2026年深圳中考数学复习分类汇编之填空压轴重点题（解析版）

备战深圳数学中考一一3年真题及模拟分类汇编

专题10填空压轴题

一、填空题

1.（2024•广东深圳•统考中考真题）如图，在中，AB=BC,tan。为8c上一点,

12

Dr\o

且满足不一=一，过。作OE/4D交4c延长线于点£则==

CD5AC--------

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设48=8C=13x,根据

tanZ5=^1,AH1CB,得出=8〃=12x,再分利用勾股定理/。=两无AC=426x

故COS/4OC=22=生电，再运用解直角三角形得出。〃=型31］，处画',代入

AD414141

CEMD

—化简即可作答.

ACAM

【详解】解.：如图，过点力作垂足为，

设44=4C=13x,

BD=8x,DC=5x»

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VtanZ5=—,AH1CB,

12

AH5

••一,9

BH12

'：AB=BC=\3x，

工AH?+BH?=AB?=T69x?，

解得力H=5x,BH=12x,

/.DH=\2x-Sx=4x,HC=5x-4x=x,

AD=\JAH2+DH1=V4Lr•AC=\/AH2+CH2=V26x»

474?

・•・cosZADC=—

AD41

过点C作CM_L/。垂足为M,

・•・=CD•cosZADC=20v41r，AM=AD-DM="历x，

4141

DE1AD,CM1AD,

MC〃DE，

20a

.££__41"_20

••就一而一21向一天

-x

41

故答案为：—

21

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图，在AJ8C中，AB=AC,tan5=-,点。为8。上一动点,

4

连接力。，将△力BQ沿4。翻折得到VnDE,DE交4c于点、G,GE<DG,且力G:CG=3:1,则

°三丸形AGE

C

U三角形4OG

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【解析】

【分析】于点ANLDE于点、N,则可％=NN,过点G作GPJ_3C于点P,设出必=12。，

力3

根据tanB==:得出3M=16。，继而求得43=，力^[+BM?=20a，CG=5a，4G=15〃，

BM4

Gp3__________

再利用tanC=tan5=—=-,求得GP=3a,CP=4a,利用勾股定理求得GN=\IAG2-AN2=9a，

P4

EN=<AE?-AN?=1&7，故EG=EN-GN=1a,

【详解】由折叠的性质可知，D4是N8CE的角平分线,AB=AE.用HL证明△.4QA/9A4Z)N.

从而得到。A/=QN,'设DM=DN=x,则。G=x+9a,DP=\2a-x,利用勾股定理得到

0「2+602=062即(12〃一%)2+(3〃)2=(1+94)2,化简得X=从而得出。G=^Q,利用三

S-角中皿-EG-ANEG7a49

角形的面积公式得到：二角彩"£-------------=.

S三角形皿7-DGANDG2〃75

27

作于点A/，ANLDE于点、N，则,

过点G作GP_L3C于点P,

VAM_L5。于点

AM3

tan8=

设ZM=12。，则8M=16。，AB=1AM2+BM?=23，

又•••43=4。，AM上BD,

CM=AM=\2a,AB=AC=20rz»Z.B=ZC>

AG:CG-3:\,即CG=』NC,

4

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A

4

【解析】

［分析】将线段BD绕点。顺时针旋转90°,得到线段HD，连接BH,HE,利用SAS证明AEDH?NCDB,

得EH=CB=5,NHED=/BCD=90。,从而得出HE//DC//4B,则"BFs^EHF,即可解决问题.

【详解】解：将线段8。绕点。顺时针旋转90。，得到线段连接BH,HE,

H

\BDH是等腰直角三角形，

Xv业DC是等腰直角三角形，

HD=BD,NEDH=4CDB,ED=CD,

\EDH=kCDB(SAS),

：.EH=CB=5,NHED=NBCD=90。,

vZEDC=90°,ZABC=90°,

:.HE//DC//AB,

:"ABF=NEHF/BAF=/HEF,

\ABFSAEHF,

AB_AF_AF

"~EH~~EF~AE-AF

AE=2亚，

第5页共35页

3_AF

5~2y/5-AF

故答案为：-x/5.

4

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等

知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形.

4.（2024・广东深圳•盐田区一模）如图，在△力4c中，力3=47,点。是边3c的中点，过点。作边力8

的垂线，交AB于点、E,连接CE,若DE=2,4E=4，则CE=.

