动态平衡和临界极值问题-2026高考物理一轮复习（人教）

第5讲小专题:动态平衡和临界极值问题

考点一动态平衡问题

1.动态平衡

(1)所谓动态平衡I'可题，是指通过控制某些物理量，使物体的受力情况发生缓慢变化，而在这

个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。

(2)基本思路:化“动”为“静”，“静”中求“动”o

2.分析动态平衡问题的方法

(1)图解法:一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。例如:挡板P由竖直位置沿逆时

针方向向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化(如图所示)。

(2)解析法:如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法,建立平衡方程，根据

自变量的变化确定因变量的变化。

(3)相似三角形法:一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的

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(4)力的外接圆法和正弦定理法:一力恒定,另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变

［A］网绳上的拉力变小

［B］网绳上的拉力不变

［C］墙壁对足球的支持力变大

FD］墙壁对足球的支持力不变

【答案】C

【解析】方法一图解法把三力放在一个矢量三角形中，如图甲所示，当网绳长度减小

时，。增大，矢量三角形中，随着。角增大臼变大尸N变大，故C正确。

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Fn

方法二解析法对足球受力分析如图乙所示，

设网绳与竖直方向的夹角为〃，将网绳在钉子上多绕几圈后，绳子长度减小,。增大，由平衡条

件可得G=FT2=FTC0S"网的的拉力户T随着。的增大而增大,A、B错误;由平衡条件可得

尸5臼1=尸可历,解得产N=Gtan9,所以墙壁对足球的支持力随着。的增大而增大,C正确,D错

误。

［例2］【解析法】（2024•山西大同三模）如图所示,某大型吊灯半径为凡质量为M,且质量分

布均匀，通过四根相同长度的细线悬挂在天花板上半径为，•的固定圆盘上，已知KR,重力加

速度为g,四根细线均匀对称分布，且长度可调节。下列说法正确的是（）

［A］每根细线对吊灯的拉力大小均为

［B］将四根细线同时缩短相同长度,细线的张力大小不变

［C］将四根细线同时伸长相同长度，细线的张力减小

［D］去掉一根细线，假设吊灯位置保持不变，余下三根细线上的张力大小相等

【答案】C

【解析】设细线与竖直方向的夹角为仇以吊灯为研究对象，竖直方向有4FTC0S&Mg,可得

每根细线对吊灯的拉力大小为呼，故A错误;将四根细线同时缩短相同长度，则。

4cosd*T

变大,COS0变小，根据B半帝可知细线的张力变大，故B错误;将四根细线同时伸长相同长

4<os0

度，则0变小,cos。变大，根据可知细线的张力变小，故C正确;去掉一根细线，假设吊

4cos6

灯位置保持不变,由于余r三根细线在水平方向的分力不是互成120。,水平方向根据全力

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平衡可知，余下三根细线二张力的水平分力大小不相等、所以余下三根细线上的张力大小

不相等，故D错误。

［例3］【相似三角形法】（2024•山东潍坊二模）（多选）如图所示,一轻杆通过较链固定在竖宜

墙上的O点,轻杆的另一端。用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某

人用竖直向下、大小为厂的拉力作用于C点，静止时力OC构成等边三角形。下列说法正

确的是（）

［A］此时弹性轻绳的拉力大小为F

［B］此时弹性轻绳的拉力大小为2万

［C］若缓慢增大竖直向下f勺拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大

［D］若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆。。对C点的作用力减

小

【答案】AC

【解析】轻杆通过较链固定在竖直塔上的。点，可知轻杆对C端的支持力方向沿杆的方

向,轻绳的拉力方向与力产成120。角，则轻杆的弹力方向在轻绳拉力与尸的前平分线上，可

知轻绳上的拉力大小为凡选项A正确,B错误;对C点受力分析如图，

由相似三角形可知与牛粤，若缓慢增大竖直向下的拉力£则在。。到达水平位矍之前，

AOACOC

轻绳4C的拉力尸T增大，轻杆OC对。点的作用力人变大，选项C正确,D错误。

［例4］【力的外接圆法或正弦定理法】某中学为增弓虽学生体魄，组织学生进行多种体育锻

炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60。。保持两手

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之间夹角不变，将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60。至水平位置。不计一切摩

