高考数学二轮复习专项突破（新高考版）抛物线的二级结论的应用

微重点17抛物线的二级结论的应用

抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础

知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准

确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常

用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.

考点一抛物线的焦点弦

【核心提炼】

与抛物线的焦点弦有关的二级结论

若倾斜角为伞若)的直线/经过抛物线尸=2〃如＞0)的律、点，且与抛物线相交于4但，

3(X2,贝)(》＞y2)两点，则

(I)焦半径08=制+^=二^，

出八=12—，

21+cosa

(2)焦点弦长八8|=即+总+〃=羔，

(3)%。相=寿力0为坐标原点)，

(4)X112吟，)仍=一〃2,

(5历j+丽='

(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切.

考向1焦半径、弦长问题

例1(1)已知”是抛物线C：V=4x的焦点，过点尸作两条相互垂直的直线/i，/2,直线八

与C相交于A，B两点,直线/2与C相交于。，E两点,则|AB|+|/)E|的最小值为()

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析如图，设直线人的倾斜角为仇〃£«),9,则直线/2的倾斜角为方+〃，

由抛物线的焦点弦弦长公式知|48|=幼20=布4，

国=.急拼=%

4,4416

・•・伊明+|OE|=而跖+五年=sin219cos2。=siMze》16

当且仅当sin28=1,

即9=彳时取等号.

・・・|AB|+|DE1的最小值为16.

（2）斜率为小的直线经过抛物线尸=2/八。＞0）的焦点F与勉物线交于A,B两点，A在笫一象

限且|AQ=4,则|A8|=.

答案竽

解析直线/的倾斜角«=60°,

由所任才明

得p=4(l—cosa)=2,

46

用-

-%-3

SI1n-

4

考向2面积问题

例2（2022・长沙模拟）已知抛物线C），2=16］，倾斜角为季的直线/过焦点尸交抛物线于A,

8两点,O为坐标原点，则△AB。的面积为.

答案64

解析方法一（常规解法）依题意，

抛物线C：）2=&的焦点为/（4,0）,

直线/的方程为X=小厂H.

尸小），+4

由“消去X,

得产一16小y—64=0.

设A(X[,y1),8(X2,”)，

则yI+”=16小，yD2=-64.

5皿8=热—刈。/1

=2、3+»）2—4州），2

=2^/（l6V3）2-4X（-64）=64.

方法二（活用结论）依题意知,

抛物线V=16x,〃=8.

又/的倾斜角。兰.

所以^OAB=2^=~^-

-=64.

n

2sin

6

ii2

考向3所+而=万的应用

例3（2022•“四省八校”联考）已知抛物线＞2=4]，过焦点产的直线与抛物线交于A,8两点,

则2|AF]+|BQ最小值为（）

A.2B.2#+3

C.4D.3+2也

答案D

解析因为〃=2,

1I2

所以西+丽=厂1，

所以2HF1+IBM

=（2|AQ+|6〃）•扁+壶）

…眄」欧

一）十|8月十

-3+27IB“|AF|-3+2匕

当且仅当|88=啦3用时，等号成立，

因此，2|Afl+|B/q的最小值为3+26.

*：AB=3FB

，〃为八”的二等分点.

令阳用=/,则依用=23

2

由-

广»

〃

13

得-

-4

2/

9

.•・|A8|=3，=取,

又网=悬，

・2p9一.2A/2

••sin2a="%ina=3,

又SAAOB=

・,2sina-3网

即巅=手2P-2,

3

9

:.\AB\=2.