【答案】J万

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，合理的作出辅助线是解决

问题的关键.连接AD，作石尸J.CB于点卜：证得ABEDS^DEA，可得=1,BD=&，AB=5,

进而可得EF=侦，同理可得△BEVs△互正，求得。尸=迪，CF=—＞根据勾股定理可得结

555

果.

【详解】解：连接作EFLCB于点、F,

••・45=4。，点。是边4。的中点，过点。作边48的垂线,

ADIBC,DE±AB,

第6页共35页

•••4BDE+NADE=90°,/DAE+Z.ADE=90°,

/BDE=/DAE,/BED=/DEA,

:,&BEDs^DEA,

DE_BE

••一,

AEDE

,:DE=2,4E=4，

BE=l,

,BD=NDE。+BE”=旧，AB=AE+BE=5,

Seor,u2BExDE=—2BDxEF,

・G72后

••EF=------

5

同理可得MEFSAEDF.

.BE_EF

''ED~~DF，

■no4后

••Dr=-----»

5

CF=CD+DF=—f

5

-CE=yjEF?+CF2=V17•

故答案为：J万.

5.（2024・广东深圳•福田区三模）如图，正方形49CO的边长为4,尸为对角线ZC上一动点，延长

AD交于点E,若BF・BE=24,则CR=.

【解析】

【分析】本题考杳相似三角形性质及判定，勾股定理.根据题意利用勾股定理得到4c的长，再证明

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△AFESACFB,再设。£=x,继而得到力E=4+x,再利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【详解】解：•・•正方形力3CO的边长为4,尸为对角线力。上一动点，

：•AC=J4?+4?=4>/2，AE〃BC>

・•.ZEAC=4ACB/E=AEBC,

"FEs^CFB,

・••设。石=x,贝1」力石=4+x,

.CFBFCB4

AFEFAE4+x'

AF=AC-CF=442-CF，EF=BE-BF=&+&+32-BF，

•___C__F___—_BF—__4__

♦,AO-CF&+8X+32-4+x'

整理得：(8+x)C尸=16上，即：。/=吆2，

8+x

(8+X»〃=4&+8X+32，即：<尸=4'>十织坦,

8+x

,:BFBE=24,

...4\/f+以+326+&Y+32=24，整理得：x2+2x-16=0»

8+x

解得：x,=717-1,%二一1一而(舍)，

・・・工二炳一1，

检验：当x=A/F7-1时，8+xw0,

x2+8x+32=(4+x)2+16>0成立，

・・・。=如一］是4“一+8工+2心+8%+32:24的根，

8+x

.广二167216夜7后一扇

..CF=----(=——=----,==----------，

8+J17-17+y/n2

故答案为：7后一后.

2

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6.（2024・广东深圳-33校联考二模）在放△48C中，ZABC=90°,45=3,BC=4,点D在边4c

Q

上，CD=-,连接8。，过点力作力E13。于点E,且力E的延长线交8C边于点R则8F=

,18

【答案】—

7

【解析】

【分析】由4G〃8c得到z^G。〜△C8。算出/G的长度，利用△84b-△4G8得到8歹的长度.

【详解】作/G〃BC交8。的延长线与点G

•・•AG"BC,

：.NAGB=/DBC,NG/C=NC,

:,&AGD~ACBD,

AGAD

---=----,

BCCD

/8C=9(T，力8=3,BC=4,

AC=>]AB2^BC2=732+42=5>

••・CD=~,

3

Q7

/.AD=AC-CD=5一一=-,

33

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4x2

CD82

3

AG//BC,ABC=90^

•••ZGAB=180；ZABC=90、，

二/BAE+/GAE=90，

•/AE1BD，

4EG=9(T，

•••NG4E+NG=90°，

，/BAE=NG,

••左△6Z尸和△/1G6中，Z.BAE=ZG,Z.ABF=zLGAB=901»

：.&BAF~AAGB»

.BABF

3BF

•••7二亍，

2

/.BF=—.

7

【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，勾股定理的应月，平行线的性质，同角的余角相等，正确

的作出辅助线构造三角形相似是解题的关键.

7.(2024・广东深圳-33校联考一模〉如图，在直角坐标系中，己知力(4,0),点8为y轴正半轴上一动

点，连接力4,以43为一边向下作等边△48C,连接OC,则OC的最小值为.