擦，则在转动过程中，下列说法正确的是()

［A］右手对铅球的弹力一直增大

［B］右手对铅球的弹力先增大后减小

［C］左手对铅球的弹力一直增大

［D］左手对铅球的弹力先增大后减小

【答案】B

【解析】方法一力的外接圆法以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力a

和左手对铅球的弹力尸2,受力分析如图甲所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,则将三

力平移后构成一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60。不变,两力之间的夹角保持120。

不变,在力矢量三角形中内与用夹角保持6()。不变，重力G的大小方向不变,作出力三角形

的外接圆,在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60。至水平位置过程中，力的三角形变

化如图甲所示，分析可得Fi开始小于直径，当转过30。时尸।等于直径,再转时又小于直径，

所以Fi先增大后减小尸2开始就小于直径,转动过程中一直减小，选项B正确。

方法二正弦定理法以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力尸i及左手对铅

球的弹力受力分析如图乙所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，将三力平移后构成

一首尾相连的三角形，两手之间夹角保持60。不变，右手力图示位置缓慢旋转的角度设为优

根据正弦定理有，右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转。至水

si:n600「si.n(6上O0+f°l)sm一(6O0-.0)60

平位置过程中，。由0。变为60。屈。(60。+①先变大再变小，所以Fi先增大后减小,sin(6O00)一

直变小，所以B一直减小，选项B正确。

［变式］在［例4］中，若保持两手之间夹角不变，将右手由图所示位置沿逆时针缓慢旋转30。至

竖直位置，则在转动过程口，左、右手对铅球的弹力大小如何变化？

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【答案】右手对球的作用力逐渐减小，左手对球的作用力逐渐增大

【解析】整个过程球处于动态平衡，两手对球的支持力Q和B之间的夹角始终为60。,受

力分析如图所示,当转动到右手竖直时，由图可知该过程中右手对球的作用力a逐渐成小,

左手对球的作用力B逐渐增大。

分析动态平衡问题的流程

受力分析化切为“A画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形将平4切A

暨丝根据矢量三角形边长关系确定矢量的

大小变化

,、(三角函数关系

巴匕正弦定理一找关系求解

(相似三角形

考点二平衡中的临界、极值问题

1.临界、极值问题特征

(1)临界问题:当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状

态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能,恰好'’等语言叙述c

常见的种类：

①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。

②绳子恰好绷紧，拉力尸=0。

③刚好离开接触面,支持力FN=0.

(2)极值问题:平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

2.解决极值和临界问题的三种方法

物理

根据平衡条件，作U力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行

分析

动态分析,确定最大值或最小值

法

极限正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在

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法变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小

数学

通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（而出函数图像）、用

分析

数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）

法

［例5］【物理分析法】（2024•甘肃武威阶段练习）（多选）如图所示，一质量为5kg的小球用长

为£的轻质细线连接，现用一水平力/拉小球.使细线偏离竖直方向30。.然后逆时针缓慢

转动力厂至竖直方向，在转动过程中小球静止不动6取以口眉,那么尸的大小可能为（)

[A]15N[B]30N

[C]50N[DJ100N

【答案】BC

【解析】如图，小球受重力mg、细线拉力产r、拉力七三个力的合力为零，逆时针缓慢转动

力尸至竖直方向的过程中产先减小后增大。初位置F=/Mgtan30o=28.9N;F与细线垂直时

最小，为"=mgsin3（）0=25N;竖直位置产=〃嘈=5（）N。故A、D错误,B、C正确。

mg

［变式］如图，若再用一根轻质细线把另一个球A竖直悬挂在同一点，并用另一根轻质细线连

接两球，两球均处「静止，三根细线均处广拉直状态，那么尸转动过程中竖直细线和连接两

球的细线拉力如何变化?［例5］中的四个选项哪些是正确的？若把连接两球的细线换成轻杆

呢？

【答案】见解析

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【解析】对球A受力分析，受重力和竖直细线的拉力，根据受力平衡,连接两球的细线拉力

