勾股定理实际应用的四类综合题型-2025北师大版八年级数学上册

专题04勾股定理实际应用的四类综合题型

目录

典例详解

类型一、勾股定理解决最短路径问题

类型二、勾股定理解决网格问题

类型三、勾股定理解决行程问题

类型四、勾股定理解决梯子滑落问题

压轴专练

，类型-、勾股定理解决最短路径问题

例.如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为20dm,3dm,2dm.A和8是这个台阶上两

个相对的点，点A处有一只蚂蚁，想到点8处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点8的最短路程为

()

A20dm

B

A.18dmB.2(klmC.25dmD.35dm

变式如图，在一个长AB为8cm,宽4。为6cm的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的

棱和木板的宽A。平行旦棱长大于AD,木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达BC

边中点M需要走的最短路程为()cm.

c.V205D.66

变式1-2.棱长分别为8cm,6cm的两个正方体如图放置，点人B,C在同一直线上，顶点E在棱8/上,

点P是棱DK的靠近点。的三等分点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P,它爬行的最短距离

A.20cmB.8后cmC.2折cmD.2\/65cin

变式1-3.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为1女m,底面周长为10cm,在杯内壁离杯底3cm的点儿处有一滴蜂

蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从外壁B处到

内壁4处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（）cm

B・

・A

,----、

A.5x/5B.25C.I0N/2D.13

变式1-4.如图1,在棱长为2cm的立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点8处有一粒糖.

图2

⑴现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点B

处，如图2所示.请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？

(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为5cm,4cm,女m的长方体纸盒(如图3),其他条件不变，

试通过分析求蚂蚁经过的最短路程.

图3

类型二、勾股定理解决网格问题

例2.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网

格图形中，M,N均是格点.

(1)线段用N的长等于.

(2)点尸是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,且满足NWW=45。.在如图所示的网格中，画出点

〃的位置，在所有满足条件的△丹w中，边的长的最大值是一.

变式2-3.问题背景：在VA4C中，AB.BC、AC三边的长分别为百，屈，，百，求这个三角形的面积.小

辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点VA8C（即

VH8C三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求VABC的高，而借用网格就能计算出它

的面积.

（1）请你将VA8C的面积直接填写在横线上：_；

思维拓展：

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法.若△A8C三边的长分别为石“，2万/，J万〃（〃>（））,

请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为。）画出相应的V43C,并求出它的面枳.

探索创新：

（3）若VA3C三边的长分别为JM+]6〃2,59加+4/,2,4〃/十屋2（/〃>0,/?>0,且，〃工〃），试运用构图

法求出这二角形的面积.

图①图②

国类型三、勾股定理解决行程问题

例3.在海平面上有4,B,C三个标记点，其中4在C的北偏西54。方向上，与C的距离是800海里，B

在C的南偏西36。方向上，与C的距离是600海里.

⑴求点A与点8之间的距离；

(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点8

处有•艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的过程中，最

多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计).

变式4-1.如图，在港口A的正东3海里有一般搜救艇B,正南4海里有一艘搜救艇。，东偏南方向有一艘

轮船C.

⑴若8与C的距离为12海里，。与。的距离为13海里，求点D到直线的距离；

⑵当轮船C航行到点。的正东方向时，恰好在点8的东南方向.此时，轮船由于机械故障无法前行，只好

请求救援.若两艇搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？

变式4-2.如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛8,甲船沿东北方向向海岛3航行，其速度为

15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后

再转向北偏东30。方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.

（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保

留一位小数72=1.414,75=1.732,76=2.45）

变式4-3.如图，一艘渔船位于小岛8的北偏东30。方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东

IS。的方向航行.

⑴渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

⑵渔船到达距离小岛8最近点后，按原航向继续航行20卡海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛

8上的救援队求救，问救援队从E处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2

小时内到达C处进行救援？请说明理由.

国类型四、勾股定理解决梯子滑落问题

例4.消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场,

执行灭火、疏散等救援任务.消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难

度和风险.如图,已知云梯最多只能伸长到25m（即A4'=88'=25m）,消防车高4m,救人时云梯伸长至

最长，在完成从19m（即AM=19m）高的A处救人后，还要从24m（即9例=24m）高的B'处救人，这

时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离44为多少米？

变式4・1.如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面8处,

墙角记为点C.

