高考数学一轮复习题型突破：求轨迹方程（原卷版）

专题9.7求轨迹方程

SI题型目录

题型一直接法

题型二定义法

题型三相关点法

题型四交轨法

题型五参数法

题型六点差法

题型七利用韦达定理求轨迹方程

才典例集练

题型一直接法

例1.（2022秋.高三课时练习）若动点。到定点尸（1,0）和直线/：），=0的距离相等，则动点P

的轨迹是（）

A.线段B.直线C.椭圆D.抛物线

例2.（2023•四川成都・成都七中校考模拟预测）如图,在平面直角坐标系屹y中，直线/:x=-2

与x轴交于点A,过/右侧的点P作垂足为M,且|PA|=|PM|+|OA|.

⑴求点尸的轨迹C的方程;

举一反三

练习1.（2023春•福建莆田•高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系xQy中，

&6,0）,5（6,1）点P满足|P。=2|网，则动点P的运动轨迹方程为；|咫+2附|的

最小值为

练习2.（2023•山东泰安•统考模拟预测）点/，到定点厂（3.0）的距离与到工=5■的距离之比为

则点P的轨迹方程为—，P与4―5,0）,8（5,0）连线的斜率分别为小,K2t则（+勺2

的最小值为一.

练习3.（2023秋.湖北•高二统考期末）已知平面内点户与两定点。（-2.0）.。式2.0）连线的斜

率之积等于

4

⑴求点尸的轨迹连同点。，0所构成的曲线C的方程；

练习4.（2023年新课标全国H卷数学真题）在直角坐标系中，点P到1轴的距离等于

点P到点（。$）的距离，记动点P的轨迹为W.

⑴求W的方程；

练习5.（2022秋•高二课时练习）在直角坐标系中，已知点4（-2,2）,8（2,2）,直线人M,

BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足：kAM-Q=-2.

（1）求点M的轨迹C的方程；

题型二定义法

例3.（2023秋•高二课时练习）已知AABC的三边a,b,c成等差数列，且。＞方＞。，A、C

两点的坐标分别为（-1,0）,工0）,则顶点B的轨迹方程为.

例4.（2023•广东广州•广州市培正中学校考模拟预测）如图，在“8。中，点A（-l,0）,8（l,0）.

圆/是AABC的内切圆，且C7延长线交A8于点O,若G=2击.

（I）求点。的轨迹C的方程;

举一反三

练习6.（2023・全国•高三专题练习）已知圆A：（X+2>+），2=9,圆8：（x-2）2+/=I,

圆。与圆A、圆8外切，求圆心。的轨迹方程£

练习7.（2022秋・贵州遵义•高二习水县第五中学校联考期末）已知点片（-2,0）,圆

/s：（x-2）2+y2=32,点。在圆巴上运动，的垂直平分线交。用于点

（1）求动点。的轨迹的方程C;

练习8.（2023・上海・华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点A民满足

[4臼=6,|^4|一|叫二|叫—|附|=4,忸陷=2,卜.=3,则相丽=.

练习9.（2023・吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设A（-2,。），圆

«:（X-2）2+/=4（8为圆心），P为圆8上任意一点，线段八尸的中点为Q,过点。作线段

AP的垂线与直线即相交于点/?.当点，在圆8上运动时，点Q的轨迹为曲线G，点A的轨

迹为曲线G，则下列说法正确的有（）

A.曲线G的方程为/+/=1B.当点Q在圆8上时，点。的横坐标为:

c.曲线G的方程为/-9=1D.G与G无公共点

练习10.（2023•河南驻马店•统考二模）已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E,点

E关于坐标原点。的对称点为八且|所|=4,直线《I/?,垂足为A,线段”的垂直平分

线与直线4交于点8.记点8的轨迹为曲线C.

（1）求曲线。的方程.

题型三相关点法

例5.（2023春•上海徐汇高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为2x2-.v2=2.

⑴直线V=工+"?截双曲线。所得的弦长为4&，求实数m的值；

（2）过点（2,-1）作直线交双曲线。于P、Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

例6.（2023•黑龙江大庆•大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系.iQy中，已知点

LUUUIU..

。（3,0）,动点P满足：过点P作直线4-1的垂线，垂足为。，且OP.CQ=0,则|尸。的最

例8.（2023・湖南•校联考二模）已知耳心为双曲线=的左右焦点，且

crly

该双曲线离心率小于等于近，点M和N是双曲线上关于x轴对称非重合的两个动点，

2

为双曲线左右顶点，的耳卜|例周二4,|岫|+附用＞2+将恒成立.

⑴求该双曲线C的标准方程；

⑵设直线NA和MA2的交点为P.求点P的轨迹方程.

举一反三

练习16.（2022秋・山西阳泉•高三统考期末）已知过点“（8,0）的直线交抛物线£:y2=8x于

A,3两点,O为坐标原点.

（1）证明：OAA.OB-,

（2）设尸为抛物线的焦点，直线与直线x=T交十点直线吹交抛物线与C0两点

（AC在x轴的同侧），求直线AC与直线8。交点的轨迹方程.

练习17.（2023・全国•高三专题练习）已知用N是椭圆*+亲■=中垂直于长轴的

动弦，48是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和N8的交点P的轨迹方程为

练习18.（2023春•江西•高二校联考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标

轴上,且经过A（y0）、B（4,0）、C（2,3）三点.