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【答案】2

【解析】

【分析】以04为对称轴，构造等边三角形4。尸，作直线OC,交X轴于点E,先确定点。在直线QE上

运动，根据垂线段最短计算即可.

【详解】如图，以04为对称轴，构造等边三角形力。尸，作直线OC,交x轴于点E,

,：XABC,△力力/都是等边三角形，

:・AB=AC,AF=AD,NE4C+NB4F=NE4C+NC4D=60。,

：・4B=AC,AF=AD,NBAF=/C4D,

:3AF/ACAD,

；・/BE4=NCDA=l20。,

；,/ODE=/ODA=60。,

J/OED=30。,

：,OE=OA=4,

・••点C在直线上运动，

・••当OC_LOE时，OC最小，

,1

此ir时0C=-0E=2,

2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形

全等和垂线段最短原理是解题的关键.

8.（2024・广东深圳•南山区一模）如图，在RtZi/3C中，ZBAC=90°,AB=2>Ji,AC=6,点、E

在线段/C上，且NE=1,。是线段4C上的一点，连接。E，将四边形力沿直线QE翻折，得到

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四边形EGOE,当点G恰好落在线段4。上时，AF=

【答案】

3

【解析】

【分析】过点尸作EW_L<C于点由折叠的性质得FG=43=2五，/EFG=/BAC=90°,EF=AE=l,

再证明得EM=—,MF=-6,进而即可求解.

33

【详解】解：过点尸作尸M_14c于点“，

Jd

F

•・将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段NC上,

，.FG=AB=26,NEFG=NBAC=90°,EF=AE=\,

・・EG=J2+(2⑹2=3，

;乙FEM=Z1GEF,乙FME=/GFE=90c,

AFMES^GFE,

•EMEFMF1

'EF~EG~FG~?>'

\EM=-EF=~,MF=-FG=-y[2,

3333

4

"•4M=AE+EM=一»

3

第12页共35页

・•・AFNAM'MF?=+（l夜）二|遍.

故答案是：-V6.

3

【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三

角形“是解题的关键.

9.（2024•广东深圳•宝安区二模）如图，矩形力8C。的对角线月C和BD交于点。，AB=3f8c=4.将

△/I。。沿着/C折叠，使点力落在点E处,连接OE交8c于点尸，4E交BC于点、G,则四二

【答案】—

39

【解析】

【分析】连接QE3E,设DE交AC于点、H,勾股定理得出4C=5,等面积法求得C”,然后求得。H,

根据中位线的性质得出OC〃8E,证明△。/CSAER?,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，连镂DE,BE,设DE交AC于点、H,

•・•矩形48co中，［8=3,BC=4.

：・AC=BD=dAB?+B。=5,

•・•矩形48C。的对角线/。和8。交于点。，将八4。。沿着4c折叠，使点。落在点七处

・•・DE1AC

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，

.：SA/AILnAe.=-2ADxDC=-2ACxDH

:・DH二生些=2,

AC5

597

・•・OH=OC-HC=-——=—,

2510

・・•DH=HEQD=OB,

：,OH=；BE,OH〃BE,

7

:・BE=-,ZOCF=ZFBE,

5

又丁NOFC=4BFE,

:.gFCs^EFB,

,EFBE

>•----=----9

OFOC

7

.£F_5_14

25

2

•：OE=OF+FE=-

2

25

即E尸+二石尸

14142

.rP_35

39

35

故答案为：—

39

【点睛】本题考杳了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质

与判定是解题的关键.

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【答案】|V6

【解析】

【分析】过点尸作于点M，由折叠的性质得bG二48=2及，/EFG〃BAC=9G°,EF=AE=1,

再证明尸E,得EM=L,MF=-41,进而即可求解.

33

【详解】解：过点尸作RW_L4C于点M,

•・•将四边形力沿直线。石翻折，得到四边形户‘G0E,当点G恰好落在线段4c上,

:・FG=AB=2g,NEFG=/BAC=9伊,EF=AE=1,

・・・EG=J『+(2可=3，

•：/FEM=/GEF,/FME=/GFE=90°,

•，.AFMEJC^GFE,

.EMEFMF_1

^~EF~~EG~~FG~3'

：.EM=-EF=~,MF=-FG=-V2,

3333

4

..AM=AE+EM=—>

3

・•・AF=NAM?+MF?=J（g、+（g应）=|V6.