（1）若AB=6.5米，BC=2.5米.

①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点8将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点6向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理

由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.

⑵若AC=8C,则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不

等.请比较顶端A下滑的距离与底端外移的距离的大小.

变式4-2.课本原题呈现:

一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.

（1）这个梯子的顶端距底而有多高?

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米

吗？

解决问题:

⑴请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面米；（2）问中，梯子的底部在水平方向

也滑动4米（填会或不会）；

⑵在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，

梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离.

⑶将原题中的条件〃云梯长25米"改变为"云梯顶端距底面20米"，将"梯子底端离墙7米"改变为"梯子的顶

端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米〃，请求出此梯子的长度是多少米？

压轴专练

1.如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高4r=4,若棱CC的中点P处有一只蚂蚁，要沿着长方体

的外表面爬到顶点N处，则它需要爬行的最短路程是（）

B.2历C.12D.14

2.如图.长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达8,

那么所用细线最短需要_cm.

A

3.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯A3c因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆

柱的底面直径为3m,已知AE+B尸=17m,8C=10m,一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸

4.综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格:

课题在放风筝时测量风筝离地面的垂直面度AD

A

模型二

抽象

ED

①测得水平距离EO的长为15米

测绘数②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线A8的长为"

据米

③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.8米

说明点A,B,E,。在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题.

⑴求线段A。的长；

⑵若想要风筝沿D4方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

5.【阅读理解】如图，将两个边长为1cm的小正方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，再将这四个

直角三角形无重叠无空隙地拼接在•起，就得到•个面积为2cM的较大正方形.这个较大正方形的边长为

______cm.

【拓展应用】

（1）图2是由5个边长为1cm的小正方形组成的图形，请你剪拼成一个大正方形（最多剪四次），并在4x4

的正方形网格中画出你剪拼成的图形，并适当的标记说明你是如何剪拼的；

（2）如图3,两个正方形纸片的面积分别为5=1,S2=9,请用这两个小正方形拼剪构造一个大正方形

ABCD（最多剪两次），请画出拼剪后的图形；

图3

6.问题背景：

在VA4c中，AB、BC、AC三边的长分别为石、回、屈，求这个三角形的面积.

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,然后在网格中画出格点

VA3C（即VA8C三个顶点都在小正方形的顶点处，4人物+产=4,BC=M，AC=JF）,如图①

所示.这样不需求VA4C的高，币借用网格就能计算出它的面积.这种求VA4C面积的方法叫做构图法.

图1图2

⑴请你将VABC的面积直接填写在横线上：.

⑵思维拓展：若VA8C三边的长分别为右〃、2枝a、J万。（a〉0）,请利用图②的正方形网格（每个小正

方形的边长为〃）画出相应的VA8C,并求出它的面积.

⑶探索创新：若VABC三边的长分别为，川+⑹/、j9〃『+4〃2、2y//?i2+n2（〃?＞。，〃＞。，且m#〃），

求这个三角形的面积.

⑷直接写出当x为何值时，函数y=J7而+如F二工有最小值，最小值是多少？

8.【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场,

如图，已知一架云梯长25m斜靠在一面墙匕这时云梯底端距墙角的距离08=20m,4408=90。.

【深入探究】

（1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到4位置上（云梯长度不改变），则底部8沿水平方向

向前滑动到所位置上，若4V=8m,求88'的长度；

【问题解决】

（2）在演练中，墙边距地面24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠

墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小「云梯长度的3,则云梯和消防员相对•安全，在相对安全的前提下，

云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？

9.周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告:

活动课题风筝离地面垂直高度探究

风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木

问题背景

鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.

假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段A8）.勘测组测量了相关数据，并画出如图的

示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离的长为15米，风筝线的长为25米，

牵线放风筝的手到地面的距离为L7米.

测量数据

D

数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务：

⑴根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度4。；

(2)如果风筝沿A。方向下降了12米，8C的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线?

