高三数学一轮复习讲义（教师标准版）指数函数

§2.8指数函数

【课标要求】1.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象2理解指数函数的单调性、特殊点

等性质,并能简单应用.

指数函数及其性质

⑴概念：一般地，函数y=/3>0,且。工1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<«<1

图象(0,1)

0£-0\

定义域R

值域(0,+8)

过定点即x=0时,y=1

当A>0时.\>1；当x<0时,、>。

性质

当A<0时,0<v<l当A>0时,0<v<l

增函数减函数

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打或"X”）

（1）函数》=一"是指数函数.（X）

⑵指数函数y="与），=「3>0,且aWl）的图象关于），轴对称.（Y）

⑶若""</（〃>（）,且1）,则〃?<〃.（X）

（4）函数y="+2（a>0.且内1）过定点（02）.（X）

2.给出下列函数，其中为指数函数的是（）

A.y=x4B.yB=xv

C.y=7r'D.yD=-4*

答案C

解析因为指数函数的形式为）=/3>0且aWl）,所以）=兀'是指数函数.即C正确；而A.B,D中的函数都

不满足要求.故A,B,D错误.

3.若函数凡0="3>0,且〃W1）满足人2）=81,则/（一£）的值为（）

A.±iB.±3C.-D.3

33

答案c

解析因为/（2）=/=81,又〃>0,所以4=9,从而於）=9V（—3=9一,=嘉=/

4.己知函数.《幻的定义域为R1Ao）=1,瑞=2,缁=2,得=2,怒=2,…，/署=2（〃WN”）.写出满足上述条件

的一个函数：.

答案/U）=2'（答案不唯一）

解析例如危）=2\则/（0）=1,且耦y=总=2,所以段）=2、符合题意.

I.掌握指数函数图象的三个特点

⑴指数函数>="（。>0,且。41）的图象恒过点（0』）,（1,。）,（-13）依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图

象.

（2）仟意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0,1）,底数月为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

（3）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<\<a<b.

2.谨防一个失误点

讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数。的大小不确定时，需分a>］和0«/<1两种情况进

行讨论.

题型一指数函数的概念与图象

例1（1）（多选）下列选项正确的是（）

A.函数J（x）=（2a2—3。+2）•"是指数函数，则a=^

B.指数函数_/W="（a>0,旦aW1）的值域为（0,+8）

C.函数），="+匕>0,且aWl）的图象可以由於）=仆的图象向右平移一个单位长度得到

D.函数），=必十3—且4W1）恒过定点（一|,0）

答案ABD

解析对于A,2«2—3«+2=1且4>0,aW1,则«=1,A正确；

对于B,不论0<〃<1,还是a>1,值域都为（0,+8）,B正确；

对于C,/U）="的图象向左平移一个单位长度得到），=<一的图象.C错误；

对于D,令2A+3=0则x=—*），=0,所以函数〉=汽3—且恒过定点正确.

（2）（多选）若函数於）="+"其中心。且的图象过第一、三、四象限，则（）

A.O<d<lB.aB>l

C.—l</?<OD.bD<—1

答案BD

解析函数凡i）="+"其中。>0且aWI）的图象过第一、三、四象限，根据图象的性质可得力1,4°+辰0.即

1.

思维升华对于有关指数型函数的图象问题.一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对

称变换得到.特别地,当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

跟踪训练1（1）（多选）已知实数“〃满足等式3“=6〃,则下列可能成立的关系式为（）

A.a=Z?B.O</?<«

C.a<Z?<（）D.OvavZ?

答案ABC

解析由题意.在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3'和）；=6'的图象.如图所示，

由图象知，当〃=b=0时,3"=6"=1,故选项A正确；

作出直线y=々，当k>\时.若3。=6'=«,则0<b<a,故选项B正确；

作出直线尸〃z,当0<in<1时.若3'=6"=〃7,则a<S<0.故选项C正真；

当0<。<匕时，易得2”>1,则3"<3〃<2"3〃=6/\故选项D错误.

⑵若函数./）=|2'—2|一6有两个零点,则实数〃的取值范围是.

答案（0,2）

解析在同一平面直角坐标系中画出）=|2'—2|与），=力的图象，如图所示.

・••当O</X2时，两函数图象有两个交点，从而函数大幻二|2八一2|有两个零点.

・•・实数〃的取值范围是（。,2）.

题型二指数函数的性质及应用

命题点1比较指数式的大小

例2（1）已知。=1.05°6力=0.6°5£=0.6°±则a、b,c的大小关系是（）

A.a>Z»>cB.aB>c>/?

