高考数学一轮复习讲义：集合

堇

章集合.常用逻辑用语.不等式

§1.1集合

【课标要求】I.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或&表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数

正整有理

集合集(或自整数集实数集

数集数集

然数集)

符号NN•（或NQZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B,如果集合A中任意•个元素都是集合8中的元素,

就称集合人为集合8的子集，记作金会(或83/1).

(2)真子集：如果集合但存在元素且也,就称集合4是集合B的真子集，记

作A8(或BA).

(3)相等：若从口从且8UA,则A=A

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

运广、集合语言图形语言记法

并集UrWA,或AU4

交集UrWA,且

补集LrlxGU,且居川L®

【常用结论】

1.若集合A有，个元素，则集合A有2〃个子集，2”一1个真子集.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.4GB=A=AUB,AUB=A=8QA.

4.[MAn5)=(CM)U(C向,[MAU5)=([uA)n(CuB).

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合{x£N*=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){4y=f+l)={)，|)，=f+l}={(x,y)仅=/+1}.(X)

⑶若l£{f,x},则％=-1或x=l.(X)

(4)对任意集合A,B,都有(An8)U(AU8).(V)

(必修第一册PI4T4改编)设集合4=1|3《r<7},"={r|2<r<10}.贝〃等于()

A.{x|2<xW3}

B.{X7<xvl0}

C.{M2<x<3或7Wx<10}

D.{x|2<xW3或7<xvl0}

答案C

解析因为[RA={AU<3或x27},B={.r|2<v<10},所以&A)n8={限令<3或7这x<10}.

3.(必修第一册P35T9改编)己知集合A=[1,3,a2},B={1,。+2},若AU6=A,则实数〃

答案2

解析因为AU4=A,所以6QA,所以。+2£A.当“+2=3,即。=1时，4={1,3,1},不满

足集合中元素的互异性，不符合题意；当。+2=，时，〃=—1(舍去)或。=2,此时A={1、3,4},

B={1,4},符合题意.综上，实数a=2.

4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A=30<x<〃},B={X|0<A<2},若B£A,则实数a的取

值范围为.

答案［2,+8)

解析因为所以利用数轴分析法(如图)，可知。22.

■探究

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2023・长春模拟)已知集合4={。，)，)*+产=4},8={(x,)，)|x+)，=0},则APIA的

子集个数为()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析集合A={(x,)，)“一)2=4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，

集合y)Lr+y=0［表示直线x+y=0上的所有点，

因为直线x+y=0经过圆心(0,0),

所以直线与圆相交，

所以AA8的元素个数为2,

则4n8的子集个数为4.

(2)已知集合4={0,%/一3楸+2},且2£A,则实数加的值为()

A.2B.3C.0D.-2

答案D

解析因为集合4={0,肌,病―3机+2},且2WA,

则m=2或〃尸一3机+2=2,解得{0,2,3).

当〃?=0时，集合4中的元素不满足互异性；

当机=2时，,后—3机+2=0,集合A中的元素不满足互异性：

当机=3时，A={0,3,2},符合题意.

综上所述，〃2=3.

思维升华解决集合含义问题的关键点

(1)一是确定构成集合的元素.

(2)确定元素的限制条件.

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1(1)(2023•苏州模拟)设集合A={1,2,3},8={4,5},C={x+加W4,y£B},则。

中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

当a>0时，可得要使BUA,

〃>0,

则需要{1解得O<avl；

〔-Z〈f

当4Vo时，可得要使8GA,

4<0,

则需要{1解得一长汨0,

卜*，3

综上，实数a的取值范围是[一/1)

思维升华(I)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)已知集合M={My=产7,A-eR},N={Hr=〃?2,〃?匕W},则集合w,N

的关系是()

N.MNB.NM

C.MG〔RND.NG[RM

答案B

解析因为M="仅=，1—A2,x£R}={x|-1WxWl},2={m=〃,，机eM}={x|0Wx£l},

所以NM.