为零,竖直细线拉力等于球A的重力，所以产转动过程中，竖直细线和连接两球的细线拉力

不变,尸的最大值、最小值与［例5］中相同，答案仍为BC。若把连接两球的细线换成轻杆，

结论也是如此。

［例6］【极限法】（2024•重庆二模）如图所示，两根半圆柱静止于粗糙程度处处相同的水平

地面上，紧靠但无相互作月力。现将一根圆柱轻放在这两根半圆柱上,三者均静止。己知圆

柱和两半圆柱的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦，则半圆柱与水平

地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（)

[A吟[D年

【答案】B

【解析】设圆柱的质量为叽则半圆柱的质量为会设圆柱与半圆柱之间的弹力大小为尸，对

圆柱进行受力分析，有2汽。530。=/町,解得尸设地面对一个半圆柱的支持力为外，对

圆柱与半圆柱整体进行分析有2仆=（〃?咛咛）g,解得仆=机乡三者始终处于静止状态,则对圆

柱和半圆柱在水平方向上帝+’sin3（T0"'N,解得".。

［变式］若用水平向右的力拉右侧半圆柱A,使A缓慢移动，直至圆柱C恰好降到地面。整个

过程中左侧半圆柱B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。求半

圆柱与地面间动摩擦因数的最小值〃min。

【答案】y

【解析】对B受力分析，如图所示,C恰好落地时,B受C压力的水平分力最大，此时尸与竖

直方向夹角460。，

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对C有277cos60°=〃?g,

对B有尸尸尸sin600,且尸产"min尸NB,

解得〃min=g。

[例7]【数学分析法】（2024•安徽芜湖二模）物理老师举行技巧挑战赛，要求用一根能承受

最大拉力为50N的细绳尽可能拉动更重的物体，如图所示。已知物体与水平面间的动摩

擦因数为鼻取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体可视为质点，则理论上利用这根细绳能

拉动物体的最大重力是（）

zz/zzzzzzzzzzZZZZZZ.Z一ZZ

[A]50N[BJ50V3N

[C]100N[D]100.3N

【答案】C

【解析】设绳子与水平方向的夹甬为e时能拉动物体的最大重力为G,根据平衡条件知竖

直方向上有G-FmaxSingR,水平方向上有Fmaxcos/9=Ff,又尸尸〃尺，联立啸

G=（50x/3cos6H-50sin<9）N=100sin（6M-60°）N0可知当当30。时，重物的重力最大为lOONo

方法点拨

辅助角公式的应用

y=acos0+bsinO=^a24-b2(-j===：os<9+^_^sin19).

/..ab

令即十寸断下前

贝|JHy=y/a2+Z72(sin(pcos^+cos^sinf7)

=y/a2+b2s\n((p+0).

所以当夕+丐时j有最大值，且^max=Va24-Z72o

A课时作业

（满分:60分）

固基础对点练

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对点1.动态平衡问题

1.（4分）（2024・贵州一模）如图所示，光滑斜面上小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，斜面置于

