高三大题优练7 带电粒子在磁场中运动 学生版

大题优练7带电粒子在磁场中运动

例1.如图所示，xQy平面上以坐标原点0为圆心的四分之一圆形区域MON内，分布着磁感应强度B=2.()x1()

7T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点。为亚m,磁场方向垂直纸面向里，坐标原点。处有一个粒子源,

不断地向X。，平面发射比荷2=5x107C/kg的带正电粒子，它们的速度大小都是£=”1()5m/s,与x轴正方向

m

的夹角分布在0〜90。范围内，不计粒子重力。

(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；

(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源。发射时的速度与J轴正向的夹角；

(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从。点垂直磁场方向射入第•象限，求粒子在磁

场中运动的时间/与射入时与x轴正向的夹角0的关系。

【解析】(1)平行于x轴射入的粒子，轨迹如图甲所示，设出射点为P,由＞8=〃?]

得R=1mo

由几何关系可知gP=OQ=Im,OP=\2m,则△OQP为等腰直角三角形，x=y=1m,

故夕点坐标为(Im，Im)

、_.,、，a271rHn

运动时间为/o=----------=-x]0-5s。

2兀qB2

甲乙丙丁

(2)如图乙所示，由几何关系可知：O2M=O2O=\m,OM=\!im

则△QOM为等腰直角三角形，/。2。加=45。

则〃=/O2OA/=45。。

,mv1《2mEkR'£k'r

(3)由R=—,Ek=mv2可知R=--------,—=--------=\2

qB2祁RJEk

则&'=啦nio

粒子从M点出射时。M=*,如图丙所示，△O3OM为正三角形,圆心角出射角

33

若粒子从弧"N上射出时，弦长均为也m,圆心角均为公=三

3

,,,(x!2兀〃？n,,n,it

运动时间l均f为/=------=-x105s,故OS比-时，/=-xl05s

2nqB333

若粒子从边出射时，如图丁所示，af>=2^-0y11-20

、一.a“2TU〃.,,nn,

运动时间/“=------=(兀-2。)入10-5s,故—<把一时，z=(7i—2<9)X1O~5So

27tM32

例2.如图所示，在止。的范围内，存在方向沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E;在x>0的范围内，

存在圆心为(2£,0)、半径为23垂直xQy平面向里的圆形匀强磁场。一个笈核(IH)和一个瓶核(祚1)先后从电

场中的P(—2£,依L)点、、平行纸面沿x轴正方向以相同的动能射出，已知，从坐标原点。进入磁场，且射出

磁场时速度方向与y轴正方向平行，〃的质量为小、电荷量为如不考虑重力，求：

(1)国从夕点射出时的动能;

(2)磁场磁感应强度的大小；

(3"H射出磁场时速度的方向。

【解析】(1)设父核从尸点射出时的速度大小为玲、动能为石领在电场中运动的时间为/，则:

2L=v(tl,6乙=%凡qE=nia

1,

&0=3〃八，

解得：EkQ=—cfEL.

(2)设气核进入磁场时速度的大小为】，、方向与x轴夹角为以沿y轴负方向分速度大小为匕“则:

Vyr-V

v=at,tan6>=—=\'3>v=——

vvosin9

2cqEL

解得：v=2

3w

次;核进入磁场后做匀速圆周运动，设磁感应强度的大小为8,轨迹半径为八则有:

V2

qvB=m—

射入点。、磁场圆心彷、射出点C、轨迹圆心。2构成菱形，由几何关系有:

⑶设施核射出时速度为Vo',到y羯时间为，该过程沿y轴负方向位移大小为到达），轴时速度的大小为

/、方向与x轴正方向夹角为例，则:

3〃，/

,1qE,2L、、v

y=-x—x(——)'=y，tan6'=----—=tan<9

-23m」I

VQ%

cos。3

即旅核也从坐标原点。进入磁场，设尔核在磁场中做圆周运动的半径为，"，则有:

q/B=m'—r

解得：，=2、,乳

由几何关系可知，射入点0、射出点。、轨迹圆心。3构成等边三角形，且Q。垂直x轴，所以次核离开磁场

时速度方向与X轴正方向平行。

1.如图所示为平面直角坐标系X。，平面的俯视图，在第一象限存在方向沿了轴正方向的匀强电场，电场强度

q

电场使得Gw=Uu，把一群比荷一=3X102c/kg的负电荷在。。间静止释放，所有的负电荷都没有从/月边射

m

出磁场，不计电荷的重力，不考虑电荷间的相互作用，求:

(1)5的最大值：

(2)负电荷离开x轴的可能范围。

3.在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xQy平面向外、磁感应强度大小为8

的匀强磁场，沿x轴放置一长为2A的探测板，与磁场下边界的间距为R,质量为〃八电荷量为q的正离子源

从正方形一边(位于y轴上)的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向夹角范围

为0〜6()。且均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为ua为

cosa

发射速度方向与水平方向夹角，其中当。=0。的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间

5

的相互作用和离子的重力,离子打在探测板即被吸收并中和,已知&=0.05m,B=1T,vo=5xlOm/s,sin37°=

0.6,cos37°=0.8o

(I)求离子的比荷2；

m

(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数〃：

(3)要使从磁场卜边界射出的所有离子都打不到探测板上，需要在磁场与探测板间加上沿y轴正方向的匀强电

场，求所加匀强电场的电场强度最小值心(结果保留两位有效数字)

4.如图甲所示，在水平地面上有一个口径为力深为/?的漏斗形旱井。井的左边侧壁竖直，跣其水平距离s

处有一个高为，的水平平台，平台上装有绝缘弹射器，可以将质量为〃人电荷量为可可看作质点的小球以速

度也弹射出去，功的方向跟井口直径在同一竖直平面M内。当小球水平向右弹出后，小球从井口上方掠过。

忽略空气阻力，重力加速度为g。

(1)为了使小球能打进井中，可在地面上方平行于平面M加水平方向的匀强电场，求此电场的电场强度的取

值范围和方向:

(2)若在地面上方加一平行于平面M的匀强电场，小球可以无碰撞地落到井底，求小球从开始运动至落到井底

的过程中机械能的变化展;

(3)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小,同时加•个匀强磁场，改变弹射器的弹射方

q

向为斜向右上方，也恰能让小球无碰撞地落到井底，求匀强磁场的磁感应强度的大小以及均与水平方向的夹

角。的正切值;

me

(4)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小£=—,再加上磁感应强度大小相等的有理想边界的

q

两个并列匀强磁场，如图乙所示，以同(3)一样的方向将小球弹射出去，也能让小球无碰撞地落到井底，求所

加磁场的磁感应强度大小。

5.如图所示，某粒子分析器由区域I、区域II和检测器。组成。两个区域以垂直z轴的平面P为界，其中区

域I内有沿着z轴正方向的匀强磁场和匀强电场，区域II内只有沿着z轴正方向的匀强磁场，电场强度大小为

E,两个区域内的磁感应强度大小均为瓦当粒子撞击检测器。时，检测器被撞击的位置会发光。检测器中心

。在z轴上，在检测器所在平面上建立与X。坐标系平行的坐标系仙9”。一质量为〃?、带电荷量为夕的带正

电粒子从4点沿x轴正方向以初速度W射入，若区域I内只存在匀强磁场，其轨迹圆圆心恰好是。点，平面产

与。点的距离L=至空，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。

qB’

区域I]

⑴求力点的位置，用坐标(x,y)表示;

(2)若区域【只有匀强电场巴当检测器Q置于平面尸处时，求检测器上发光点的位置.，用坐标表示

(3)当检测器距离。点的距离为"时，求检测器上发光点的位置，用坐标(片，/)表示。

答案

I.【解析】分析粒子运动。作出粒子的运动轨速如图所示。

(1)粒子在P点沿X轴负方向进入匀强磁场，做匀速圆周运动，设半轻为「，根据牛顿第二定律有:

qv()B=m—

代入数据解得r=d

可见粒子做圆周运动的圆心在。点，力点在圆周的最高点，坐标=/•=[

(2)由题可知粒子在C点的动能为在A点动能的2倍，有:

12012

-mvc=2x-mv0

解得粒子在C点的速度大小吃=缶。

可知叱与x轴正方向的夹角a=45°,粒子沿y轴负方向的分速度vCy=v0

qE、

在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度"

m

在y轴负方向根据运动学公式有%'=2。/

耳=皿

联立解得2qd

比与X轴的夹角a=45。，根据运动特点可知0c=2"

zi=—2d

运动时间%

由题意有&="i

根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和吹、的方向垂直，加速度

m

;

vct2cos45=—a2t；sin45'