(2)设集合A="|—K+1W6},8={加-9<2加+1},当x£Z时，集合4的非空真子集

的个数为;当时，实数机的取值范围是.

答案254{〃巾"W-2或一1W〃?W2)

解析易得A={M—2WxW5}.

若x£Z,则从={一2,—1,0,123,4,5},即A中含有8个元素，

・・A的非空真子集的个数为28—2=254.

①当〃l122〃?+1,即"正一2时，8=0,8墨A：

②当m>-2时，B={A|W—1<x<2m+1}0,

in—12—2,

因此，要使8QA,则需L_一«解得一1W〃?W2.

26+1W5,

综上所述，m的取值范围是{卅mW—2或一1W〃忘2}.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2022・新高考全国I)若集合M={xgv4},N={x|3x21},则MAN等于()

A.30Wx<2}>

C.{.r|3^x<l6}D.A1<A<16

答案D

解析因为M={x巾<4},

所以M={x|0<x<16}；

因为N={x\3x^I),

所以N=x:

所以MCN=x；Wx<16.

（2）（多选）己知例，N均为实数集R的子集，且NC（［RA/）-0,则下列结论中正确的是（）

A.Mn&M=0

B.MU([RM=R

C.(CRM)U([RM=[RM

D.([RM)A([R^)=[RM

答案BD

解析・・・Nn([RM)=0,・・・NGW,

如图，若N是M的真子集，则MG(CRN)W0,故A错误;

由NUM可得A/U（「RN）=R,故B正确；

由NQM可得［:RN3［RM,故C错误，D正确.

命题点2利用集合的运算求参数的值（范围）

例4（1）（多选）已知A={M『+x-6=0},8={月加LH=0},且AUB=A,则〃?的值可能为

（）

A.—1B.；C.0D.—

答案BCD

解析由题意知4={.4F+x—6=0},

由f+x—6=0,解得x=2或x=—3,

所以A={2,—3},

因为AU8=4,所以4=4,

当8=0时，m=0,满足题意；

当8W0时，8={一《},

T=2或+-3,

解得小=_/或/n=|,

综上，m=o或一；或;.

(2)(2024.本溪模拟)设集合A=3x</},4={小>〃},若40([通)=4则实数。的取值范围

为()

A.[0,1]B.[0.1)

C.(0,1)D.(一8,0]U[l,+8)

答案A

解析因为8=,

所以CR8={MXW〃},

又AC([RB)=A,所以4G[建，

又A={x\x<cr},所以a?，

解得OW〃W1,即实数〃的取值范围为[0』].

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(多选)已知集合4=口*一2。0},B={x\\<x<3},贝立)

A.([R4)U5={X|0WX<3}

B.")08=31v<2}

C.AnB={M2<x<3}

D.AA8是{X[2<A<5}的真子集

答案ACD

解析由x2—2A>0,得x<0或A>2,

所以A={Mx<0或x>2},

所以CRA={M0WXW2},

对于A,因为B={x|la<3},

所以([M)UB={M0Wx<3},所以A正确；

对于B,因为3={x[l<r<3),

所以&4)08={加0£2),所以B错误；

对于C,因为A={x|xvO或x>2},B={A|1<X<3},

所以An8={x|2<_rv3},所以C正确；

对于D,因为AClB={M2<xv3},

所以AP8是{x|2<K5}的真子集，所以D正确.

(2)已知集合A,8满足A=J|X>1},8={小<〃-1},若AnB=0,则实数〃的取值范围为()

A.(—8,1]B.(—8,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

答案B

解析因为集合A,B满足A={X|A>1},8=(小<〃-1},且APB=0,

则1W1,解得aW2.