10.项目式学习

项目主题：测量学校旗杆的高度

项目背景：国旗是国家的象征和林志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大.同学们想知道

学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，"创新''小组在老师的指导下，利用所学知识展开了

项目学习.

项目步骤:

测量工

皮尺、旗杆顶端的绳子

具/

模型抽

象\

BCBE

图1图2

①如图1,线段48表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多

出了一段8C,小乐同学用皮尺测出8C的长为0.5米；

测量方

②如图2,小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳

案及相

子拉直为止，此时该同学直立于地面点E处，小雷同学用皮尺测出跖的长为8

关数据

米；

③小新的身高为1.5米.

问逊解决：根据“创新”小组的测1：方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点。作

DF工AB于点、F,则BF=DE=1.5米.请根据“智慧”小组的思路完成下列问题：

⑴直接写出线段A8与AO之间的数量关系：；

(2)求出学校旗杆的高度.

专题04勾股定理实际应用的四类综合题型

目录

典例详解

类型一、勾股定理解决最短路倒口题

类型二、勾股定理解决网格问题

类型三、勾股定理解决行程问题

类型四、勾股定理解决梯子滑落问题

压轴专练

疹类型一、勾股定理解决最短路径问题

例.如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为20dm,3dm,2dm.A和B是这个台阶上两

个相对的点，点A处有一只蚂蚁，想到点8处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点8的最短路程为

A.18dmB.20dmC.25dmD.35dm

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为20dm,宽为

（2+3）x3dm,根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是线段A8的长，利用

勾股定理求出A8的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键.

【详解】解：如图，连接三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm,宽为（2+3）x3dm・

13两点之间，线段最短

13蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是线段AB的长,

团AB?=2（）2+[（2+3）x3[=625=252,

=25dm,

故选:C.

变式1-1.如图，在一个长A8为8cm,宽AZ）为6cm的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的

棱和木板的宽A。平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达BC

边中点M需要走的最短路程为（）cm.

A.10B.3x/l7C.V205D.6不

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定

理解答即可.

【详解】解：如图，将木块展开，

由题意，得：展开后长方形的长为8+2+2=12cm,BM=4BC=4AO=女m,

22

则：蚂蚁从点A出发到达3C边中点M需要走的最短路程为VJ7方=3&7cm：

故选B.

变式1-2.棱长分别为8cm,6cm的两个正方体如图放置，点A,B,。在同一直线上，顶点£在棱B厂上,

点P是棱QK的靠近点。的三等分点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P,它爬行的最短距离

A.20cmB.8\/2cmC.2\/73cmD.2\/65cm

【答案】D

【分析】本题考查平面展开-最短问题.求出两种展开图A4的值，比较即可判断.

【详解】解：如图，DP=；DK=2,有两种展开方法：

方法一：PA=Vl42+8-=2x/65cm，

方法二：PA=>/（8+6+2）2+62=2>/73cm.

故需要爬行的最短距离是2而cm.

故选：D.

变式1・3.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为13cm,底面周长为10cm,在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂

蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm,且与蜂蜜相对的点3处，则蚂蚁从外壁3处到

内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（）cm

A

A.5A/5B.25C.IOx/2D.13

【答案】D

【分析】本题考查了平面展开一最短路径问题，将杯子侧面展开，如图：延长4E至。，使作

DH工B口于连接BD交CE于F,根据两点之间线段最短可知4。的长度即为所求.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长AE至Q,使AE=DE,作于B',连接8。交C石于

回AE=QE=13-3=10cm,88'=2+10=12cm,NBB'D=90。,

团底面周长为10cm,

0BD=-x10=5cm,

2

0BD=V52+122=13cnv

^AE=DE,EF±AB,

^AF=DF,

0BF+AF=BF+DF之BD>

例最短距离为13cm.

故选：D.

变式1-4.如图1,在棱长为2cm的立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚊，在另一顶点3处有一粒糖.

⑴现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了•条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点8

处，如图2所示.请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？

（2）将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为5cm,4cm,女m的长方体纸盒（如图3）,其他条件不变,

试通过分析求蚂蚁经过的最短路程.

图3

【答案】（1）甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短；

⑵蚂蚁经过的路程最短路程为Mem.