C.b>c>aD.cD>〃>。

答案B

又•.•国一14<0}［小<0},

:・p是q的必要不充分条件.

⑵已知函数於尸2叫则人2—幻次2A•+3）的解集为.

答案（-5，*）

解析由函数人工）=2叫可得其定义域为R,

且/一力=2^=2㈤=段）,

所以£r）=2H为偶函数，

当x£［0,+8）时直幻=2>

可得式工）=2用在［0,+8）上单调递增，

根据偶函数的性质,不等式五2—x）次2x+3）,

即为用2—刈次2x+3|）,

可得|2—冲>|必+3|,

整理得3f+16x+5<0,

解得_5々<一小

所以42—x）»2r+3）的解集为（一5,-

命题点3指数函数性质的综合应用

例4已知函数"r）=2'+02r是定义在R上的偶函数.

（1）求。的值，并证明函数/U）在［0,+8）上单调递增；

（2）求函数［仃）=於）+人2》）/引0川的值域.

解（1）因为函数/U）在R上为偶函数，

所以）"）=/（-.I）,

得2、+02-'=2）+021（1—4）（2、-2一，）=0恒成立，即4=1.

所以/）=2'+2丁

对任意的00V2於I）一凡丫2）=（2勺+2-）一（2必+2-必）=（2勺—2必“竺二±1

\2'1+'2

因为0＜汨＜¥2,2*】＜2孙，2打+孙＞1,2/+M—＞0,

所以久哈）勺*2）：/W在区间[0,+8）上单调递增.

（2）函数g）=/）+缺）=2"+2一”22+2-=（21+2-4）2+（2"+2为-2.

令/=2'+2r=2，+3

2r

因为.七[0,1],所以2、e[1,2],所以ie[2,1],

令3"）='+/—2,

故函数夕⑺在[2,|]上单调递增，

当t=2时，力（x）min=8（2）=4；

当1=|时，7（1）3'=夕0=

则函数/心）的值域为卜,孑].

思维升华（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以

借助中间量.

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题.要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借

助“同增异减”这一性质分析判断.

3

跟踪训练2（1）〃=G）力=2°$,c=log.《的大小关系为（）

A.a<Z»<cB.cB</?<a

C.a<c<bD.cD<a<b

答案D

3

解析0<G）=2'v2°s,即0<〃</?,c=logW<log31=0,所以

（2）（2023・新高考全国I）设函数&）=2«一“）在区间（0』）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-°0,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

答案D

解析函数y=2'在R上是增函数.而函数%）=2叱。在区间（（）1）上单调递减.

则函数丁二工口一切二1一^丫一手在区间⑴⑴上单调递减因此^力解得。》？，

所以a的取值范围是[2,+8）.

⑶（多选）（2024・临沂模拟）已知函数4i）=六+a（〃£R）,则下列结论正确的是（）

A.f(x)的定义域为(一8,o)u(0,+8)

B.f(x)的值域为R

C.当。=1时次x)为奇函数

D.当a=2时<一K)+大幻=2

答案ACD

解析对于函数>U)=J=+〃(a£R),

2人一1

令2'—1£0,解得xWO,

所以;U)的定义域为(-8,0)0(0,+8),故人正确；

因为2'>0,则2、一1>一1,当2、一1>0时,-^->0,

2人一1

所以六+公>4；

当一1<2'—1<0时，六<一2,

2兀一1

所以+—2+4

综上可得应¥)的值域为(一8,—2+〃)口(d+8),故8错误；

当。=1时<1)=缶+1=沿，

则|—工)=芸+=一套=一凡0

所以久t)=六+1为奇函数，故C正确；

当。=2时<工)=/+2=会+1、

则人#+人一》)=沿+1+芸4+1=2,

故D正确.

■微拓展■-------------------------------------------------------------------------------------

抽象函数

抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过大汨)一人0)的

变换判定单调性、出现,/U)及八一X)判定抽象函数的奇偶性、换X为x+7.确定周期性.

(1)判断抽象函数单调性的方法

①若给出的是“和型”抽象函数./(x+y)=…,判断符号时要变形为人也)-7U1)=.八。2—M)+制)一人山)或外2)

一大rI)=大口)—AUl—g)+X2)；

②若给出的是“积型”抽象函数段)，)=…，判断符号时要变形为於2)一於|)=/(%1W)-/C⑴或於2)一於。二

Ax2)-/(x2«g.