题型四集合的新定义问题

例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识

证明.群的概念则是群论目最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，是

G上的一个代数运算，即对所有的a,bGG,有a・b£G,如果G的运算还满足：①▽〃，b,

c£G,有3O)・c=°S・c)；②meEG,使得Va£G,有e・a=a-e=a；③X/aWG,使

ab=ba=e,则称G关于“•”构成一个群.则下列说法正确的有()

A.G={-1,O,1)关于数的乘法构成群

B.G=xA—kQZ,"0U{x|x=w,〃?6Z,〃?K0}关于数的乘法构成群

C.实数集关于数的加法构成群

D.G={〃?+啦川机，〃£Z}关于数的力口法构成群

答案CD

解析对于A,若6={—1,0,1},则对所有的a,bGG,有。乃£{1,0,-1)=G,

满足乘法结合律，即①成立，满足②的。为1,

但当4=()时，不存在〃£G,使得。乃="4=6=1,即③不成立，故A错误；

1I3

对于B,因为G=/£G,且〃=3£G,但a•方=/X3=^G,故B错误；

对于C,若6=区，则对配有的a,b《R,有。+》WR,

满足加法结合律，即①成立，满足②的。为0,

VaeR,Bb=-aER,便a+b=b+a=0,即③成立，故C正确；

对于D,若G={/〃+、E〃|〃?，ZIEZ},

则对所有的。=〃?|+也〃1,。=〃乃+地〃2£G,

有a+b=(/wi+/«2)+啦(川+〃2)£G,Vt/,b,c£G,(a+b)+c=a+(b+c)成立,即①成立,

当。=。=0时，a+也Z?=0,满足②的e=0,即②成立，

Va=，〃+y5〃WG,3b=-m—y[2n^G,使a+〃=Z?+a=O,即③成立，故D正确.

思维升华集合新定义问题的“三定”

(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.

(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并臬或补

集的基本运尊问题，或转化为数的有关运篦问题.

(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元言.

跟踪训练4(多选)设A为非空实数集，若对任意x,yWA,都有x+y£A,x-y£A,且丹仁4,

则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为()

A.集合4={-2,一1,0,1,2)为封闭集

B.集合A={川〃=2心ZEZ}为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若A为封闭集，则一定有。匕A

答案BD

解析对于A,在集合A={-2,—1。1,2}中，

—2—2=-4不在集合A口，，集合A不是封闭集，故A错误；

对于B,集合A={〃|〃=2A&£Z},

设x,y^A,则x=2ki,y=2左2,ki,左2《Z,

.•・x+y=2(M+%2)eA,x-y=2(k]—k2)^A,盯=42怖2》4,

・•・集合A={川〃=2&,zez)为封闭集，故B正确；

对于C,封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；

对于D,若A为封闭集，则取x=y,得x—y=0£A,故D正确.

课时精练

IY知识过关

一、单项选择题

1.(2022•全国乙卷)设全集U={1,2,345},集合M满足[uM={1,3},则()

A.2GMB.3£MC.4住MD.5住M

答案A

解析由题意知”={2,4,5}.

2.(2023・新高考全国I)已知集合"={-2,—N={x|f-x—620},则MGN等于

A.{-2,一1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D•⑵

答案C

解析方法一因为％={X*—1一620}=（-8,-2]U[3,+8）,

而M={—2,—1,0J,2）,

所以MCIN={-2}.

方法二因为M={-2,—1,0,1,2},将一2,—1,0,1,2代入不等式f—x—620,只有一2

使不等式成立，

所以MnN={-2}.

3.（2024.南京模拟）集合4={xGN|l<x<4}的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

答案B

解析A={x£N|l<x<4}={2,3},故子集个数为2?=4.

4.已知全集U,若集合A和集合5都是U的非空子集，且满足AUB=B,则下列集合中表

示空集的是（）

A.B.AC\B

c.（/汨）D.An（CuB）

答案D

解析由Venn图表示集合U,4,3如图，

由图可得（1以）门8=[射，AQB=A,（CM）n（[^）=C^,An（[t<4）=0.

