高三数学一轮复习讲义（教师标准版）直线与圆圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

【课标要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一

些简单的数学问题与实际问题.

1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)

相离相切相交

图形必

方程观点J<0/三0J>0

量化

几何观点d>rd<r

2.圆与圆的位置关系(OO，O&的半径分别为门，〃2，〃=|。。2|)

图形量的关系

外离0®d>r\+「2

外切岁d=■+n

相交1八一血〈水一1+一2

内切"=.一会1

内含一厂21

3.直线被圆截得的弦长

(1)几何法：弦心距”、半径一和弦长用的一半构成直角三角形，弦长L48l=2，r2-d2.

(2)代数法：设直线)，="+机与圆/+),2+。二+砂+产=0相交于点N,代入，消去J,得关于x的

一元二次方程，则IMM=Jl+k2.J(XM+xN)2-

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打'7”或“X”)

⑴若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(X)

(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(X)

(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(T)

(4)在圆中最长的弦是直径.(<)

2.直线3x+4y=5与圆$+)?=16的位置关系是()

A.相交旦直线经过圆心

B.相切

C.相离

D.相交且直线不经过圆心

答案D

解析圆心到直线的距离d=-fJ==\<4,且直线3x+4)，=5不经过点(0,0),所以直线与圆相交且不经

F+42

过圆心.

3.直线2工一)，+1=()与圆f+)，2=2交于A,8两点，则弦A8的长度为()

A”B.2

55

C%D.达

55

答案B

解析设圆f+/=2的圆心为C(0,0),半径r=y/2,

1_Vs

因为C(0,0)到直线2A—>-+1=()的距离

所以48|二2〃2-弓2=2上一：..

4.圆G：f+)?=4与圆。2：/+)?—8A一6)，+16=0的位置关系是()

A.外切B.相交

C.外离D.内切

答案A

解析圆G的圆心G(0,0),半径n=2,

圆。2可化为(工一4)2+。-3)2=9,

・・・圆心C2（4,3）,半径A=3,

2

，IGC2|=」(4-0/+(3-0)=5=n4-r2,

故两圆外切.

I.牢记三个相关结论

(1)过圆f+,，=/上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为xox+yo)，=J.

(2)过圆(x—〃)2+(y一=/上一点p(xo,yo)的圆的切线方程为5)—a)(x—a)+(yo—b)(y—b)=r.

(3)过圆/+)?=/外一点A/(xo,yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.侬+)0=户.

注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将『用工如替换，丁用力、。替换，工用手

替换，)，用空替换.

2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质

圆G：/+)2+。工+后〉+尸|=0与。2：f+y2+nx+E2)，+F2=0相交时：

(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；

(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；

(3)«-)'2+。3+臼)，+/1+32+)，2+。2%+殳)，+2)—()(2于-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括G).

题型一直线与圆的位置关系

命题点1位置关系的判断

例1(多选)已知圆C：(x—2)?+F=16,直线/：“ix+y—3"L1=0,则下列结论中正确的是()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.直线/与圆C相切

C.直线/与圆C相交

D.直线/与圆C相离

答案AC

解析圆C：。-2)2+)，2=16的圆心C(2,0),半径r=4,直线/：〃心一3)+)，-1=0恒过定点(3,1),显

然］(3-2)2+12=/<4=〃，因此点(3,1)在圆C内，直线/与圆C相交，B,D错误，A,C正确.

思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与，•的关系判断.

(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

命题点2弦长问题

当切线斜率不存在时，切线方程为1=4,显然与圆相切，

综上，切线方程为15x+8y—36=0或x=4.

思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y-y()=k(x-x()),利用点到直线的距室公式表示出圆心到切线的距寓d,然后令

d=r,进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y-y.=k[x~x.),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后

令判别式4=0进而求得k

注意验证斜率不存在的情况.

命题点4直线与圆位置关系中的最值问题

例4已知?是直线3x+4y+8=O上的动点，PA,是圆C：X2+)2一级一2)，+1=。的两条切线，人,

8是切点，则四边形尸AC8面积的最小值为.

答案2或

解析圆C：F+尸一2丫-2)，+1=0,

即圆C：1尸=1,

所以圆心C(1,1),半径r=l,

如图，连接PC,

因为S四边形力cB=2SuAc=2x[x|APHAq=|AP|二J|PC|2-1,

所以求S四边形PAC/?的最小值就是求的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x+4y+8=0的距离d,

即公职型=3,

F+42

所以四边形PACB面积的最小值为kl=2&.