故答案是：一屈.

3

【点睛】本题主要考杳折登的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三

角形”是解题的关键.

10.（2024•广东深圳•宝安区三模）如图，己知48=10,点C,。在线段上，且4C=O4=2.P

是线段CN）上的动点，分别以力尸，P8为边在线段力8的同侧作等边△力和等边△PFB，连接石产，

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设石厂的中点为G,则CG+GQ的最小值是

【答案】Vm

【解析】

【分析】分别延长月E、BF交干点、H,易证四边形EPF，为平行四边形，得出G为PH中点,则G的

运行轨迹为△"CO的中位线MN.作点C关于MN的对称点/,连接"交MN于点G',连接"7,C7,

则四边形。〃/K是矩形，此时CG+OG的值最小，最小值为线段D/的长.

【详解】解：如图，分别延长/E、BF交于点H，过点〃作JL48于点K.

•：/A=NFPB=60°,

AAH//PF,

•・•NB=NEP4=60。,

BH//PE,

••・四边形EPFH为平行四边形，

尸与互相平分.

IG为£尸的中点,

.•.G也正好为PH中点，

即在尸的运动过程中，G始终为PH的中点,

G的运行轨迹为MD的中位线MN.

作点C关于MN的对称点连接DJ交MN于点、G,连接以7,CJ,则四边形C///K是矩形，此时

CG'+DGf的值最小，最小值为线段D/的长.

•••△48”是等边三角形，48=10,HKtAB,

AK=KB=5,

.\CJ=KH=yj\O2-52，

•・•AC=DB=2,

：.CD=AB-AC-DB=6,

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DJ=y]CJ2+DC2=4(5旧Y+62=^/^iT,

CG+QG的最小值为Jiff.

故答案为：JTTT.

【点睛】本题考查了等边三角形性质，中位线的性质，平行四边形的

性质，以及动点问题，轴对称最短问题等知识，解题的关健是正确寻找点G的运动轨迹，学会利用轴对称

解决问题.

11.（2024・广东深圳•福田区二模）如图，矩形49CO,48=4,BC=8,E为AB中点，F为直线BC

上动点，B、G关于EE对称，连接力G,点P为平面上的动点，满足44必=,N，4G3,则。尸的最小

2

【答案】2厢-2垃

【解析】

【分析】由题意可知，ZAGB=90°,可得/力/^=1/力64=45。，可知点尸在以48为弦，圆周角

2

NAPB=45。的圆匕（要使DP最小，则点P要靠近蒂点。，即点。在力3的右侧），设圆心为0,连接ON,

OB,OE,OP,OD,过点。作。0_L力。，可知”08为等腰直角三角形，求得

OA=与AB=26=OP，AQ=OQ=曰OA=2,QD=AD-AQ=6,

OD=4OQ?+℃2=2而，再由三角形三边关系可得：DPNOD-OP=2屈-26，当点尸在线

段。。上时去等号，即可求得QP的最小值.

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【详解】解：:8、G关于石方对称，

:,BH=GH,且EF1BG

•・•£为力3中点，则E//为IBG的中位线,

22

・••点。在以48为弦，圆周角乙4P8=45。的圆上，（要使。尸最小，则点尸要靠近蒂点。，即点产在

的右侧）

设圆心为O,连接ON,OB,OE,OP,OD,过点O作。0JL力。，

则O4=O8=OP,

VNAPB=45°,

/.ZAOB=90°,则△408为等腰直•角三角形，

又•：E为中点、,

OE_LAB，OE=—AB=AE=BE,

2

又•••四边形48C。是矩形，

:"BAD=90。,AD=BC=8,

・・・西边形/E。。是正方形，

:.AQ=0Q=*0A=2,QD=AD-AQ=6,

・•・0D=yJOQ2+QD2=2回,

由三角形三边关系可得：DPNOD-OP=2屈-2亚，当点P在线段0。上时去等号,

・•・DP的最小值为2厢-2A/2，

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故答案为：2厢-2心.

【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直

角三角形的判定及性质，根据N/08=』//G8=45。得知点P在以43为弦，圆周角/力尸8=45。的圆

2

上是解决问题的关键.

12.（2024,广东深圳•光明区二模）在中，tan5=-,ZJCB+2Z5=90r,线段C。平分

2

NACB.已知C。=4上，则线段3C的长为.