【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理.

（1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可；

（2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行

比较即可.

【详解】（1）解：回纸盒是棱长为2cm的立方体，

团甲设计的爬行路线长为2x3=6,

乙设计的爬行路线长为后，+2=2&+2，

丙设计的爬行路线长为中+（2x2）2=2x/5,

团6>2夜+2>26，

回甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，

答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短.

（2）解：（2两点之间线段最短，

团不考虑沿着棱爬行的情况，

如图所示，

蚂蚁沿A-。.8爬行，经过的路程长为AB.=而+5）2+4z=4石，

蚂蚁沿4fOfB爬行，经过的路程长为A与=J（3+4『+5?=加,

蚂蚁沿AfE->4爬行，经过的路程长为J（5+41+32=3M,

0x/74<4>/5<3x/lO,

团蚂蚁沿Aff8爬行，经过的路程最短，最短路程为反：：,"，

答：蚂蚁经过的路程最短路程为、伍cm.

，类型二、勾股定理解决网格问题

例2.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网

（1）线段的长等于—；

（2）点尸是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,且满足NMPN=45。.在如图所示的网格中，画出点

。的位置，在所有满足条件的△0WN中，边的长的最大值是一.

【答案】2小4、鸟、4、生、Ps2M

【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，圆周角定理，圆的性质

等，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

（1）运用勾股定理即可求得答案；

（2）在8c边上取点鸟，使3《=AN=2,连接N6,，可证得△MANg^NB/^SAS）,进而可得△，⑷V

是等腰直角三角形，再作△鸟MN的外接圆可得出符合条件的点，再运用圆的性质可知当M尸为直径时最长，

利用勾股定理可求得答案.

【详解】解：（1）如图1,在RLAM7V中，4W=4,AN=2,NMAN=90。，

/.MN=JAM2+AN2=\l42+22=25/5•

图1

故答案为：2#);

(2)如图2,在8C边上取点巴，使66=4V=2,连接N£,加巴,

,；NB=4,人例=4,

图2

:.NB=AM，

•.•NM4N=NN84=90。，

.•.△.KAN丝△N8£（SAS）,

/.MN=NP2,4AMN=ZBNP2,

-ZANM+ZAMN=90°,

:.ZANM+NBNP：=90。，

.•.△6MN是等腰直角三角形，

/.NM/^N=45°,

作的外接圆交网格于<、匕、&、匕,

根据圆周角定理可得：NM«N=/MP'N=NMP&N=NMRN=NM〃N=45。，

根据题意得到点尸的轨迹为圆弧，当M尸为直径时最长，即点P位于点2处时,M尸最长,

22

在中，P2M=^MN+P.N=J(2石『+倒石/=2>/10.

故答案为：A‘%与P"6；2\/10.

变式2-1.如图是边长为1的小正方形组成的5x8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.VABC的顶点均在

格点上.

（1）（2）

⑴直接写出V人8c的形状；

（2）仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）；

①在图（1）中的AB上画点。，连接CO,使CD=A。；

②在图（1）中的AC上画点E,连接OE,使。£=>/记；

③在图（2）中的8C上画点G,使N3AG=45。.

【答案】（1）直角三角形；

（2）①作图见详解；②作图见详解：③作图见详解；

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可：

（2）①作线段8C的垂直平分线交A8于点点。即为所求；

②设AC的垂百平分线交八C于点心在RC或宠人上，截取R氏五或R£=夜，连接。氏即可;

③取格点兀连接A7交8c于点G,点G即为所求.

【详解】（1）解：团AC=^T?=3Q，

8JJ42+42=4&，

AB=V72+12=5>/2»

团4c2+靖=4夕，

13azBC是更角三角形；

（2）如图（1）中，点。即为所求；

如图（1）中，点E或点£,即为所求;

A

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学

会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

变式22在V/WC中，AB.BC、AC三边的长分别为石，如,瓜求这个三角形的面积.小明同

学在解答这道题时，先画•个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点VA5C（即VABC

三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求V4BC的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（2）若的三边DE、EF、/）尸长分别为强，而，河，请在图2的正方形网格中画出相应的“F,

并求出GEF的面积为.