⑴求椭圆E的方程；

⑵若过右焦点巴的直线/（斜率不为0）与椭圆E交于M、N两点，求直线AM与直线BN的

交点的轨迹方程.

练习19.（2023・吉林•统考模拟预测）已知双曲线=的左、右顶点分别为

ab

A（-l,O）,B（hO）,动直线;过点M（2,0）,当直线/与双曲线C有且仅有一个公共点时，点8

到直线/的距离为立

2

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵当直线/与双曲线C交于异于AE的两点RQ时，记直线A尸的斜率为勺，宜线8Q的斜率

为右.

（i）是否存在实数％,使得公=丸占成立，若存在，求出/I的值；若不存在，请说明理由；

（ii）求直线AP和BQ交点后的轨迹方程.

练习20.（2023・河南•校联考模拟预测）已知抛物线。：^=2〃），（〃>0）的焦点/到准线的距

离为2,直线/：），=Nx-4）与抛物线C交于P,Q两点，过点P,Q作抛物线C的切线/”加若

交于点M，则点M的轨迹方程为.

题型五参数法

例9.（2022・全国•高三专题练习）已知点A（l,0）,E,F为直线上的两个动点，且

AE±AFf动点P满足9//砺，FO//OP（其中。为坐标原点），求动点尸的轨迹。的方

程.

例10.（2022・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，4-6,0）,出石,0）,。是

满足ZACB=］的一个动点.求△A3C垂心H的轨迹方程.

举一反三

练习21.（2023・广东•校联考模拟预测）已知抛物线），2=x+l,定点A（3,l）,8为抛物线上任

意一点，点尸在线段48上，且有8P:E4=1:2,当点3在抛物线上变动时，求点尸的轨迹

方程，井指出这个轨迹为那种曲线.

练习22.（2021・贵州・统考二模）在平面直角坐标系xQy中，椭圆。的中心在坐标原点，焦

点在坐标轴上，点尸（2,-1）和点Q［瓜岑\为椭圆C上两点.

（I）求椭圆C的标准方程；

（IDA,8为椭圆C上异于点/，的两点，若宜线姑与松的斜率之和为0,求线段A3中

点M的轨迹方程.

练习23.（2011秋•辽宁•高二统考期中）如图，过抛物线y2=2px（的顶点作两条

互相垂直的弦OA、OB.

⑴设OA的斜率为上试月k表示点A、B的坐标

⑵求弦AB中点M的轨迹方程

练习24.（2021秋•辽宁抚顺•高二校联考期末）已知A（X,y）,8（孙先）是抛物线C:=4%

上两个不同的点，C的焦点为尸.

（1）若直线过焦点产，且疗+1=32,求|4叫的值;

（2）已知点2,2）,记直线左,依的斜率分别为％,如，且L+L=-l，当直线/W

过定点，且定点在x轴上时，点O在直线A8上，满足丽.而=0,求点。的轨迹方程.

练习25.（2022・全国•高三专题练习）过双曲线Y—2L=1的中心。作两条互相垂直的射线,

4

交双曲线于A、8两点，试求：

（1）弦A3的中点P的轨迹方程；

题型六点差法

例11.（2023春•宁夏石嘴山・高三平罗中学校考期中）已知双曲线/一1=1,过点尸（2、1）作

宜线与双曲线交于AB两点，且点尸恰好是线段AB的中点，则直线A8的方程是（）

A.4.v-y-7=0B.4x+y-9=0

C.x-4y+2=0D.x+4>'-6=0

22

例12.（2023•重庆•统考模拟预测）已知椭圆C：—+^=1,圆5/+），2=4,直线/与

124

圆。相切于第一象限的点4与椭圆。交于P,Q两点，与.r轴正半轴交于点从若I叫=|QA|,

则直线I的方程为.

举一反三

练习26.（2023春・湖北孝感・高二统考期中）过点P（2,l）的直线/与双曲线/=1相交于

A8两点，若P是线段八8的中点，则直线/的方程是（）

A.6x-y-11=0B.6x4-j-13=0

C.2x-3y-\=0D.3x-2v-4=0

2

练习27.（2023.全国•高三专题练习）直线/与椭圆工+/=i交于A,3两点，已知直线/的

4

斜率为1,则弦A8中点的轨迹方程是.

练习28.（2022秋•江西•高二校联考阶段练习）过点。（2,1）作抛物线），2=4x的弦AB,恰被点

。平分，则弦人8所在直线的方程为（）

A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0

C.2x-y-3=（）D.2x+y+3=0

练习29.（202?・全国•高三专题练习）已知双曲线/-产=］和斜率为！的直线/交于4R

两点，当/变化时，线段A8的中点M的坐标（X,），）满足的方程是________.

练习30.（2022秋•河南焦作・高二统考期末）过椭圆二+《=1内一点*3,1）,且被这点平分

164

的弦所在直线的方程是一.

题型七利用韦达定理求轨迹方程

例13.（2023秋•高三课时练习）过点A（0,-2）的直线与抛物线），2=以相交于两点P,Q,求

以OP,OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.

例14.（2023,吉林长春・东北师大附中模拟预测）已知斜率为!■的动直线与椭圆立+工=1交

554

于A8两点，线段48的田点为“，则M的轨迹长度为.

举一反三

练习31.(2023・全国•高三专题练习)已知抛物线C：V=4.j直线/过点P(0,l).若/与。交

于A,8两点，点Q在线段AB上，且慌=微，求点