（2）（多选）已知抛物线C：r=4y,焦点为凡过点尸的直线与抛物线交于A,B两点,该抛物

线的准线与），轴交于点M,过点4,B作准线的垂线，垂足分别为〃，G,如图所示，则下列

说法正确的是（）

A.线段A8长度的最小值为2

B.以A8为直径的圆与直线），=一1相切

C.ZHFG=900

D./AMO=/BMO

答案BCD

解析如图，取A8的中点为C作。_LG”，垂足为D,

当线段为通径时长度最小，为2P=4,故A不正确;

•・•直线y=-I为准线，

：.\CD\=^\AH\+|8G|）=枭阴，

故以48为直径的圆与准线丁=-1相切，

故B正确；

又|8/1=|BG|,:"BFG=/BGF,

又BG//FM,

/.NBGF=/MFG,

：,/BFG=/MFG,

同理可得ZAFH=ZMFH：

又N3FG+NA/PG+NMFH+180。,

：,FG1FH,

即N"FG=90。，故C正确;

设4（即，yi）,Wn，”），

y=H+1,

工直线4B：y=H+l,由\

Lr=4.y,

得x2—4履一4=(),

•,«X|A'2=-4,X\+X2=4^,

A+1+/+1

5+2।止+2

XI

AL

=2k+2--=0,

一4

ZAMO=NBMO,故D正确.

考点二定点问题

【核心提炼】

抛物线方程为尸=2/〃0>0),过(2〃，0)的直线与之交于A,B两点,则OA_LO3,反之，也

成立.

例5如图，已知直线与抛物线『=2〃)，交于A,8两点，且。A_LOB,OO_LAB交AB于点

D,点。的坐标为(2,4),则〃的值为()

35

C--

22

答案D

解析如图，令A8与y粕交于点C,

・・・OAJ_OB,

・・・A8过定点C(0,2p),

又。(2,4),

.*.CD=(2,4-2p),00=(2,4),

DODIAS,

:.cbob=o,

即4+4(4-2/?)=0,

解得〃号.

易错提醒要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需

证明该结论.

跟踪演练2已知抛物线y=4x,A,8为抛物线上不同两点，若OA_LO8,则△AOB的面积

的最小值为.

答案16

解析如图，VOAYOB,

，直线A8过定点(2p,0),

即点C坐标为(4,0),

设直线A8：x="+4,4(川，yi),Bg”),

x=)+4,

联立、=>/-4r>-16=0,

y~=4x

/=16尸+64>0,y\+.V2=4f,_vi>,2=—16,

・•・S^OB=^OC\\yi-yA=2比一”|=2^/16?+64,

・••当f=0时，Smin=16.

专题强化练

1.(2022・荷泽模拟)设坐标原点为O,抛物线)，=4x与过焦点的直线交于人，8两点，则方•协

33

--c33

A.4B.-4D.-

答案D

解析方法一抛物线)2=飘的焦点为/(1,0),

设直线AB的方程为x=(y+l,4(即，9)，

卜=0，+1,

8(12,中)，由，24

lr=4x,

2?

得j?—4/)—4=0,

/=16*+16>0恒成立，

也8+”=4，

则

)仇=一4,

所以O4OB=xiX2+yi”

r,

+

V.TV54

4yDJ2=77+(-4)=-3.

方法二因为A8过抛物线的焦点,

设4gv),8ct2,闻，

所以。4・OB=xiX2+yiy2=-3.

2.如图，过抛物线V=8x的焦点广的直线/与抛物线交于A,8两点，与抛物线准线交于C

C.10D.12

答案B

解析如图所示，

令|〃F|=/,

贝”|=八

又8为AC的中点，

：.\AA'\=\AF]=2t,

：,\BC\=\AB\

=\AF]~\~\BF]=3t,

又△CBB'sRCFE,

.I

,,|CF1-\FE\'

日

即n市3/t.3

9

，|4B|=3f=Wp=9.

3.倾斜角为前勺直线/交抛物线C：V=2川3>0)于A,8两点，且04J_OB,S_MO8=8小,

则抛物线C的方程为(

A.)2=2B.)r=4x

C.>2=4曲D.y2=8x

答案B

解析,：OAVOB,

・•・直线过定点(2p,0)

设直线/的方程为x=y+2〃，

设A(xi,yi),3(X2,y2),

.r=y+2p,

联立｛o得y2—2pv—4〃2=0,

ly-=2pxt

/=4/_4X(-4〃2)=20p2>0,

:.y\+)空=2p,y\)^=-4p2,

S^AOB=^2p-\y\—y2\

=2

r\Z(yi+>'2)-4yiy2

=〃7筑+I6〃2=2\/5p2—8小，

:•p=2,

，抛物线c的方程为r=4.v.