思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆

心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

跟踪训练1(1)(多选)已知圆C：(%—1)2+。-2)2=25,直线/：(2〃?+l)x+("?+1)y—7/〃-4=().则下列

命题正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.y轴被圆C截得的弦长为2连

C.直线/与圆C恒相交

D.直线/被圆C截得弦长最短时，直线/的方程为y—5=0

答案ACD

解析由已知可得，圆心C(1,2),半径r=5,

直线方程可化为I：〃z(2x+y—7)+<+y—4=0,

由［2x+y-7=0,可得f=3,

U+y-4=0,ly=l,

所以直线/恒过定点(3,1),A正确；

将x=O代入圆的方程有1十()，一2尸二25,解得y二2±2甚，

所以y轴被圆C截得的弦长为4旄，B错误；

因为点(3,1)到圆心C(1,2)的距离为J(1-3)2+(2-l)2=V5<5=r,

所以点(3,1)在圆内，直线/与圆C恒相交，C正确；

当圆心C(1,2)与定点(3,1)的连线恰好与/垂直时，圆心到直线的距离最大，

直线I被圆。截得的弦长最短，贝心的斜率k应满足三我二一1,所以2=2,

代入点斜式方程有y—l=2(x—3),即2x—y—5=0,D正确.

(2)(多选)(2024•南京模拟)已知点P在圆O：f+),2=4上，直线/：4x+3y—12=0分别与x轴、y轴交

于A,B两点,贝U()

A.过点8作圆。的切线，则点8到切点的距离为2H

B.满足两.两=0的点P仅有1个

C.点P到直线,距离的最大值为?

D.|四十而|的最小值是1

答案ACD

解析点A(3,0)，点3(0,4),设圆O的半径为r,过点3作圆O的切线，所以点B到切点的距离为

s/\OB\2-r2=V16-4=2V3,故A正确；

由中点坐标公式得线段48的中点为M(|,2),由两点间距离公式得|A8|=5,则以线段A3为直径的圆M

2

的方程为［一|)+0，-2)2=彳，

因为|OM|=U+4="

\l42

3-5c15,9

而一-2=_,-+2=-,

22'22'

满足，所以圆“与圆O相交，所以满足而•丽=0的点?有2个，故B错误；

//4

圆心。到直线/的距离为，且=当，半径r=2,所以点尸到直线/距离的最大值为后，故C正确；

42+3255

线段A8的中点为M(|,2),

则丽="同+丽),

所以|可+而|=2|而|,

因为|PMmin=|OM——=；2得,

所以|可+而|的最小值是1,故D正确.

题型二圆与圆的位置关系

例5(多选)已知圆G：(X—l)2+(y—2«)2=9,圆1+)?一8丫+2"+/+12=0.a£R.则下列选项

正确的是()

A.直线GC2恒过定点(3,0)

B.当圆G和圆。2外切时，若P，。分别是圆Cl，。2上的动点，则|PQmax=10

C.若EIG和圆。2共有2条公切线，则

«3

D.当时，圆G与圆Q相交弦的弦长为学

答案ABD

解析由圆Ci:(x—l)2+(y—2a)2=9,圆G：f+y2—81+2少+/+[2=0,a£R,

可知Ci(l,2a),。2(4,—a),故直线GC2的方程为y+a=—a(x—4),即y=-a(x—3),则直线C1C2恒过

定点(3,0),A正确；

圆G的半径〃=3,又圆Ci：1?+/-8_¥+2缈+/+12=0,R即6—4)2+°，+〃)2=4,t/GR,

圆C2的半径，2=2,当圆G和圆C?外切时，|。/2|=八+/2=3+2=5,

ranux=|ClC2|+rI+r2=IO,B正确；

若圆G和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，又|GC2|=J(1-4)2+(2a+a)2=^9+9«2,

则3-2<|GC|<3+2,即i<9+9a2<5,解得一久々<士，C错误；

233

当〃w时，两圆相交,

圆G：(x-l)2+(y-§2=9,

圆Ci：(x-4)2+(y+1)=4,

将两方程相减可得公共弦方程为6.r-2V-y=0,则C,(l,§到直线6.v-2>--y=0的距离为

_3^10

声丁

则圆G与圆C2相交弦的弦长为2,9-然?=乎，D正确.

思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一

般不采用代数法.

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去f,丁项得到.

