高考数学二轮复习专项突破（新高考版）三角函数中ω、φ的范围问题

微重点6三角函数中“，°的范围问题

三角函数中G，夕的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、

单调性、零点等求口，伊的取值范围，难度中等偏上.

考点一三角函数的最值(值域)与。0的取值范围

例1(1)若函数/(x)=sin(Q)x—：)(口>0)在［(),可上的值域是一乎，1,则①的取值范围是

()

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析因为SO,所以当闻0,于时，

兀「兀(onn

3一片［一不--4)

又因为函数外尸sin(3-3(Q>0)在［。，外上的值域是一笔I,

所以卜等—卜季

解得9

(2)已知函数/x)=sinw.r+tfcosojx(a>(),co>0)的最大值为2,若使函数人工)在区间［0,3］上至少

取得两次最大值，则①的取值范围是.

答案［晋，+8)

解析fix)=sincox+acosCJX

=、1+a2sin(car+3),

因为/U)max—y/l+a2—2,a>0,故a—小，

原式为<x)=2sin(①x+鼻)，

jrIT

当取到最大值时，侬工+§=/+2&兀，kez,

当x£［0,3］,«r)取得两次最大值时，上分别为。和I,当&=1时，(ox+?=?+27t,犬=譬，

J4VICAZ

此时需满足*W3,解得。2喑.

规律方法求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体代换①x±9,利用正、余弦函数的图象

求解，要注意自变量的范因.

跟踪演练1已知函数,仆尸sin（3r+0）（Q>O,|川<3的图象与直线）=1的相邻两个交点的距

离为兀，若对任意的x£（或，穹，不等式於）《恒成立，则8的取值范围是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析因为函数y=/U）的图象与直线），=1的相邻两个交点的距离为兀，所以函数y=/（x）的最

小正周期为7=71,所以口=了=2,

所以凡r）=sin（2x+。）.

当工£偌'号时,言+”:"+”空+外

因为一会卬吟

25nn.7nn2K,77t

所以一无〈夜+伊干，^<y+^<y.

兀1、兀

五十卢布兀H

又因为不等式“旧对任意的保，百恒成立，所以<.,解得各qw专

27rl―57r"。

至+卢不

因此w的取值范围是［合，f.

考点二单调性与“，°的取值范围

例2（1）（2022•张家口模拟）己知函数4r）=sin（3+e）（（y>0,侬W号,八。）=乎旦函数人大）在区

间（S，目上单调递减，则,。的最大值为

答案1。

解析因为,/（O）=sin夕=乎,

又看所以夕=:,

所以/U)=sin(gx+J,

当A-e⑥且3>0时,

TI（O,n.njtM.it

记+i+E+不

因为於）在区间焦，目上单调递减，

则偿+：，^+；）<3+2E，苧+2E）（火£Z）,

71(0.兀、71.2「

而+;河+22兀Z伏1£Z),

叫O

受+太停+2也伙£Z),

、O1/>

解得4+32ZWgW10+16*k£Z),

k20,

因为（»>0,则，

32&+4W1金+10,

3

则OWkW於且&WZ,故k=0,从而

O4WGW10,

因此，①的最大值为10.

（2）（2022-柳州模拟）若直线x=£是曲线y=sin（5一个：（①>0）的一条对称轴，且函数y=

在区间［o,我上不单调，则①的最小值为（）

A.9B.7C.IID.3

答案C

解析因为直线x=：是曲线

y=sin（①x-?）（①>0）的一条对称轴,

则加一；=履+方，kGZ,

即to=4&+3,kGZ,由一亨Wsx一

得一看0W含

则函数y=sin（Q*-£）在［一仑，粉上单调递增,

而函数y=sin（（ox-：）在区间［（）,自上不单调，

则暗串，解得啰>9,

所以①的最小值为11.

规律方法若三角函数在区间团，句上单调递增，则区间［。，b］是该函数单调递增区间的子集,

利用集合的包含关系即可求解.