【答案】4石

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形.过点。作C£J_84交比4的延长线于点根据角平分线得到

ZEDC=45°,根据三角函数得到CE=4,进而求出8E=8,然后利用勾股定理求出8c长.

【详解】过点C作CE_LA4交84的延长线于点，

•••CO平分N4C8,

・•・/BCD==/ACB,

2

・•・/EDC=NB+/DCB=g（2NB+ZJC^）=1x90°=45°,

万

・•・CE=CDtanNEDC=4x/2x—=4，

2

CE1

Vtan^=—=-,

BE2

:・BE=8,

•**BC=VCE2+BE2=V42+82=4V5•

13.（2024•广东深圳33校三模）如图RtZ\4〃C,N4C8=90。，/。垂直一/4。外角角平分线于。点,

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f、f•7

过。作BC的垂线，交C5延长线于点£,连接。。交43于点凡—=-,DE=45,那么〃上的长为

A

【解析】

【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，延长交CB于

点〃，延长相交于点G,证明△4BDgaHBD（ASA）,则4D=DH,AB=BH,证明

ADEHS“CH，求出力C=2W，证明△OGQs^c月尸，求出。G=2/1C=—万26=2正，贝4

442

EG=DG-DE=＞后,证明4BEGS&BCA,得到BE=-CB，则BE=-CE=-EH,BC=4BE,

2455

得到BE=LBH=L4B,则/B=63E,在中，AB1=BC1+AC2则

66

（6BE），=（45E）2+（2若丫，即可求出BE的长.

【详解】解：延长力。交。8于点H,延长48,DE相交于点G,

•・•AD垂直NABC外角角平分线于D点，

・•・ZABD=4HBD,NADB=ZHDB=90°

*/BD=BD

・•・"BD%HBD（ASA）,

/.AD=DHAB=BH

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・.・RS48C4C8=90。，DELCH,

・•・DE\\AC

・•・ADEHS4ACH

.DE_DH_EH

，，7C~7H~CH~2,

•-AC=IDE=2>/5，EH=CE

・・•DE]\AC

ADGFSACAF

DGDF3

:.——=——=-，

ACCF4

・•・DG=-AC=-X2A/5=-^,

442

21

・•・EG=DG-DE=二逐一正二L逐,

22

•・•DE\\AC

ABEGS^BCA

.BEEG\

••______―,

BCAC4

・•・BE=、CB,

4

ABE=-CE=-EH,BC=4BE

55

・•・BE=-BH=-AB,

66

AB=6BE,

在RtZ\/C8中，AB2=BC2AC1

即（63E）2=（43EY+（2万

解得8E=1（负值已舍去），

故答案为：1

14.（2024♦广东深圳•龙华区二模）如图，在矩形川?。。中，4B=6,P是力。边上一点，将△PCO沿CP

折叠，若点。的对应点E恰好是△NBC的重心，则夕。的长为.

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【答案】3拒

【解析】

【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折置变换及其性质，勾股定理，延长CE交48

于凡在ER的延长线上取一点“，使FH=FE,连接,BH,PF,连接4E并延长交8c于点7,

连接8£,由折叠的性质得CE=CD=6,根据点E是“BC的重心，得力7是8C边上

的中线，CF是48边上的中线，则4尸二BF=g4B=3,CT=BT,先证四边形4石8〃是平行四边

形得BH//AE,进而得ET是△C8”的中位线，WIEH=CE=6,进而得FH=FE=3,在RsBCV

中，由勾股定理得而二萨=6拉，再判定Rt△尸/尸丝Rt△尸£F（HL）,得PA=PE,进而

得PD=P4,4D=3行,据此可得出答案.

