高三数学一轮复习讲义（基础版）函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值

【课标要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义2掌握函数单调

性的简单应用.

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数J*)的定义域为。，区间K。，如果VX],QW/

当莺42时，都有____________________，当山〃2时，都有____________________，

定义那么就称函数./U)在区间/上单调递增，那么就称函数./U)在区间/上单调递减，

特别地，当函数/U)在它的定义域上单调特别地，当函数人幻在它的定义域上单调

递增时，我们就称它是增函数递减时，我们就称它是减函数

W(X2)

图象描述力断

自左向右看图象是___________的自左向右看图象是___________的

(2)单调区间的定义

如果函数)，一人光)在区间/上或,那么就说函数在这一区间具有(严格

的)单调性，区间/叫做y=/(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提一般地，设函数y=/(力的定义域为。，如果存在实数M满足

(l)VxeD,都有_______________；(l)V.rGZ),都有_______________：

条件(2)3x0(2月其£。，

使得_____________使得______________

结论M是函数)，=人幻的最大值M是函数y=/(x)的最小值

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)若函数式外满足式-3)勺(2),则贝工)在［-3,2］上单调递增.()

(2)若函数人处在(-2,3)上单调递增,则函数/U)的单调递增区间为(-2,3).()

(3)若函数人处在区间，句上连续，则人\)在区间，切上一定有最值.()

(4)函数的单调递减区间是(一8,0)U(0,+8).()

2.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=-x+lB.yB=(x-l)2

C.y=|hix|D.yD=x

3.函数,，=一±在区间［1,2］上的最大值为()

A..—-1Bn.--1

32

c.-lD.不存在

4.函数7U)是定义在［0,+8)上的减函数，则满足八2》-1)寸(§的X的取值范围是.

1.熟记与函数单调性有关的常用结论

(1)若工有，X2£/(»NX2),贝|J

©^巫3>()(或(汨一钝”)在区间/上单调递增.

Xj-X2

g<0(或(由一X2)［/UI)-/U2)］<0)5U)在区间/上单调递减.

“1一42

(2)y=x+：的单调递增区间为(一8,—1］和［1,+8),单调递减区间为(一1,0)和(0,1).

(3)在区间/上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(4)函数虑⑴)的单调性与函数产川/)和〃=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

2.谨防四个易误点

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.

(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.

⑶一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然

题型一确定函数的单调性

命题点1函数单调性的判断

例1(多选)下列说法中，正确的是()

A.函数尸e1一或在(一8,())上单调递减

B.函数y=211+11的单调递减区间是(-8,-IJ

C.函数)=2一/+2工+3的单调递增区间为［1,+8)

D.函数)，=2x+2cosx是增函数

命题点2利用定义证明函数的单调性

例2(2025・白银统考)已知函数以尸鼻，xe(-2,2),判断函数府)的单调性，并证喙

思维升华确定函数单调性的四种方法

(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.

跟踪训练1⑴下列函数中，满足“对任意即，x2e(0,+8),当即令2时，都有加)》也)”的是

()

A.f(x)=x|x|

2

C.f(x)=-

D.f(x)=#—f+2x

⑵(2025•漂河模拟)函数)，=log3(—V+2Y+15)的单调递减区间是()

A.(l,4-oo)B.(l,5)

C.(-3,1)D.(-8,I)

题型二函数单调性的应用

命题点1比较函数值的大小

例3定义在R上的偶函数人制满足：对任意的国，xe(-co,0](为#也)，有4%)一""2)<0,贝ij()

2xl~x2

A.f(-2)</(3)<A4)

B.f(—2)»(3)44)

C.f(3)勺(4)勺(一2)

D.f(4i</(-2)</(3)

命题点2求函数的最值

例4函数尸」7—1+x(x23)的最小值为______________.

X-1

■微拓展■---------------------------------------------------------------------------------------------

求函数的值域(最值)的常用方法

(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.

(3)数形结合法.

(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.

(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.

典例(多选)下列函数中，值域正确的是()

A.当je[O,3)时,函数尸为+3的值域为。,6)

B.函数尸三斗的值域为R

X-3

C.函数产2WF=T的值域为样，+8)

D.函数y=Vx+1+Vx-1的值域为[V2,+cc)

命题点3解函数不等式

例5(2024・湖州模拟)已知函数外)=-一片。则使人⑼5一3『+4)成立的实数x的取值范围是()

A.(—1,0)B.(-1,+8)

C.(-l,1)D.(l,+8)

命题点4求参数的值(范围)

——2ax—(7Y<0

八’在R上单调递增，则a的取值范围是

(e*+ln(x+l),x>0

()

A.(-8,0]0]

C.[-l,1JD.[0,4-oo)

思维升华(1)比较函数值的大小吃，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

（2）求解函数不等式时，由条件脱去,转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

（3）利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象

的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

跟踪训练2⑴若函数用）=三学在（a,+8）上单调递增，则实数a的取值范围

为.