跟踪训练2(多选)(2024•长沙模拟)若圆Oi：1+丁+2丫一3=0与圆。2：/十9一2),-1=0交于A,B

两点，则下列选项中正确的是()

A.点(1,一1)在圆。2内

B.直线AB的方程为x+y—1=0

C.圆。1上的点到直线AB的距离的最大值为2+V2

D.圆。2上存在两点P，。，使得|PQI>H8|

答案BC

解析因为l2+(-l)2-2X(-l)-l=3>0,所以点(1,一1)在圆。2外，故A错误；

因为圆。|和圆。2相交，将两圆方程相减可得x+y—1=0,即公共弦AB所在直线的方程为x+y—1=0,

故B正确；

圆Oi的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆心Oi到直线AB-.x+y-\=0的距离［=七券1=&，所以圆

Oi上的点到直线AB的距离的最大值为2+企,故C正确；

直线A3经过圆。2的圆心(0,1),所以线段AB是圆。2的直径，故圆。2中不存在比线段A6长的弦，故D

错误.

课时精练

［分值：90分］

ID知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.两圆f+y2—2)，=0与4=0的位置关系是()

A.相交B.内切

C.外切D.内含

答案B

解析两圆方程可分别化为f+。-1)2=1,亡+9=4.两圆圆心分别为0/0,1),02(0,0),半径分别为r,

=1,7*2=2.因为|。1。2|=1=广2—内,所以两圆内切.

2.直线)，=©4—5)—2(女£11)与圆(工-3)2+&+1)2=6的位置关系为()

A.相离B.相交

C.相切D.无法确定

答案B

解析直线)=攵(1-5)—2恒过定点(5,-2),将定点(5,—2)代入圆的方程，得(5—3)2+(—2+1)2=5<6,

则定点(5,—2)在圆(%—3)2+0+1)2=6内部，所以直线与圆必相交.

3.(2024.荷泽模拟)过点—1)向圆M：(八一iF+S—1y=2作两条切线，切点分别为A,B,若NAEB=

p则()

A.a=2或«=—IB.aB=-2或a=\

C.a=—3或a=lD.aD=3或a=—\

答案D

解析圆M：(犬一1)2+。-1尸=2的圆心M(1,1),半径/，连接AM,ME,

依题意，AMLAE,ZAEM=-ZAEB=-,

26

则|EM|=2|/\M=2四，

于是J(a-I)2I(-1-1)2=2X/2,

整理得4-2a—3=0,

所以＜7=3或a=—\.

4.在平面直角坐标系中，直线/：办+⑺=1上有且仅有一点R使|OP|=2,则直线/被圆C：f+)7=

16截得的弦长为()

A.2B.2V3

C.4D.4V3

答案D

解析直线/:ax-\-by=\上有且仅有一点P,

使|0P|=2,则坐标原点到直线的距离d=\OP\=2,因为圆C的圆心为0(0,0),半径r=4.

截得的弦长为2Vr2-d2=2V16-4=4V3.

5.圆C：f+V+or—2纱-5=0恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)-2),(2,1)

C.(—l,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

答案D

解析圆C:.，+)2+以一2qy—5=0的方程化为a(x—2y)+(,r4-y2-5)=0,

由k2y=0,得尸2,或尸一2,

%2+y2_5=o(y=l(y=-1,

故圆C恒过定点(一2,-1),(2,1).

6.已知A,8是圆G：/+9=3上的动点，且H8|=2.P&是圆。2：(工-3)2+。-4)2=1上的动点，则|西十

万I的取值范围是()

A.[8,12]B.[6,10J

C.[10,I4|D.|6,14|

答案D

解析如图，设弦48的中点为O,

则由|A8|=2企得,|^£>|=>/3^2=1,

即。点的轨迹方程为F+V=l.

又|对+丽|=2|而|,

由于户点在圆Ci:。-3尸+(_y—4)2=1上,

所以C2(3,4),|CIC2|=5,

所以IC1C2I11C|PD|C|C|C2|Illi,

即3W|而|W7,

所以I方+而|=2|而I的取值范围是[6,14].

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知直线/：y=lcx-k,々WR,圆。：f+)，2=4,则下列结论正确的有()

A.直线/过定点(1,0)

B.直线/与圆C恒相交

C.直线/被圆。截得的弦长最短为2V3

D.若直线/被圆。截得的弦长为旧，则忆=±1

答案ABD

解析对于A,直线I：y=kx—k,即y=《x—1),则直线/过定点(1,0),故A正确；

对于B,因为12+02=1<4,所以定点(1,0)在圆C：/+9=4内部，所以直线/与圆C恒相交，故B正确；

对于C,当直线/与x轴垂直时，直线/被圆C截得的弦长最短，此时/：4=1,直线/被圆。截得的弦长

为2VfF=2V5，但此时直线/的斜率不存在，不符合题意，故C错误；

对于D,直线/：行一厂女=0,圆心C(0,0)到直线/的距离d=-^422v)2,得仁±1,故D正

小十1

确.

