高考数学二轮复习专项突破（新高考版）椭圆、双曲线的二级结论的应用

微重点16椭圆、双曲线的二级结论的应用

椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多

种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅

速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问思便能

迎刃而解.

考点一焦点三角形

【核心提炼】

焦点三角形的面积公式：尸为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一点，居，且/居尸尸2=仇

则椭圆中SAPRF,=A%an

=

双曲线,中SApRF27

tan2

22

例I（2022・临川模拟）已知椭圆C：a+%=13>/?>0）,其左、右焦点分别为产2，其离心

率为e=J,点P为该椭圆上一点，且满足/尸|尸尸2=三，二知△/iPB的内切圆的面积为3兀，

则该椭圆的长轴长为（）

A.2B.4C.6D.12

答案D

解析由e=；,得。=3，即4=2c.①

设△RPB的内切圆的半径为r,

因为△「/出的内切圆的面积为3兀，

所以兀产=3兀，解得「=小（舍负），

在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，

ZFiPFi1

知§△"/=;=〃tan---2―^=]可2。+2（?）,

即坐好=小（"+'），②

又/二店+c2,③

联立①②③得c—3,。=6,b—3y[3f

所以该椭圆的长轴长为2a=2X6=12.

易错提醒（I）要注意公式中，的含义.

（2）楠圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆.

跟踪演练1如图，人，凡是椭圆G：9+产=1与双曲线。2的公共焦点，A,8分别是G，

J在第二、四象限的公共点.若四边形AQ3匕为矩形，则G的离心率是（）

A.A/2B.小

C.|D.幸

答案D

解析设双曲线C2的方程为告一或=1,

则有^+/?2=d=C'T=4—1=3.

又四边形AP8F2为矩形，

所以△AF/2的面积为叫tan45o=£*,

即成=材=1.

所以ai=ci—bi=3—1=2.

故双曲线的离心率^=^=A/|=2-

考点二焦半径的数量关系

【核心提炼】

焦半径的数量关系式：直线/过焦点厂与桶圆相交于A,B两点，则虚+赢=符，同理,

Lf1.12d

双曲点中，丽+丽=庐

例2已知双曲线C的左、右焦点分别为Q（一巾，0）,市，0）,过尸2的直线与C的右支

交于4,B两点、.若A耳=2可，|A阴=尸固，则双曲线C的方程为

答案力=1

解析如图，令/28|=八

则|A局=2f,

・・・|AB|=3f,|Fi5|=3/,

人|A项十世出厂从'

/2一序'

又方阴一尸2明=2。，

：・3t-t=2a,：.2l=2a,:.t=a,

，立="，即3庐=4〃2,

又。=巾，・・・，+及=7,

解得从=4,解=3,

故双曲线C的方程为5一9=1.

易错提醒公式的前提是直线人B过焦点F,焦点尸不在直线AB上时，公式不成立.

跟踪演练2已知椭圆C：叁+目=1，过右焦点B的直线交椭圆于A，B两点，且忸刊=2,

则M8|=,cosNE/B=.

8

答案---

33

即丽i=w，

2

解得阳五2|=§,

8

：.\AB\=\AF2WBF2\=y

由椭圆定义知|AR|=8—2=6,

・•・直线APi,仍，…，APio这10条直线的斜率乘积为（一。=一（7.

规律方法周角定理的推广：A,B两点为椭圆（双曲线）上关于原点对称的两点，P为椭圆（双

曲线）上异于A,B的任一点、,则椭圆中左力•幻8=一丞，双曲线中A用《PB=宗.

跟踪演练3设椭圆「+£=1（。»>0）的左、右焦点分别为Q,&，上、下顶点分别为4,B,

直线从人与该椭圆交于A，M两点，若/尸出%=90。，则直线8M的斜率为（

AB.^C.—11

lD.2

答案B

解析•・・NBA&=90。,

•••△QAF2为等腰直角三角形，，〃=c,

^.cr=2b1=2c1,

.从1

.・U=T

且NAF2O=45。，・••如A=-1,

,,ff1,

XKMA-KMH—~2

k.MB=2-

考点四过圆锥曲线上点的切线方程

【核心提炼】

已知点P（xo,yo）为椭圆（或双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中等

+罗=1,双曲线中黄—瞿=1.

例4已知椭圆C：5+），2=1.如图，设直线/与圆O：f+VnRRvR。）相切于点A,与椭圆

。相切于点B，则八用的最大值为.

答案1

解析连接04,0B,如图所示.

即4yoy-4=0,

又穴2=QA』京戳命

R为圆半径，R£（l,2）,

又3+W=1,

所以焉=4—4）3,

4

所以我砰=4-3M-而不J

4L

=5-（3>6+1）-^7<5-2<4=1,

4

当且仅当对+i=法iT

即）3=:,忐=?时，等号成立，

JJ

所以|4矶】iax=1,

此时~=总%=2,

即R=、£（l,2）,

故当R=啦时，IA阴max=l.

规律方法（I）该切线方程的前提是点P在圆锥曲线上.

⑵类比可得过圆Q—“尸+任一。）2上一点尸（沏，）汕）的切线方程为（%（）—。）（工一a）+（yo—。）。一〃）

=1.

跟踪演练4已知广为椭圆C：5+，=1的右焦点，点A是直线4=3上的动点，过点A作

椭圆C的切线AM,AN,切点分别为M,M则—的值为()

A.3B.2C.1D.0

答案D

解析由已知可得打(L0),

设MQi,＞'i),N(X2,及)，A(3,r)

则切线AM,AN的方程分别为苧+乎=1,

侬•LV2V_1

3十2i

因为切线AM,4N过点A(3,。，

所以汨+与=1,怂+竽=1,

所以直线MN的方程为x+^=l,

因为尸(1,0),

所以1+与^=1,

所以点尸(1,0)在直线MN上，

所以M,N,尸三点共线，

所以+[NR-|MN)=0.