2

【详解】解：延长CE交4B于F,在EE的延长线上取一点凡使FH=FE,连接力，，BH,PF,

连接力£并延长交8C于点7,连接8E,如下图所示：

•••西边形45CQ为矩形，AB=6,

AABAD=ZD=90°,CD=4B=6,AD=BC,

由折叠的性质得：PD=PE,CE=CD=6,NPEC=ND=900,

•:同E是^ABC的重心，

・・・4T是8C边上的中线，是48边上的中线，

即力/=5厂=」力3=3,CT=BT,

2

又,：FH=FE,

，四边形4EBH是平行四边形，

・•・BH//AE,

第22页共35页

即BH//ET,

.CT_CE

••正一丽’

•・,CT=BT,

:・CE=EH,

・•・ET是△C5H的中位线，

・•・EH=CE=6,

：.FH=FE=3,

：,CF=CE+FE=6+3=9,

在中，由勾股定理得：BC二JCF?一BF?=6及，

JAD=BC=6亚，

，：FE=3,AF=3,

・・・AF=FE,

VZPEC=90°,/BHD=90。,

・•・ZBAD=ZPEF=90°,

在Rt/\PAF和RtAPEF中，

AF=FE

PF=PF'

・・・Rt△尸力/gRt△尸石尸(HL),

・•・PA=PE,

：.PD=PA=-AD=3>/2,

2

故答案为：3后.

4

IS.(2024・广东深圳•罗湖区二模)如图，直线y=-x+。与反比例函数y=—(x>0)只有唯一的公共点

.X

人与反比例函数y=七(x>0)交于点C,与x轴交于点4,如果48=2BC,则％的值为

A

第23页共35页

【答案】-5

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立.方程组根据只有一个交

点求出。值得到交点坐标4(2,2),根据直线解析式求出8点坐标，依据中点坐标公式分别求出点。和点C

坐标，即可得到〃值，求出点。坐标是关键.

y=-x+a

【详解】解：联立方程组得44,

y=-

整理得：/一。工+4=0,

•・•只有一个交点,

.•.A/—16=0,

.,.。=±4,舍去负值，

.,.a=4,

・•・一次函数解析式为y=-X+4,

y=-x+4

・••联立方程组得,4,

y=-

X

解得：耳=2,x2=-2(舍去)，

・・・点。(2,2),

・.•当y=0时，x=4,

・・・5(4,0),

咎=3,纵坐标为：等

，线段N3的中点。的横坐标为：

第24页共35页

・・・。(3/),

vAB=2BC,

BD=BC,

-4_3+与_5

2

0二^^，凡=T'

・・・C（5,-1）,

•••C（5,-l）在反比例函数y="图象上，

x

5

=-5,

故答案为：一5.

16.（2024•广东深圳啰湖区三模）如图，在中，4c8=90。，49=9,cot/=2,点。在

边43上，点E在边/C上，将•△力沿着折痕。上翻折后，点4恰好落在线段4c的延长线上的点尸

处，如果NBPD=N4，那么折痕OE的长为.

【答案】26

【解析】

第25页共35页

【分析】过点。作。/工4。于点八首先根据题意可证得。/〃8C,ZBDP=90°,

tan//=tanABPD=—=—=~,根据勾股定理即可求得拽，力0=竺叵，再由折叠的性

ACPD255

质可知：AE=PE,/。"〃。，即可求得鸟。：？，4。二尸0=6,再根据勾股定理即可求得30=36，

述，由。歹〃8。，可证得^力。七6/\44。，"=更=卫=2,据此即可求得。/7=述，

5BCACAB35

力尸=1Z正，FC=—，再根据勾股定理即可求得£。=延，EF=2,据此根据勾股定理即可

5555

求得结果.

【详解】解：如图：过点。作。R14C于点凡

\DJ/7)=DC=90°,

DF//BC,NN+N8=90。，

•:乙BPD=乙4,

:"BPD+NB=90。，

:"BDP=90°,

•••在RtZ\/8C中，ZJCB=90°,cotJ=2,

cotA2

BCBD_1

tanA=tan4BPD-----

AC-PD~2

••.在中，AC?+BC?=AB?，

:ABC2+BC2=92^

解得8c=2叵，

5

第26页共35页

由折叠的性质可知：AE=PE,AD=PD,

9-PD1

/.tanZ.BPD

PD

解得PD=6,

/.BD=3,AD=PD=6

在RtZ\8P。中，BD?+PD°=BP?，

5P=V32+62=3x/5，

,CPS一5C=3层哈哈

•:DF//BC,

△ADFS^ABC,

DF_AFAD_6_2

BC~AC~7B~9~3,

DFAF_2

9石~1875~3

解得。尸=建AFW

55

:.FC=AC-AF=m=处

555

在RtZ\EC尸中，EC?+CP?=PE?，

.“+愕N竽"，

解得EC=®i,

5

mMM8石6旧X

EF=EC-FC=------------=2/5，

555

在Rt△。/中，DE?=DF?+EF?，

第27页共35页

故答案为：2J5•

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确

找到各线段之间的关系是解决本题的关键.