8.(2024•青岛模拟)已知动点M,N分别在圆G：。-1)2+0，-2)2=1和。2：(工一3)2+()，-4)2=3上，动点P

在入轴上，则()

A.圆C2的半径为3

B.圆B和圆。2外离

C.IPM+IPNI的最小值为2V10

D.过点P作圆G的切线，则点P到切点的最短距离为V5

答案BD

解析圆G的圆心G(1,2),半径片=1,圆。2的圆心。2(3,4),半径「2=旧，A错误；

|GCd=2企＞1+百，圆G和圆。2外离，B正确；

圆G关于x轴对称的圆为Co:。-1)2+。+2)2=1,C)(l,-2),连接QC2交工轴于点P一连接PiCi,由

圆的性质得，|PM+|PM2|PG|-I+|PC2|—V5=|PG)|+|PC2|一|一V5，|GOC2|—LV5=2VI5—1—V5,当

且仅当点P与Pi重合，且M,N分别是线段PiG,P1C2与圆G和圆C?的交点时取等号，C错误；

设点P(t,0),过点P作圆G的切线，设切点为A,则|PA|=JIPC/2一ma|2=J(£-1)2+22-12百，

当且仅当/=1,即P(1,0)时取等号，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.若直线依一)，+2k=O(k£Z)与圆(%—1)2+。-2)2=4有公共点，则上的一个取值是.

答案0(答案不唯一)

解析直线kx~y+2k=0恒过定点(-2,0),

圆(x—1)2+。-2y=4的圆心为(1,2),半径r=2,

显然点(-2,0)在圆外，若直线与圆有公共点，

则圆心到直线的距离d=的坐&W2,

加+1

化简得5么一⑵WO,解得OWZW茎

又kWZ,则女=0或I或2.

即*的一个取值是0.

10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=)+l表示过点(I,0)且斜率不为0的直线，直线

的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都

是该直线族中的某条直线.若圆G：f+)?=l是直线族〃优+〃)=1(加，〃£R)的包络曲线，则加，〃满足的

关系式为.

答案w2+/r=1

解析由定义可知，"zx+〃.v=1与f+y2=1相切，则圆G的圆心(0,0)到直线ntx^-ny=1的距离等于1,

贝ijd=,：=1/w2+/?2=l.

lm2+n2

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知两圆/+)?—2丫一6y—1=0和f+y2—IOx—12y+/n=0.

⑴而取何值时,两圆外切？(5分)

(2)当〃?=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8分)

解两圆的标准方程分别为。-1)2+。-3)2=11,

(工一3广+(y—6)2=61—〃7("7<61),

则圆心分别为(1,3),(5,6),

半径分别为VTT和5/61-m.

(1)当两圆外切时，

J(5-l)2+(6-3)2=V11+V61-m.

解得优=25+1OdlL

(2)两圆的公共弦所在直线的方程为

(x2+3,2—2x—6y—1)—(jr+y2—10x—12y+45)=0,即4x+3y—23=0.

所以公共弦的长为

12.(14分)已知圆C：W+(y—1)2=5,直线/：wix—y+1—〃2=0与圆C交于A,8两点.

(1)若H8|=3&,求实数〃?的值；(6分)

(2)若点P为直线,所过定点，且|PB|二2|AP|,求直线/的方程.(8分)

解⑴由题意可知，圆C：/+()，-1/=5的圆心为C(0,1),半径r=V5.

:.圆心C到直线/：mx-y-\-1—〃?=0的距离为

解得/w=±l.

(2)二•直线/的方程“0一y+1-/〃=0可化为y—1=w(x—1),

・•・直线/过定点P(1,1),且P(1,1)在圆C内，

设A(x\,yi),8(x2,J2),

”(I,1),

•'•AP=(\-x\,1—yi),PB=(X2—1,>T2~1),

•：AP=^PB,

.'.(I—xi,]_6)=飙_],”-l),

A1-X|=|(X2-1),.*.X2=3-2xi,①

由俨-y+l-…得

lx2+(y-1)2=5

(1+-2nrx4-nr-5=0,倍)

2m2

••X|+X2②

1+m2

由①②解得汨=事，

l+mz

2

代入(X)式(1+>)(三三)—Inv-3*>n+w2—5=0=>m2—1=0,

yi+m2/