(2)常见的抽象函数模型

①正比例函数J(x)=WO),对应"±y)=/(X)切3，)；

②幕函数;(幻=见对应於>，)=段次，)或/6)=怒；

③指数函数/(幻=优(心0,且。力1),对应人工+)，)=/(冷/()，)或«¥—)，)=怒;

④对数函数人工)=1。&4。>0,且aW1),对应<x)，)=/*)+m，)或/(；)=段)一顺或兀/)=，&)；

⑤正弦函数次x)=sinx,对应/U+)顿x—)，)=[/W]2—四)可,来源于sin%—sin2/?=sin(«+/?)sin(«—;

⑥余弦函数_/(x)=cosx,对应y(x)+负)，)="(彳(受)，来源于cos夕+cos夕=2cos匕色cos号^；

⑦正切函数/)=tanx,对应危为，尸笥黯,来源于tag切尸器黑襄

典例(多选)已知函数7U)的定义域为R,且41+)，)=/口)+优立当Q0时次x)>0,且满足<2)=1,则下列说法正

确的是()

A.f(x)为奇函数

B.f(—2)=—1

C.不等式12工)一汽工-3)>—2的解集为(-5,+8)

D.f(-2025)+/-2024)+…+40)+…+式2024)+/2025)=2024

答案AB

解析对于A,令x=y=0,可得贝0)=10)+<0)=40),所以90):0,

令产・x,得到次-x)+%)寸0)=0,即<・x)=-/X),所以Rx)为奇函数，故A正确；

对于B,因为风力为奇函数，

所以式-2)=-J(2)=-1,故B正谪；

对于C,设xi>X2,x=xi,y=-X2,

可得j3・X2)=/Ul)+X-X2),

所以及D・./te)+/-X2)=^i-X2),

又因为X}>X2,所以Xi-X2>o,

所以危［・X2)>0,即./Ul)»U2),

所以在R上单调递增，因为<・2)=・1,

所以4・4)=/(・2・2)=?/(-2)=-2,

由胫)•於・3)>・2,

可得；(2力次x-3)+4・4),

所以汽2#次4-3-4)=J(x-7),

所以2x>x-7,得到x>-7,

所以J(2x)-J(x-3)>-2的解集为(-7,+8),

故C错误；

对于D,因为/U)为奇函数，所以或-x)+段):0,

所以4-2025)+/2025)=/(-2024)+12024)

二…二犬-1)+/1)=0,

又«0)=0,故人-2025)+4-2024)+…+火0)+…+42024)+次2025)=0,故D错误.

课时精练

[分值：90分]

IC知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.函数)=3卜1一1的定义域为[T,2],则其值域为()

A.[2,8]B.[l,8]

C.[0,8]D.[-l,8]

答案C

解析由题意工£[-1,2],所以|川£|0,2],尸3反一1e|0,8|.

1

2.已知指数函数yu)=(a—I)"的图象经过点(一1，3,则£)”等于()

A.—B.V2C.2D.4

2

答案A

解析由指数函数凡1)=3—1)〃的图象经过点(一1，)，

a-1=1,

得,解得。=卜=2,

所以呼=屏=当

3若函数«r）=J2*-2ax+3一2的定义域为R,则实数a的取值范围为（）

A.[-1,O]B.[-V2,V2]

C.（0,、②D.RD

答案R

解析由题意可得2、2-2g+3-220对任意x£R恒成立，

即2*2ax+322,且尸2、在R上为增函数，

可得『-2ax+3,1,即『一2々工+2>0对任意R恒成立，

则/=4/-8<0,解得一&Wa<&,

所以实数。的取值范围为[一在,a].

5

4.（2024・绍兴模拟）已知实数•满足a=^f,lf=\,=提则]）

A.b<i?<cB.aB</?<c

C.c<（t<bD.cD<h<a

答案B

解析由y=e）在（0,+8）上单调涕减,y=bg2Y在（0,+8）上单调避增，

01£

>b=e>3=ac=,0

可知G）=1（2）（2）>811=log23>log22=1,

所以c>\>b>a.

5.（2025•福州模拟）设函数,/（幻=35加在区间（1⑵上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（—8,2]B.（-8,4]

C.[2,4-oo）D.[4,+8）

答案D

解析函数）=3、在R上单调递增.而函数火箝=3内加在区间（1,2）上单调递减，所以函数尸|〃一〃|在区间（1,2）

上单调递减.所以与12,解得。24.