跟踪演练2已知危）=si吟,）（0v局在［。，H上单调递增，且段）在（0,芝）上有最小值,

那么（p的取值范围是（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案B

解析由上£0,y,可得2（一伊£一夕，午一e,

又由（）<3多且儿r）在0,鼻上单调递增，

可得空一衿5所以狂勿<与

当x40,用时,2x—（p^{^—（p,,一0）,

由大幻在（o,芝）上有最小值，可得与一仲号，

所以月.综上，狂用.

考点三零点与“，°的取值范围

例3（1）（2022•全国甲卷）设函数几i）=sin（c»+§在区间（0,兀）上恰有三个极值点、两个零点，

则①的取值范围是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案C

解析由题意可得m>o,故由x@（o,兀），

.7tfn।冗、

得cox+?£|j,兀①+手）

根据函数兀6在区间（0,兀）上恰有三个极值点，

A5兀17rl7九/日13.19

知兀“十］忘亏，得不

根据函数人x）在区间（（），兀）上恰有两个零点，

it58

知27r<7CQ）+QW3TG得？〈coWg.

13Q-

（彳，3-

（2）（2022・龙岩质检）已知函数/（x）=2sin（s-§+仇M>0）,若存在实数a,对任意的实数x都

有1a+x）+/（a—x）=2,且«v）在区间[0,1]上有且仅有3人零点，则/©）的取值范围是（）

A.eqB.[-1,小）

C.[-1,5+1）D.[0,小+1）

答案C

解析因为火a+x）-x）=2,

所以_/U）的图象关于（a,1）对称，所以〃=1,

所以/（x）=2sin（Gx—看）+1（00）,

令危）=0,贝ij2sin（3r—5）+1=0,

pn.（兀、1

即sinl6j.r-1=—

因为xW[0,l],

匕UI、/兀L兀兀

所以sx_%£[_6，6Jt

因为/U）在区间[0』]上有且仅有3个零点，

所以与W①一专＜吟，则2冗Wc〃v竽，

所以养华一普,

则一iWsin管一§等,

所以一1W2sin（于一季）+1＜小+1,

即一1W点）〈小+L

规律方法已知函数的零点、极值点求G,8的取值范固问题，一是利用三角函数的图象求

解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的

最大值、最小值点.

跟踪演练3（2022•湛江模拟）已知函数段）=sin（s+p）（G＞0,IdW?,/住+*）=/停一J

/（一1）=0，且段）在区间倩，号上有且只有一个极大值点，则①的最大值为.

33

答案t

I^cy।(pA|7T»

解析由题意知,k、,bez,

13+歹=42兀+4，

3（2hH）

s=-4-，

1

=-+,k,kez,

{^"k2~兀n4

其中）=近一卜,k'=S2k2-k,

当/=-1时，°=一：，攵=2幻+1,收Z；

当k=。时，W=£,k=2kz,依£Z.

又於）在区间倚，9上有且只有一个极大值点，

诉I、建—工—也

2Tf

所以210-5^~（o

得OvcoWlO,即（X吟山《10,

所以一鼻W系

当左=6时，to=学，9=/

此时拳•+：£（笔,半），此时有2个极大值点，舍去；

当左=5时，口=苧，9=一；，

此时竽（瑞，平），此时有1个极大值点，成立，所以①的最大值为苧.

专题强化练

1.（2022•开封模拟）已知函数yU）=sin（Gx+o）（加＞0,0＜夕号）的图象过点《0,；）,现将y=/U）

的图象向左平移]个单位长度得到的函数图象也过点P,则（）

A.①的最小值为2B.①的最小值为6

C.①的最大值为2D.①的最大值为6

答案A

解析依题意/（（））=sin8=；,（）＜0与

人幻=sin（Q〃+§的图象向左平移,个单位长度得到

ga）=sin[G（x+§+|=sin（ft＞x+?o++）,

g(O)=sin|j①+灯=2，

所以多。+春=2&m+器或加+5=242兀+普，

即①=6k或①=6依+2,其中为，kfZ,

由于①>0,所以①的最小值为2.