⑵函数是定义在［-2,2］上的减函数，且加+1）勺3）,则实数。的取值范围

是.

答案精析

落实主干知识

1.⑴肛1)勺8)、”1)次切

上升下降

(2)单调递增单调递减

2.f(x)WMfix^=Mflx^M

/Uo)=M

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)4(4)X

2.DLv=—x+1在(0,+8)上单调递减，不符合题意；

y=(x一4在(0,+8)上不单调，不符合题意；

因为y=|lnx|

Inx,0<%<1,

llnr,x>1,

贝ljy=|Inx|在(0,+8)上不单调，不符合题意；

)，=工在(0,+8)上单调递增，符合题意.］

3.A［)，=-W在(-1，+8)上单调递增，则)，=一去在区间［1，2］上单调递增，

所以1，2=_左=_9

呜I)

解析:/U)的定义域是［0,+8),

...2x—120,即工若，

又:/*)是定义在［0,+8)上的减函数，

：.2x~\<^,即x<|,

则X的取值范围为L，|).

探究核心题型

例1ABD［在(-8,0)上函数)，=e"与>=一3都单调递减，

所以尸屋一点在(-8,0)上单调递减，故A正确；

作出函数y=2|x+l|的图象，如图所示，

由图象可知，函数)，=2卜+1|的单调递减区间是(一8,-1],故B正确；

由判断复合函数的单调性的方法“同增异减"可得)'=2一/+24十3的单调递增区间为(-8,1]，故C错误；

因为)/=2—2sinX2(),所以y=2x+2cosx是R上的增函数，故D正确.]

例2解函数.仆)=号在区间(-2,2)上单调递增.证明如下：

任取—2<XI<X2<2,

氏|1）-/^2）

_XX_Q

4-Xj4-x|

_%式4一媚）F（4-好）

（4-X?）（4-xj）

_4（。一*2）+*62（工1一工2）

（4-xJ）（4-xi）

_（4+X1X2）（X1-X2）

（4-好）（5'

由于4+X）X2>0,X\—X2<0,

4—xl>0,4—xf>0,

所以火xi）—AX2）＜0,

fix1）<^X2）,

所以其丫)在(-2,2)上单调递增.

跟踪训练1(1)B[对任意即，大2已(0,+°°),

当即生时，都有J3)次口),

则函数TU)在(0,+8)上单调递减.

O.（x2,x>0,

及）=小■》/<0,

作出式幻的图象(图略)可知，/U)为R上的增函数，故A错误；

)，=:与y=-x在(0,+8)上单调递减，所以其1-)=：—x在(0,+8)上单调递减，故B正确；

yU)=-f+Zr=—(x—l)2+l在(0,+8)上不单调，故c错误；

,则八幻=/一21+2=。-1)2+1>0,所以人刈在R上单调递增，故D错误J

(2)B［由一/+2丫+15>0,

得(x+3)(x—5)<0,

解得一3<x<5,

所以函数的定义域为(-3,5),

令t=-f+2x+15

=-(X-1)2+16,

因为函数f=-(x-l)2+16在区间(一3,1)上单调递增，在区间(1,5)上单调递减，

且函数y=log3/是增函数，所以函数y=log3(—/+2x+15)的单调递减区间是(1,5)」

例3A［因为对任意的M8,0］(箝中和)，

有笈止"20,

X1-X2

所以JU)在(一8,0］上单调递减，

又")为偶函数,

所以KX)在(0,+8)上单调递增，

则42)勺(3)勺(4),

又逐-2)=逃2),

所以我一2)勺(3)勺(4).］

例4|

解析设t=x-\,r>2,

则)==一1+x=/+1(z>2),

又函数.y=/+?在［2,+8)上单调递增，

所以当t=2,即x=3时，

函数有最小值2+；=?

22

微拓展

典例ACD［对于A,(配方法»=«—2丫+3=。-1y+2,

由,3),再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为［2,6).

对于B,(分离常数法))，=*=更芈=2+三，显然三WO,・・・尹2.

故函数的值域为(一8,2)U(2,+8).

2

对于C,(换元法)设r=Vx-1,则x=/+l,且后0,/.^=2(^+1)—r=2(t+蓝，

由120.再结合函数的图