粗糙水平地面上，整个装置处于静止状态。已知细绳与竖更方向夹角为“斜面倾角为

。=45。（火团,现用力向右缓慢推斜面（推力在图中未画出），当细绳与竖直方向的夹角柒二时,

撤去推力。则（）

[A]缓慢推动斜面时，斜面对小球的支持力保持不变

[B]缓慢推动斜面时，细绳对小球的拉力大小保持不变

[C时,地面对斜面体的摩擦力水平向左

时，细绳对小球的拉力大小等广斜面对小球的支持力大小

【答案】D

【解析】对小球受力分析如图所示,可知缓慢推动斜而时，斜而对小球的支持力仅其方向保

持不变，细绳对小球的拉力大小及方向均发生变化，故A、B错误;Qa时，地面对斜面体的摩

擦力水平向右，故C错误;（9=。时,由矢量三角形法则可知细绳对小球的拉力大小等于斜面

对■小琼的支林力大小，故D正确3

2.（4分）（2024•山西太原一模）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片

时,屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的楝条正中间后，瓦

片静止在模条上。已知楝条间距离为"携条与水平面夹角均为。，最大静摩擦力等于滑动

摩擦力。贝U（）

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[A]仅减小〃时，瓦片与每根楝条间的摩擦力的合力变大

[B]仅减小0时，瓦片与每根檄条间的弹力的合力变小

[C]仅减小d时，瓦片与每根柳条间的弹力变大

[D]仅减小d时，瓦片可能会下滑

【答案】D

【解析】垂直于穆条方向上瓦片的受力情况如图所示,设两楝条给瓦片的支持力与楝条垂

直向上的夹角为a,则有2Aleosa=，〃gcose,当仅喊小棵条间的距离QB寸，夹角。变小，则两楝条

给瓦片的支持力小变小，最大静摩擦力变小，则瓦片可能下滑，故C错误,D正确;当仅减小〃

时，根据"片〃?gsinO,可知瓦片与梯条间的摩擦力的合力变小，根据2FNCOsa=/?jgcos<9'&r知,当

仅减小。时，瓦片与模条间的弹力的合力变大，故A、B错误。

3.（6分）（2024•安徽滁州模拟）（多选）如图所示，质量均为小的小球A、B用劲度系数为3

的轻弹簧相连,B球用长为L的细绳悬挂于O点,A球固定在O点正下方。当小球B平衡

时，细绳所受的拉力为产n,弹簧的弹力为P；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数

为版依>如的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况卜仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为

尸⑵弹簧的弹力为B。下列关于FTI与02、FT与B大小的比较，正确的是（）

[A]FTI>FT2

[C]Fy<Fi[D]F!=F2

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【答案】BC

【解析】以小球B为研究对象,分析受力情况，如图所示。由平衡条件可知，弹簧的弹力E

和细绳的拉力FT的合力"合与重力mg大小相等、方向相反，即尸合=〃?g,由三角形相似得

黑=£金。当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB的长度增加，而OB、OA的

OAADUD

长度不变，故产r不变尸变大，则户n=/F,BvB,故A、D错误,B、C正确。

4.（4分）（2024•广东韶关二模）我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所

示，将质最为m的货物平放在手推车底板匕此时底板水平;级慢压下杷手直至底板与水平

面间的夹角为60。。不计货物与支架及底板间的摩擦,直力加速度为4则（）

[A]当底板与水平面间的夹角为30。时，底板对货物的支持力大小为苧

[B]当底板与水平面间的夹角为30。时，支架对货物的支持力大小为争

[C]压下把手的过程中，底板对货物的支持力一直增大

[D]压下把手的过程中，支架对货物的支持力一直减小

【答案】A

【解析】当底板与水平面间的夹痢为30。时,对货物受力分析如图1所示，由平衡条件可得

ENICOS60°=产N2cos300,人1$访60°+入25访30°=11吆,解得底板对货物的支持力大小人产、'；。支

架对货物的支持力大小入2=詈,A正确,B错误;压下把手的过程中,货物的受力情况如图2

所示,可知底板对货物的支持力一直减小，支架对货物的支持力一直增大,C、D错误。

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5.（6分）（2024・安徽安庆阶段练习）（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在