17.（2024・广东深圳•南山区三模）如图，在矩形43CQ中，AD=3,AC=6,点E是的中点，点

厂是对角线ZC上一点，△GEF与△力£/关于直线EE对称，EG交AC于点、H,当ACG〃中有一个

内角为90。时，则CG的长为.

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含30。角的直角三角形

的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.

因为四边形48co是矩形，所以/18=CQ,DB=90°,BC=AD=3,因为4C=6,所以

CD=AB=ylAC2-BC2=A/62-32=3A/3^Z^C=30°,因为点E是48的中点，所以

AE=BE=^，当△CG4中有一个内角为90。时，分两种情况：①当NCG〃=90。时，则EG_LC。,

2

四边形8CGE是矩形，所以CG=BE=LAB=更;②当NCHG=90。时，则N4HE=90。，所以

22

EH=-AE=—^4H=dAE?-HE?=（迈］-f—1=2,CH=AC-AH=6-*=学,

242J4J444

由折叠的性质得：GE=AE=—»所以GH=GE—EH=生~一独~="~，

2244

CG=JG42+叱=J（乎j:2=孚;综上所述，CG的长为苧或乎.

【详解】解：•・•四边形力ar。是矩形.

第28页共35页

:・AB=CD,D^=90°,BC=AD=3,

VAC=6,

•*,CD=AB=\lAC2—BC2=\62-32=3A/3，Z.BAC=30°»

•・•点£是44的中点，

・•・AE=BE=更,

2

当△CG〃中有一个内角为90。时，分两种情况:

当NCG〃=90。时，如图1所示：

则EG_LCO,四边形8CGE是矩形,

:・CG=BE=、AB=^;

22

当NC〃G=90。时，如图2所示:

图2

则/AHE=90°,

由折叠的性质得：GE=AE=—»

2

:.GH=GE-EH=更-更=正.

244

第29页共35页

门5丫35

・•・CG=YIGH2+HC

综上所述，CG的长为二耳

2

故答案为主叵或或.

22

18.（2024•广东深圳•南山区二模）已知ABC,AB=AC,点尸在4C上，作于

E,交BC延长线于G,连接E。，AGFC=2ZEDA,DH=CG=2,则//的长为.

【解析】

【分析】可证得力、E、。、G四点共圆，推出/2=/3,推出4F二/G,证得A4FHm4GFC,得

到狼二/C,AH=CG=2,再证得△ZC。丝△G”。，从而得到4”=CG=CO=Q"=2,利用

2

三角形中位线定理以及△HA'CsaGRi,可推出力/二一/C,利川勾股定理求得NC的长，即可求解.

3

【详解】解：连接"GAG,如图：

■:ADIBC,EFA.AB,

・•・/AEG=ZADG=90°,

・=4、E、D、G四点共圆，

・•・Nl=N2,

VZGFC=2Z1

・•・ZGFC=2Z2,

又。ZGFC=Z2+Z3,

・•・N2=N3,

・•・AF=FG,

VAR=AC,ADIRC,

第30页共35页

・•・Z4=Z5,

,・・N4+/8=90。，N6+N3=90。,

・•.Z4=Z5=Z6,

在“中和届”中，

Z5=Z6

<AF=FG,

NAFU-4GFC

・•・"FH%GFC（ASA）,

:•HF=FC,AH=CG=2,

•・•AF=FG,

・•・AF+FC=FG+HF,

:,AC=GH,

在△4CD和&GHD中，

乙4DC=NGDH=90。

•Z5=Z6,

AC=GH

・••△/CO%G〃O（AAS）,

・•・CD=DH=2,

・•・AH=CG=CD=DH=2,

，点，为力。中点，点C为。G中点,

：.HC=-AG,HC//AG,

2

・•・丛HFCsAGFA,

FCCHI

•-t-----\-----=-----=—,

AFAG2

；・AF=2FC,

第31页共35页

2

:.AF=—AC,

3

在中，AD=AH+DH=4,DC=2,

-AC=y）AD2+PC2=V42+22=275»

：,AF=-AC=-x2y[5=-y/5.

333

故答案为：—V5.

J

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理,

四点共圆的知识，作出常用辅助线，利用四点共圆的知识证得N