专题强化练

1.过双曲线C：a一£=1(。＞°，比＞0)上一点尸作双曲线C的切线/，若直线O0与直线/的

2

斜率均存在，且斜率之积为亍则双曲线。的离心率为()

A.零B手

JJ

「西D典

。5u'5

答案C

解析设P(xo,yo),

由于双曲线。在点P(xo,%)处的切线方程为答一泮=1,

故切线/的斜率2=空，

2

因为kkop=q,

222

则

--贝d---

VLOVj25

XO

即双曲线c的离心率

5.

2.（2022.保定模拟）已知双曲线C^-^=1（«>0,〃>0）的左、右焦点分别为丹，F2,直线/：

）=心,（左H0）与C交于M,N两点，口四边形MF\NFi的面枳为84.若点M关于点&的对称点

为M',且|M'M=则C的离心率是（）

A币B.邓C.3D.5

答案B

解析如图，由对称性知与E3互相平分，

・•・四边形MF2NFI为平行四边形，

•：Fa为MM'的中点，且|WV|=|M'N],

.\NF2±MF2,J四边形MF?NFi为矩形,

**S4NF'F1一而'

头S2NRF、=^=4。2，即从=4。2,

tan%

Ac2-O2=4O2,即C2=5O2,即6弋=小.

3.椭圆C：5+?=1的左、右焦点分别为凡，闩，过B作直线交椭圆于A,B两点,且就

=2不，则用的外接圆面积为（）

A.-yB.4兀

C.9兀D.等

答案D

解析如图，。=3,5=2,c=y/5,

令尸2引=%则依尸R=2f,

A

113

+=-

72

2/

・・・山尸2|=1,H&l=2,

由椭圆定义知|BF||=5,|A%|=4,

.•.△ABB中，|AB|=3,|A片|=4,\BF]\=5,

HA从

•••△A8内外接圆半径/?=誓=|,其面积为华.

，2

4.（2022・石家庄模拟）已知双曲线C：宗一方=1（〃>°，匕>。），过原点。的直线交C于A，B两

点（点8在右支上），双曲线右支上一点P（异于点8）满足丽.汴=0,直线创交x轴于点。，

若NAOO=NAOD,则双曲线C的离心率为（）

A.72B.2C.小D.3

答案A

解析如图，

•・,就丽=0,

:.BALBP,令kAB=k,

*：ZADO=ZAOD,

:.k.Ap=—kAB=—k,

又BA1BP,：・kpB="，

h2

依题意知如?必4=户

T（T）4，

・•・*=1,即3e=y12.

5.（多选）（2022・济宁模拟）设椭圆C：，+/=13>〃>0）的左、右焦点分别为Fi，尸2，左、右

顶点分别为4，八2，点P是。上异于4,4的一点，则下列结论正确的是（）

14

A.若。的离心率为点则直线外与抬2的斜率之积为一手

B.若PFJPFz，则△尸FiB的面积为加

C.若。上存在四个点P使得则C的离心率的取值范围是（o,啕

D.若|PQ|W2〃恒成立，则C的离心率的取值范围是（0,1

答案BD

解析设尸（沏，和），所以1,

<e=5=T，:、a=2c,/.«2=1z?2,

..,b23

・・《暗号>&=一滔=一不

・•・选项A错误；

若PFJPFz,△。R尸2的面积为〃tan：=/，

・•・选项B正确；

若C上存在四个点P使得PFiJ_P后,即。上存在四个点P使得△PRF2的面积为P,

22

:.^-2c-b>bf:.c>b,:.(r>cr—c,

・・・°£（乎，1）,・••选项C错误;

若|PQ|W2力恒成立，・・・a+cW26

:.a?+。2+2acW4/=4(/—c2),

，5/+26—3忘0,

3

••.OveWg,工选项D正确.

x~y-

6.（多选）（2022•广州模拟）已知双曲线C：=1（〃>0,力>0）的左、右焦点分别为Q,%，

左、右顶点分别为A1，42：。为双曲线的左支上一点，且直线出I与以2的斜率之枳等于3,

则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为2

B.若PF|_LP&,且居=3,则。=2

C.以线段PQ,AN2为直径的两个圆外切

D.若点P在第二象限，则NPF|A2=2N%2FI

答案ACD

解析对于A,设P（x.>'）.则打="住一1）・

因为Ai(—a,0),Ai(a,Oi,

A2

所以心<左曰=-2=3,

得《=、/1+*=2,故A正确；

对于B,因为趣=2,

所以c=2a,

根据双曲线的定义可得俨冏一|PE|=2a,

又因为PFI±PF2,

/?2

所以△尸内尸2的面积为——=从=3,

tan7

4

又*=3,所以。=1,故B错误；

对于C,设PR的中点为。。为原点.

因为OOi为的中位线，

所以IOO]尸枭同=1(1PBi+2〃)=枭尸||+〃,

则可知以线段PQ,AN2为直径的两个圆外切，故C正确;

对于D,设P(xo,yo),则xo<—。，>'o>O.

因为e=2,所以c、=2〃，力=小〃，

则渐近线方程为

所以N班FC(0,到

NPF4w(0,y).

又tan/PF]A2=七=，

xo+cxo+2a

tan/%2Q=-3-

xo-a

__2y（）

所以tan2Z^42Fi=

—2y0（A-｛）—67）

2

~（x0-a）-yi

-2）b（x。—a）

-2yo(xo—a)

(40—〃)2—3,停一1)

—-2)Mro-4)

(网-4)2—3(高一川)

=击=3/所从，

因为2N%2a£（0,