（3）在VA8C中，A8=M，AC=3.AC=1,以A8为边向VA3。外作△A3。（。与C在A8异侧〉，使△A3。

为等腰直角三角形，则线段co的长为.

【答案】⑴夕7

（2）图见解析，5；

⑶2后或5或g.•

【分析】本题考查网格问题，解题的关键是掌握割补法求三角形面积，以及勾股定理，结合图形进行求解.

（1）利用割补法求VA8c的面积即可；

（2）利用割补法求△力所的面积即可；

（3）画出符合题意的三种图形，运用勾股定理即可解决问题.

【详解】（1）解：如图：将V4BC填补成梯形bcca

故答案为：j;

（2）解：△£）£/如图所示:

图2

同（1）中的方法，将△£）砂填补成梯形房，。,

故答案为：5；

（3）解：回=AC=3、BC=I,

^AB2=AC2+BC2,即VA3C是直角三角形，

根据。与。在A8异侧，可得第一种情况：如图,

结合网格由勾股定理可得：AD=l3D=yl\2+?2=45^=(\/5)2+(>/5)2=(V10)2,

@Z4DB=90°,

0CD=>/22+22=2X/2.

第二种情况：如图，

结合网格由勾股定理可得：AB=AD=>Jl2+32=V10»BD==2y/5，

团BD2=AB2+AD2=（x/10）2+（同2=（2x/5）\

0ZfiAD=9Oo,

0CD=V32+42=5-

结合网格由勾股定理可得：AB=BD=>J\2+32=V10»AD=J（2『+（4）2=26,

团心=6+^D2=（Vio）2+（Vio）2=（2扃，

国？ABD90?,

0CD=712+42=V17.

故答案为：2&或5或J万.

变式23问题背景：在V4BC中，AB.BC、AC三边的长分别为6,回，屈，求这个三角形的面积.小

辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点VA8C（即

V48C三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求V48C的高，而借用网格就能计算出它

的面积.

（1）请你将VABC的面积直接填写在横线上：_；

思维拓展：

（2）我们把上述求AA3C面积的方法叫做构图法.若AA3c三边的长分别为晶，2曰I,Ji九（a>0）,

请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为。）画出相应的VA8C,并求出它的面积.

探索创新：

（3）若VA3c三边的长分别为+16/,，9加+4〃'2,4〃/+,/（〃?>（）,〃>0,且〃孑〃），试运用构图

法求出这三角形的面积.

图①图②

7

【答案】（1）（2）画图见解析,3a2；（3）构图见解析,5nm

【分析】本题主要考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，

关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答.

（1）利用割补法求解可得；

（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为耳、2缶、xA力（〃>0）的首尾相接的三条线段，再利用割补

法求解可得；

（3）在网格中构建边长为和6〃的矩形，同理作出边长为5川+]6〃2、4W，的三角形，

最后同理可得这个三角形的面积.

【详解】解：（1）△ABC的面积为3x3—1xlx2—；xlx3-;x2x3=1,

7

故答案为：p

（2）如图，AB=2应a，BC=岛,AC=EI，

由图可得：sABC=2«x--X67x--xx--X«X=3£；2：

故答案为：3«2;

(3)构造VA8C所示，AB=J(2w『+(2〃『=2，川+〃2,

AC=yjm2+(4n)'=\lm2+I6n2,

BC=+(2n)2=J%,」+4〃2,

6〃

团SSHC=3〃?x4〃——xmx4〃——x3wx2〃——x2mx2n=5inn.

多类型三、勾股定理解决行程问题

例3.在海平面上有A,B,C三个标记点，其中A在C的北偏西54。方向上，与。的距离是800海里，B

在C的南偏西36。方向上，与C的距离是600海里.

⑴求点A与点B之间的距离；

⑵若在点。处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B

处有一艘轮船准备沿直线向点4处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的过程中，最

多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）.