6.（2025・辽源模拟）已知函数yU）=2：—2工+1,若人。2）+y（a—2）>2,则实数〃的取值范围是（）

A.(-°°J)

B.(-2,l)

C.(-=o-2)U(l,+oo)

D.(—1,2)

答案C

解析令g(x)=2'—2二定义域为R,

且g(—x)=—g(x),

所以函数g(x)是奇函数.且是增函数，

因为4工)=g(x)+1次/)+五。-2)>2,

则g(“2)+gm—2)>(),即g(/)>—g(〃一2),

又因为以幻是奇函数，

所以gg2)>g(2—a),

又因为g(x)是增函数.所以2>2—a,

解得“<—2或

故实数。的取值范围是(一8,—2)U(l,+8).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.下歹J是真命题的是()

A.函数段)="7+1(»0,且启1)的图象恒过定点(1,2)

B.函数外)=2短的值域是悖,2

C.函数九t)=六一,为奇函数

2人十1Z

D.函数五幻=23一"+1的图象的对称轴是直线x=l

答案AC

解析对于A,令L1=O,则x=l,当尸1时/)=/+1=2,所以函数恒过定点(1,2).故A正确；

对于B,因为/U)的定义域为{%卜H]+5,kEZ},则cos|-1,0)U(0』],则白£(一8,—1]u[1,+8),令/

=£?则/£(-8,—1]“1,+8),则产2《(0,刍“2,+8),即函数以)=2焉的值域是(0,刍“2,+8),故B

错误；

对于C,因为函数凡6=我一一；的定义域为R,关于原点对称，且贝一幻=七一2=法一；厕式一幻+贸幻

2“十122"十1L2"+1L

=0,所以函数人幻=六一：为奇函数，故C正确；

对于D,函数於）=2k"+1的图象的对称轴是直线尸条故D错误.

8.已知函数丝）=Id—11（〃>0,且aW1）,则下列结论正确的是（）

A.函数於）恒过定点（0,1）

B.函数兀0的值域为［0,+8）

C.函数次x）在区间（一8⑼上单调递增

D.若直线y=2a与函数/U）的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是（0』）

答案BD

解析已知函数於）=|4T-1|（心0,且。对），则x£R.对于A<0）=|a°—l|=0,函数/U）恒过定点（0,0）,故A错误；

对于B,x£R,则#—1>一1,所以|"一1|20,函数段）的值域为［0,+8）,故B正确；

对于C,当Ovavl时则）="单调递减，又xWO,所以所以形）=|"一1|="一1,显然此时於）在（一8。］

上单调递减；当心1时.则）="单调递增，又xWO,所以0<aWl,所以於）二|"一1|=一"+1,显然此时段）在

（一80|上单调递减，故c错误；

对于Dj="-l|的图象由），="的图象向下平移I个单位长度，再将.1轴下方的图象翻折到x轴上方得到.分

a>\和0<。<1两种情况，分别作图，如图所示，

当a>\时,2a>2,显然不符合题意；当0<a<l时，此时0<2a<l,即故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.不等式版7的解集为.

答案（-^-j］u［l,+oo）

解析依题意，0931,

即

由于y=3'在R上单调递增，

所以l-2r^3x-4,

即2x:+3x—5=（x—l）（2x+5）20,

解得W—|或Q1,

所以不等式的解集为（一8,-汕口,+8）.

10.对于任意eO且a#1,函数危的图象恒过定点（1,2）.若/）的图象也过点（-1,10）,则ZU）

答案（9+i

解析因为函数40="心+"+〃的图象恒过定点（1,2）,

〜一（m+n=O,十一

所以《所以n=—ni,b=\,

%+1=2,

所以式工）=4巩门）+1,

又於）的图象也过点（一1,10）,

所以负-1）=4一>"+1=10,

又"">0,解得am=-,

3

所以久Y）=G）'T+1.

四、解答题（共27分）

11.（13分）已知函数於）=4。㈤+6的图象过点（0,2）,且无限接近于直线y=1但又不与该直线相交.

（1）求函数y=/（x）的解析式；（6分）

（2）解关于x的不等式4nx）<|.（7分）

解（1）由图象过点（0,2）,得次0）=。4〃=2,

••・函数ja）=〃G）团+〃的图象无限接近于直线）'=1但又不与该直线相交.

••2=1,从而67=1,

,・孙）=（3⑶+1•

⑵由"nx）<得6）,3+1<|,

即匕则

.*.Inx<—1或Inx>l,

解得04<2或x>c.

e

・••不等式*nx）v|的解集为（0*）U（e,+8）.

12.（14分）己知函数yu）="+/尸（〃>o,且〃*1）,且川）二*

(1)求7U)的解析式；(5分)

(2)若函数g(x)=［/U)F十<x)一机在［0,十8)上的最小值为0,求”的值.(9分)

解(1)因为11)=*

所以*/+-=三，解得a