C、。在同一条平行于y轴的直线上，在x轴方向位移为0,有2

匕2=—7

联立解得qdo

(3)粒子在D点的速度大小力二J(矶>+♦=Mo

W=-wVp--mvQ

从彳点到。根据动能定理可得电场力做的功22

匹=26片

联立解得2。

2.【解析】⑴所有的负电荷都没有从43边射出磁场的临界如图所示，根据几何知识可得，此时的半径为

qv°B=m-

带电粒子在磁场中偏转，由洛伦兹力提供向心力，则人

qUQ=-mv~

带电粒子在电场中加速，根据2

代入数据解得Uo=5OV。

(2)带电粒子离开磁场时，速度方向与电场方向垂直，粒子做类平抛运动，其中

%=/勺"=VJxlO2m/s

a=—=4xl04m/s2

加速度为〃？

粒子做类平抛运动在垂直电场方向的位移为占二%/

必=—at2

在沿电场方向的位移为2

根据几何关系可得0H=1m

tan60'=­；­!0G=*

又因为°”一,，sin60'

联立各式，代入数据解得°G=1m

则x=OO+OG=2m

所以负电荷离开x轴的可能范围为°<x<2mo

3.【解析】（1汝=0。的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出，做出离子的轨迹如图所示，根据几何

关系可得离子运动轨迹半径r=R

根据洛伦兹力提供向心力得：qv.B=m—

r

q

解得离子的比荷一=10?C/kg。

m

R，=叫=旦

⑵发射角为a的离子运动轨迹半径为qBssacosa

如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y轴上的弦长

L=2R'cosa=2R

即所有粒子都打到。点实际只有边长为2R的正方形区域存在磁场根据对称性可得从P向磁场发射的离子均

垂直磁场下边界射出，根据几何关系可得离子出磁场下边界的位置横坐标为

Xa=R'+R'sina

离子要打在探测板最右边时，需满足x0="+R'sina=2A

将运动轨迹半径斤代入上式得l+sina=2cosa

解得a=37。

因为离子速度y=—或

cosa

所以当a>37。时离子轨迹半径变大，粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，并沿0—60。范围均匀分布,

="N

n

单位时间发射N个离子;则单位时间内能打在探测板上的离子数60

（3）只要从磁场卜.边界射出的速度最大的粒子打不到探测板上，则所有离子都打不到探测板上，离子最大的速

度为01cos37°4°

当最大的速度小的离子恰好达不到探测器时，此时电场强度为最小值，根据动能定理有

一咨二0一?〃（争2

解得£=3.9xl05v/m。

4.【解析】（1）在竖直方向小球做自由落体运动，有"二g卬

解得「楞

在水平方向上小球做匀减速运动，加速度大小为％,设小球从井口左侧进入井中，有

2

qE]=mai,s=v()t-^a]t

同埋可得，当小球从井11右侧进入井中，所加电场的电场强度大小为

2gH-mg(s+d)

E

2=qH

电场强度方向水平向左，纭的取值范围为

加%J2gH-mg(s+d)加%J2gH-mgs

(2)由题意可知，若小球可以无碰撞地到达井底，则小球需从井口的左侧竖直进入。设小球从弹射出去到运动

至井口的过程中，历时为，，则水平方向s=

42

v

竖直方向”=

2

2

由功能定埋得叱也十mgli=—mvv--mv1

22

机械能的增加量为'

联立解得AE="*(，丁2)一口.。

2s“

(3)由于〃?g=q£,所以小球在洛伦兹力的作用下在复合场中做匀速圆周运动，圆心在如图甲所示的。点，设

半径为K

甲

由几何关系可知十(S—W

2

解得及=2H二+

由牛顿第二定律得夕%3=加看

2msy0

解得4=

qM+s?)

由几何关系可知弹射速度与水平方向的夹角0=N04C,则

27

2sH

（4）由于两个并列磁场的磁感应强度大小相等，小球运动轨迹如图乙所示，半径为/

R

由题意得(〃=1,2,3,…)

In-1

设磁场的磁感应强度为"，由牛顿第二定律得夕匕"'=〃?幺

解得=5T23,…）。

5.【解析】⑴由洛伦兹力提供向心力有夕%8=〃?藁

解得及=吗

qB

故4点的位置为（0,吗］

I知。

（2）粒子做类平抛运动，有人旦~里，•归;

qB?2m

2兀m

解得4=

qB

则横坐标为f=%匕=红%

纵坐标与力点的纵坐标相同，故发光点的位置为包“，性

IMqB)

(3)⑴当”“乙时，粒子的运动可以分解为沿z轴方向初速度为零的匀加速直线运动和x