小

值点是区间,力+到的口点，

由周期性，不妨取力+力+铝=兀或力+力+铝=3兀，即仁/或/?=?

J3oo

当/?弋时，M=l,m=siti^=2,M—"?=；,

当/?=*时，m=—\,/W=sin7n=

6

7.己知函数Ax)=，5sina，x—cossx®>0)在0,y内有且仅有1个最大值点和3个零点，则

co的取值范围是________.

答案件学)

解析/U)=，^sincox—coscox

=2sii/wx—,.,()WxW，

.冗-71con7t

・・一jWox—gW^一不

1316

解仔ZB丁

则①的取值范围是[呈号）.

8.（2022-济南模拟）已知函数人工）=cos（sx—：）（©＞（））,则下列说法正确的是

（填序号）

①若将儿6的图象向左平移今个单位长度，所得图象与原图象重合，则公的最小值为4；

②若尼）=/（｝），则①的最小值为1;

③若於）在卷兀）上单调递减，则”的取值范围为修，斗