4.直线/过抛物线)2=8的焦点F,交抛物线于4,B两点，且|AQ=3用H，过4,B分别

作抛物线C的准线的垂线.垂足分别为A',8',则四边形AB夕A'的面积为()

A.4小B.8小C.16V5D.32小

答案C

解析不妨令直线/的倾斜角为仇

则忸F|="27=7W，

1—cos01—cos9

।期=1+黑0=l+；os夕

又抬尸|=3|BQ,

•且一，

**l-cos<91+cosO'

解得cos8=3,

又何0,兀），・・・>=J

33

・・・HF1=L-7=6,|BF1=H-~=2,

1—cos0I+cos0

：.\AA'|=6,阿’|=2,

：-W8,|=H8|sin9=8X乎=4小，

:・Stil形488A1=：X（2+6）X4小=164.

5.（多选）（2022・聊城模拟）已知抛物线Cy2=2p%（p>0）的焦点/到准线的距离为2,过F的直

线/交抛物线。于A,8两点，贝1」（）

A.C的准线方程为\=一2

B.若|AQ=4,则|。川=4

C.若一孙|明=4尸,则/的斜率为共

D.过点人作准线的垂线，垂足为〃，若x轴平分则|/川=4

答案BCD

解析因为抛物线C：产=2川0»0）的焦点/到准线的距离为2,所以〃=2,

所以极物线方程为尸=4x,则焦点RIQ）.准线为X=-1.故A错误:

若HF|=4,则见=3,所以次=4.%=12,

所以|。川=，点+算=小T,故B正确；

设直线AB的倾斜角为a,«G（0,7i）,

2

|A归/]=7L.,[P=q.?；=4〃2,

1—cosa1+cosasm-a1

••sin0(=彳,

・・・a=30。或150。,

/.tana=±^,故C正确;

对于D,若x轴平分N"FB,则NOF〃=NOFB,又人〃〃x轴,

所以/AHF=ZOFH=N0FB=ZAFH,

所以HF=AF=AH,

r巾+切

所以i-XF即以=3,

所以忸用=儿+1=4,故D正确.

6.（多选）（2022.武汉模拟）斜率为k的直线/经过抛物线C：32=2〃工（〃>0）的焦点F,且与抛物

线C相交于A,B两点，点A在x轴上方，点M（—l,—1）是抛物线。的准线与以43为直

径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A.p=2B.k=-2

C.MFLABD.牌=]

答案ABC

解析由题意知，抛物线C的准线为X=-1,

即g=1,解得〃=2,

故选项A正确;

•・・〃=2,所以抛物线。的方程为/=4右其焦点为

•.•以A8为直径的圆与准线相切，

・••点M(—I,—1)为切点,

，圆心的纵坐标为一1,即4B中点的纵坐标为一1,

设A8：x=ty+1,

x=)+l,

联立,

,y2=4.v,

得)"4)_4=0,

』=16尸+16>0,

"+”=4/=一2,

/=一；,即4=—2,故选项B正确;

-1-01

•・7=—2,^WF=__||=2»h,广左=-1»

：.MFLAB,故选项C正确;

过4作轴，过B作B8|_Lx轴,

抛物线的准线交工轴于点C,设/BFBi=e,

1—cos6/

\AF]=-..P

14-cos0

又〃=2,k=—2,则cos。=坐，

.|M|_5-V5_(5-A/5)2

-I尸用-5+小一25-5

30-10753-A/5

=20=2，

故选项D错误.

7.已知抛物线)2=4X的焦点为R过点尸