2.(2022•湖南六校联考)将函数J(x)=3sin(x—。的图象向右平移

夕(0<0<兀)个单位长度后得到

g(x)的图象.若四)在。胡上单调递增，则8的取值范围为(

)

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

解析g(x)=3sin(x*—o),

当K守时，一日一专一”与一9，

由0<8<九，得一夕£(一九，0),

2n(TC2TC\

万“气一？yj,

卜冷甘，

有屋，隼金

3.(2022•邵F日模拟)设函数yU)=sin(cox+§(m>0),已知火x)在今上单调递增，则段)

在(0,2兀)上的零点最多有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案A

解析由甘+2EWs+公升2EJWZ,

/02兀.2kit«/n.2kK

得一五+力』+力k^Z,

取-0,可得一藉会.

若於)在［*,制上单调递增,

J红V_三

3Q6'

则〈

I导今

4

解得OvcoWg.

若XW(0,2TT),

则①x+台哙，2M+1

设r=（ox+^,

则,2“冗+看），

因为2物+台备明

所以函数y=sinf在《，2①江+5）上的零点最多有2个.

所以人工）在（0,2兀）上的零点最多有2个.

4.（2022・萍乡模拟）设函数小尸sin（2x+f）在区间［小什引上的最大值为M,最小值为〃?，

则M—m的最小值为（）

A.eqB.eq

C.1~~2D.eq

答案B

解析当a+1时，

2x+H|_2a+&2«+j+yJ,

令2x+m=f,2〃+京=力，

则问题转化为M=sin『在上/?+用上的最大值是M,最小值是加，

由正弦函数性质，可知g（z）=sin/的周期是2兀，要使得M一/〃最小，则g⑺的最大值或最小

值点是区间［儿〃+用的口点，

由周期性，不妨取/?+〃+空=兀或〃+〃+号=3兀，即,=,或/=卷,

当仁聿时，M=l,m=si吟=3，

当"=谭时，m=—\,

M=sin^=—^,

5.（多选汜知函数凡i）=sin（（yx+9）（⑦>0，阳音），f（一5）=0,於）W传R恒成立，Afix）

在区间（一古，/）上单调，那么下列说法中正确的是（）

A.存在少，使得於）是偶函数

B.的）=/■傅）

C.s是奇数

D.（0的最大值为3

答案BC

解析由/停知尸要为函数危）图象的一条对称轴,

所以4。）=/（竽）

又

所以铝.7二,(-(H(〃£Z),

口「,2〃+12冗n

即飞一•了=5（〃£Z）,

即co=2〃+l(〃£Z).

因为危）在（一自，/）上单调,

所以齐拉右一（_勃4

所以“）式8,所以f/）max=7.

因为阳书，

所以（女£Z）,

所以不存在以使得凡t）是偶函数.

6.（多选）（2022・山东学期联考）己知函数次幻…（^卜林一乡⑴〉。），则下列说法正确的是（）

A.若将Hx）的图象向左平移余个单位长度，所得图象与原图象重合，则①的最小值为,

B.若/（专）=/住），则0的最小值为1

C.若於）在俘兀）上单调递减，则①的取值范围为gJ

D.若危）在停［上无零点，则g的取值范围为悖I

答案BC

工

解析J(x)=cosfwx-jj=cos

2_

=sin，ox+宇)(w>0),

若将_/u）的图象向左平移今个单位长度，

所得），=sin（cox+等+彳）的图象与原图象重合，

则晋=2E,kQZ,

・・・。=84，kRZ,故口的最小值为8,故A错误；

若/6）=/停），且G最小,则函数的图象关于直线对称,

••・若+£=履+看k®Z,

即①=4A+l（AeZ）,则①的最小值为1,故B正确;

•・”/,%）,

.•・GX+：£（^+：,切%+?,

若/（x）在停，兀）上单调递减，

①兀7l、c,兀

亏+।^22履+।5，

,kGZ,

.兀,371

{coltI彳2knI2，

解得必+9/kj

令左=0,可得①的取值范围为2»4，

故C正确；

若於）在,兀）上无零点，

修+”也，

则JkGZ,

[co兀+£.女五+兀，

解得2«—/W&+,,keZ,

令4=0,可得①的取值范围为（0,|]；

令k=l,可得①的取值范围为

-37-

故①的取值范围为(0,1U---