【答案】⑴48=1000海里

⑵最多能收到29次信号

【分析】（1）由题意易得NAC8是直角，由勾股定理即可求得点A与点8之间的距离；

（2）过点C作交A8于点”，在AB上取点M,M使得CN=CW=500海里，分别求得NH、MH

的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；

【详解】（1）由题意，得：NNCA=54。,ZSCB=36°；

0Z4Cfi=9O°；

040=800,8c=600；

团AB=ylAC2+BC2=1()00海里:

（2）过点C作C〃_LA6交A6r点〃，在A6上取点M,N,使得CN-CM—500海里.

A

N

MV/S

B

121C”_LA4:

团NCMA90。：

0C7/=48O；

0CV=CM=5OO；

田NH-MH-JCM2-CH?-140：

则信号次数为14卷0x土2+0.5+1=29（次）.

答：最多能收到29次信号.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌

握勾股定理是关键.

变式4-1.如图，在港I」4的正东3海里有一艘搜救艇B,正南4海里有一艘搜救艇。，东偏南方向有一艘

轮船C.

⑴若4与。的距离为12海里，。与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；

⑵当轮船C航行到点。的正东方向时，恰好在点3的东南方向.此时，轮船由于机械故障无法前行，只好

请求救援.若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？

【答案】（1）点。到直线BC的距离为8。的长度，即5海里

（2）派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出密点

【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5,再由勾股定理逆定理可得AB。。是直角三角形，知团C8O=90。，则点

D到直线BC的距离是5海里；

（2）正确画图，计算C。和8c的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇.

【详解】⑴解团如图，连接B。，

根据勾股定理可得朋/）=JAD'A*=5/32+4?=5・.

0B£>=5,BC=12,DC=13,

根据勾股定理的逆定理可得

0BD0BC,.

（3点。到直线BC的距离为8。的长度，即5海里.

（2）解：如图，过点8作8£HC0于点瓦

南

依题意可得，四边形48显）是矩形，故8E=4,DE=3.

（3点。在点B的东南方向，

00CB£=45°,

乂叵8£HCO,回8EC=90°,

□0ZJCE=45\

国BE=EC=4,

^DC=DE+EC=7.

WE3\CD,根据勾股定理可得（38C=1BE、CE，=742+42=40.

072=1.414,

团4拉=5.656V7.

当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点.

【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键.

变式4・2.如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛8,甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为

15海里/小时；乙船速度为20海旦/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后

再转向北偏东3（）。方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.

⑴求港口4到海岛B的距离：

（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保

留一位小数V2=1.414,石=1.732,76=2.45）

【答案】⑴30&+I0面

（2）乙船

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识

解答.

（1）作8£>_LA石于点。.构造两个直角三角形并解直角三角形，用8。表示出CO和4D.利用D4和QC之

间的关系列出方程求解：

（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可.

【详解】（1）解：过点B作比>J_AE于点。，

在RtZk8C£)中，ZBCD=60°,设C£>=x,则8£>=瓜，BC=2x，

在Rt△48。中，ZBAD=45°,

则AQ=BO=氐，48=同。=向，

由AC+CD=ADf,.j-20+k->/3x>

解得x=10x/5+l0.

AB=x/6x（i0>/3+10）=30V2+10N/6,

答：港口A到海岛B的距离为30丘+10"海里；

（2）解：甲船看见灯塔所用时间：30、+10--5。4］小时,

15

乙船看见灯塔所用时间：］+"+生320二5=4.0小时,

220

所以乙船先看见灯塔.

变式4-3.如图，一艘渔船位于小岛3的北偏东30。方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点人的南偏东

15。的方向航行.

⑴渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

⑵商船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20面海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛

8上的救援队求救，问救援队从月处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2

小时内到达C处进行救援？请说明理由.

【答案】（1）20人海里；

（2）能，理由见解析.

【分析】（1）过8点作AC的垂线8。交AC「点。，则A。为所求，根据已知条件得到/84。=45。即可解

答；

（2）在&ABDC中，根据勾股定理求出BC,再根据救援速度求中救援时间，最后与2小时进行比较即可得

出答案.

【详解】（1）解：过B点作人C的垂线交4c于点。，

由题意可知：N84尸=30。，ZC4F=15°,

团々入0=45°,AO=8O=4Bsin450=40x也=20五（海里），

2

回垂线段最短，AC上的。点距离B点最近，A。即为所求，

团渔船航行20五海里时，距离小岛8最近.