竖直杆/、N上的〃、力两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处「静止状态。如果

只人为改变一个条件，当衣架静止时（）

[A]将杆N向右移一些，细子a端对杆抖力变小

[B]绳的右端上移到//,绳子。端对杆拉力大小不变

[C]绳的两端高度差越小，绳子a端对杆拉力越小

[D]若只换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点不会左右移动

【答案】BD

【解析】如图所示，因为同一根绳子上的拉力相等，所以两侧绳子是对称的,与竖直方向央

角相等“设绳子的长度为L,绳子与水平方向的夹角为。，则两杆之间的距离等于Leos。,纯

子一端上下移动时长度不变，两杆之间的距离不变，则。角不变，根据平衡条件知FI=F2=

品，所以绳子上的拉力大小不变，故B正确,C错误。当杆N向右移动后，两杆之间的距离

变大，绳长不变，所以。减小,sinJ减小,绳子拉力变大，故A错误。绳长和两杆距离不变的情

况下,0不变,所以只换挂质量更大的衣服，悬挂点不会移动，故D正确。

对点2.平衡中的临界、极值问题

6.（4分）（2024・湖南长沙一模）2023年11月28日,深中通道海底隧道全幅贯通，深中通道的

主体工程——西人工岛使用世界最大十二锤联动液压振动锤组将57个巨型钢圆筒精准

牢固地打入海底岩层中。如图甲、乙所示，每个圆钢筒的直径为28m、高40m,重达68（此

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由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中,每根绳与竖直

方向的夹角为37。,如图丙所示，每根绳所能承受的最大拉力为8.0X105N,至少需要多少根绳

子才能成功起吊?(g取10m/s2,asin37°=0.6,cos370=0.8)()

[A]9根[B]10根根[D]12根

【答案】C

【解析】设〃根绳拉力在竖直方向的分力矢量和与重力大小相等、方向相反，则

阳色os37。,由题知户W8.0X105N,得让T片普骞等106即至少需要II根绳子才能

cFcos37°B.OxlO^xOS

成功起吊。

7.（6分）（2024•山东泰安期末）（多选）如图，将一个半球体置于水平地面上，经过球心有一内

径很小的光滑竖井，柔软光滑的轻绳绕过井口，一端连着m2竖直悬于竖井中,另一端沿着球

面与加相连,两物体均可看成质点，整个装置处于静止状态。已知此时如与半球体的球心

。的连线与水平方向夹角小37。（取Sin37o=0.6,cos37o=0.8）,〃“与半球面的动摩擦因数为0.5,

并假设如所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（）

[A]四的最小值为詈[B]四■的最小值为:

m211

[C]史的最大值为2[D]也的最大值为"

巾2771210

【答案】AC

【解析】对两物体受力分析,考虑阳的摩擦力向上和向下的两个临界情况，有

W2g+^wigsin370=/；ngcos37°,W2,g=//wigsin370+/H）gcos37<>,^^^i=2,-^7=~70

m211

画综合提升练

8.（4分）（2024•甘肃酒泉期末）如图所示，假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,

手指接触点连线水平且相距为心球半径为凡接触点与圆心的连线和水平方向夹角为。，手

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指和球间的动摩擦因数为〃，球的质量为已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于

滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。贝心）

［A］每个手指对球的摩擦力大小均为黑

出］两手指间距L的取值范闱为L>-j==

［C］每个手指对球的压力最小值为诉―

［D］手对球的压力增大2倍时,摩擦力也增大2倍

【答案】B

【解析】对球受力分析，如图，竖直方向有F（cosO=F辽sin，4〃g,则Kcos。4mg，所以鲁7，

L2Zcosa

故A错误;由F0F看尸处所小cos。,即F>--.小,故C错误;因为F0

/ttz（/zcosc7-sinc/）

与M又cos。*，所以

acos。,所以万sin^<//Focos。,可得"〉tan。,则cos

白>~^=，即L>*号故B正确;当球受到手的静摩擦力时尸#"尸&,手对球的压力增大2倍

2〃V“/十1十乂/

时,摩擦力不增大2倍，故D错误。

9.（6分）（2024•云南玉溪模拟）（多选）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30。的粗糙楔

形物体C,斜面上有一个质量为2m的物块B,B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的

定滑轮，另一端水平与一结点。连接一个质量为机的小球A,右上方有一拉力凡初始夹角

所135。,如图所示。现让拉力厂顺时针缓慢转动90。且保持a角大小不变，转动过程中B、C

始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。则（）

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a

0

『A

[A]拉力厂一直减小

[B]BXC间的摩擦力先减小再增大

[C]物体C对地面的压力先减小再增大

[D]物体C对地面的