5.（2024•绵阳模拟）已知A=[1,4,m2},8={1,〃?},若BG4,则/〃等于（）

A.0或4B.1或4

C.0D.4

答案A

解析•・•8CA且4={1,4,62},5={1,/??},

.*./«=4或m=m2,

当机=4时，A={l,4/6},/?=!1,4},满足题意；

当m=nr时,得m=0或m=1,

当〃?=0时，A={1.4.0},B={l,0）,满足题意；

当机=1时，代入集合中，不满足集合的互异性.

综上，/〃可取0,4.

6.已知M,N均为R的子集，若存在x使得且遥[RM则()

A.MC1NW0B.MUN

C.NJMD.M=N

答案A

解析因为居[RN,所以X£N,又因为所以X£MGN,故MANK。，故A正确；

由于题目条件是存在x,所以不能确定集合M,N之间的包含关系，故B,C,D错误.

7.已知全集U=R,集合A={x|0AxS2},一第>0},则图中的阴影部分表示的集合为

()

A.(一8,1]U(2,4-oo)B.(一8,0)U(l,2)

C.[1,2)D.(1,2]

答案A

解析6={x*—.0)}={.小<0或x>\},由题意可知阴影部分对应的集合为[

u(AC8)n(AU8),所以4cB={XlaW2},4U8=R,即[认=08)={小W1或x>2},所以

[440所(4v3)=(-8,1]U(2,+8).

8.设集合/={1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①Aj②|A|Wmin(A)(其中囿表示A中元

素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为/的一个“好子集”，则/的所有

“好子集”的个数为()

A.7B.8C.9D.10

答案B

解析当|川=1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1},{3},Q},{7}；

当囿=2时,即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7}；

当|川=3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7},

综上所述，/的所有“好子集”的个数为8.

二、多项选择题

9.已知/为全集，集合“，21,若MQN,则()

A.MUN=NB.MCN=N

C.[/MIOD.(LMCM=0

答案AD

解析因为MGM贝ijMUN=N,MAN=M,则A正确，B错误；

又/为全集，集合M,NQh则C/M2LN,([/N)nM=。，C错误，D正确.

10.已知集合4=3f=l},B=3or=l},且AUB=A,则实数。的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

答案ABC

解析A={x*=l}={-1,1},集合8表示关于x的方卷*=1的解集，

因为AUB=A,所以8但A,

当。=()时方程or=I无解，此时4=0,符合题意；

当8={1}时，4=1；当8={—1}时，一a=1,解得4=-1,

综上可得。=0或±1.

三、填空题

11.已知集合4={。，y)\x,y2x},B={。，))|工+)=8},则AG8中元素的个数为

答案4

解析根据题意，4GB的元素是x+y=8上满足x,y£N"且y2.i的点，即点(1,7),(2,6),

(3,5),(4.4).

12.已知集合人={1,2,3},8={〃?,4,5},且AU8中的所有元素的和为12,则〃?=.

答案一3

解析当切=1或帆=2或加=3时，AUB={1,2,345},

所有元素的和为15,不符合题意；

当/"r1且且6#3时，AU8={1,2,3,九4,5},

由题意得1+2+3+，〃+4+5=⑵所以〃?=—3.

13.高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加

了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是.

答案29

解析由题意画出Venn序，如图所示，

由Venn图知，参加比赛的人数为26,

所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.

14.对于任意两集合A,从定义其一8={.中£4且依8},4*8=(4—8)55一田,记/1={巾，20},

B={My=lg(9-f)},则8—4=,4*B=.

答案{R-3<xv0}{x|—30<0或％23}

解析由题意得4={小20},4=3—3y<3},所以4-8={.很23},4-4={吊一37<0}.因

此4*8=*1x23}U{A|-3<.r<0}={x|-3<v<0或x23}.

能力拓展

15.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金

从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论

建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2（XX）多

年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数Q