（2）解：能，理由如下：

团用）=20海里，DC=206海里，

团在此人加。中，根据勾股定理，BC=yjBD?+DC==J（20扬2+（2。府=4。五（海里），

团救援队的速度为每小时30海里，

团救援时间为：40五+30=3后（时），

团&&<2,

3

回救援队能在2小时内到达C处进行救援.

【点睛】本题考查了解非直角三角形，以及解直角三角形的应用中的方向角问题，勾股定理，解题的关键

是理解题意，并正确作出辅助线进行求解.

覆类型四、勾股定理解决梯子滑落问题

例4.消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场,

执行灭火、疏散等救援任务.消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率.，缩短救援时间，减少救援难

度和风险.如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即*=M'=25m）,消防车高4m,救人时云梯伸长至

最长，在完成从19m（即AM=19m）高的/V处救人后，还要从24m（即氏W=24m）高的8'处救人，这

时消防车从4处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？

【答案】这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离4B为5m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

由勾股定理求出A。、8。的长，即可解决问题.

【详解】解：由题意可知，DM=4m,A4'=89=25m,AM=19m,B，M=24m,AD_LB'M，点A、B、。三

点共线，

/.A'D=A'M-OM=19-4=15(m),8'。=EM-OM=24-4=20(m),

在RbAA'O中，由勾股定理得：AD=ylAA^-AD2=V252-152=20(m)»

住RMB&D中,由勾股定理得：BD=dBE?-B'D?=也52-20?=15(m)，

AB=A。-8。=20-15=5(m).

答：这时消防车从A处向若火的楼房靠近的距离AB为5m.

变式4-1.如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处,

墙角记为点C.

(1)若43=6.5米，8。=2.5米.

①竹竿的顶端4沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从4处沿墙AC下滑的距离与点8向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理

rh；如果可能，请求出移动的距离(保留根号).

⑵若AC=8C,则顶端A下滑的距离与底端8外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不

等，请比较顶端人下滑的距离与底端B外移的距离的大小.

【答案】(1)①瞥*米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC卜滑的距离H点3向外移动的距离，有可能相等，

理由见解析

⑵不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离.

【分析】(1)先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：A/T=lm，可得到A'C=AC-村=5米，由

勾股定理可得B'C的长，即可求解：②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x

米，根据勾股定理，列出方程，因可求解；

(2)设4c=8C="，从A处沿墙AC下滑的距离为〃?米，点8向外移动的距离为〃米，则AB=A'9=拒a，

根据勾股定理，列出方程，可得加-〃=贮的,即可求解.

2a

【详解】(1)解：I3C=900,八4=49=6.5米，

图AC="4-噎=6米'

①根据题意得：AA1=1m>

团AC=AC-A4'=5米，

回BC=1A/-A'C?=叵米,

2

团3B'=8'C-4C=典一2.5=屈一5米,

22

即点8将向外移动叵0米；

2

②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：

设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点8也向外移动的距离为x米，根据题意得：

(6-X1+(2.5+X『=6.52,

解得：为=3.5,占=。(舍去)，

团从A处沿墙AC卜滑的距离为3.5米时，点8也向外移动的距离为3.5米，

即竹竿的顶端从4处沿墙AC下滑的距离与点8向外移动的距离，有可能相等；

(2)解：不可能相等，理由如下：

设AC=BC=a,从4处沿墙AC下滑的距离为，〃米，点3向外移动的距离为〃米，则/W=46'=，根据

题意得:

+（a+〃）~=（血。），

整理得：2a（/〃一〃）=nr+n2,

m+n

BPin-n

2a

回4、〃?、〃都为正数,

22

0m-n=+”>0,H|J"2>〃.

2a

回顶端A下滑的距离大于底端8外移的距离.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

变式4-2.课本原题呈现:

一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.

（1）这个梯子的顶端距底而有多高?

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米

吗？

解决问题:

⑴请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面.米；（2）问中，梯子的底部.,在水平方向

也滑动4米（填会或不会）;

⑵在原题中，若保持梯子底端不动，将梯