高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 重难点突破06 双变量问题（六大题型）原卷版

重难点突破06双变量问题

目录

题型一：双变量单调问题

题型二：双变量不等式:转化为单变量

问题

■L方法技巧总结

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

・必考题型归纳

题型一：双变量单调问题

例1.（2023・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=（a+l）lnx+a?+l.

（1）当。=2时，求曲线y=/（力在。，/⑴）处的切线方程;

（2）设。4—2,证明：对任意的,々€（0,+8）,l/（x,）-/（x2）|^4|x-x2|.

例2.（2023・安徽•校联考三模）设aeR,函数/（x）=aln（—x）+（〃+l卜?+1.

（I）讨论函数/（“在定义域上的单调性；

（II）若函数/（"的图象在点（-IJ（T））处的切线与直线8工+），-2=0平行，且对任意％,忆武3，。），

不等式＞一恒成立,求实数”的取值范SI.

司一々

例3.（2023•福建漳州•高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数/（x）=（a-I）lnx+or2+].

（I）讨论函数的单调性；

（H）若时，任意的外＞占＞（），总有1/（%）一/（%）1＞2|王-工21,求实数”

的取值范围.

/＞＞I

变式1.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（x）=log“x+--弓，〃?eR,。＞0且"1.

•X2

（1）当4=2时，讨论/（X）的单调性；

（2）当”=e时，若对任意的为＞占＞（）,不等式恒成立,求实数机的取值范围.

大f2

变式2.（2023•天津南开•高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数/。,）=1门+纱2+（%+1卜.

⑴讨论/(力的单调性；

3

(2)当〃<0时，证明/(x)K-力-2：

(3)若对任意的不等正数占应，总有以止3>2,求实数〃的取值范围.

%一毛

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/")=!-x+alnx.

X

(1)讨论/*)的单调性；

(2)已知4<。，若/(X)存在两个极值点片,占，且X<%2，求史°+上至的取值范闱.

2再占

例5.(2023•新疆•高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习)已知函数〃x)=lnx+x2-aHawR)

(1)若〃=1,求函数/(X)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)当。>0时，讨论/(X)的单调性：

13

(3)设f(x)存在两个极值点.占且王〈修，若。<X1<5求证：/(^)-/(^)>--102,

例6.(2023•山东东营・高二东营市第一中学校考开学考试)已知函数./*(幻=/+依+21nx(〃为常数)

⑴讨论/(力的单调性

Q

⑵若函数/(x)存在两个极值点内，占(为<々)，且工2-％《屋求/(百)-/(毛)的范围.

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

例7.(2023•黑龙江牡丹江•高三牡丹江一中校考期末)已知aeR,函数/(x)=xln2x-工+白+2.

2x

(1)当4=0时，求/(*)的单调区间和极值；

⑵若/(-V)有两个不同的极值点七,七(内vw).

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：Inx#21nx2<-]-3ln2(c=2.71828……为自然对数的底数).

例8.(2023・内蒙古・高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)已知函数f(x)=e'-e-x-ar(〃eR).

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵若八幻存在两个极值点再,F，证明：2—以止3<0.

玉一修

例9.(2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)=xlnx+ar2-a.

⑴当a=T时，求曲线)，=/&)在工=1处的切线方程：

⑵若/")存在两个极值点网、4,求实数”的取值范围，并证明：/(土产)>。.

变式7.(2023•辽宁沈阳・高二东北育才学校校考期中)己知函数/(x)=〃》iTnx,〃,wR.

⑴当，心1时，讨论方程/(x)-1=0解的个数；

⑵当用二e时，g(x)=/(x)+lnx-必三有两个极值点々，〜且改<与，若e</</，证明:

22

(i)2<X]+w<3；

(ii)g(xj+2g(x2)<。.

变式8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=mx+5f+

（1）讨论函数/（x）的单调区间；

⑵设X],占（0〈内〈工2）是函数身（X）=/（X）+X的两个极值点，证明：g（N）-g（X2）恒成立.

变式9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=lnx+7叫，”WR.

（1）求函数/（x）的单调区间；

（2）若g（x）=/（x）+；r有两个极值点小占，求证：8（玉）+8（&）+3<0.

题型四：双变量不等式:中点型

例10.（2023.天津北辰.高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数〃工）=出\-口2+（2—〃）x,a^R.

（1）已知x=l为/（x）的极值点，求曲线）'=/（%）在点（1J。））处的切线方程；

（2）讨论函数屋x）=/（x）+"的单调性；

（3）当。〈-〈时，若对于任意百,%£（l,+oc）（x〈/），都存在飞£（与，工2），使得，

2M-X.

证明：宥<%.

例11,（2023•湖北武汉・统考•一模）已知函数/（力=；/+（1-。）》-。山.

（I）讨论/（X）的单调性；

（H）设a>0,证明：当（）<,¥<“时，f（a+x）<f（a-x）；

（Ill）设百是/（X）的两个零点，证明/［安七）＞0.

例12.（2023•云南・高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数jF（x）=f+（l-云）x_alnx（aeR且"0）.

（1）讨论函数八刈的单调性；

（2）当。＞2时，若函数y=/。）的图象与x轴交于A,“两点，设线段48中点的横坐标为所，证明:

变式10.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=lnx-ad+（2-a）x.

⑴讨论/（%）的单调性;

⑵若函数y=/（x）的图像与X轴交于A,B两点,线段A8中点的横坐标为飞，证明：r（,q）＜0.

变式n.（2023•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数/（幻=加工+：0?+（4+1口.

（1）讨论函数/。）的单调性；

（2）设函数图象上不重合的两点A（X，yJ,秋々，%）（内＞/）.证明：3＞尸（土产）.（心力是直线/^的

斜率）

变式12.（2023.福建泉州.高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数/（力二犬-*+21111（。＞0）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设g（x）=lnx-云-若函数/"）的两个极值点七，々（％＜%2）恰为函数g（x）的两个零点，且

s=（%-石冶，4区）的取值范围是［加3-1,+8）,求实数4的取值范围.

题型五：双变量不等式:剪刀模型

例13.(2023・天津和平・耀华中学校考模拟预测)已知函数/(x)=(x+/”(e、-力3>0)在点(T,/(-1))处

的切线方程为(e-l)x+e)，+eT=0.

⑴求a、b：

⑵设曲线)，=/仄)与x轴负半轴的交点为R曲线在点尸处的切线方程为y=/，(x),求证：对于任意的实数%,

都有於以©)；

(3)若关于x的方程"X)=〃?(〃〉0)有两个实数根为、x.,且为〈赴，证明：占-西“1+处坦.

1-e

例14.(2023•辽宁沈阳•统考三模)已知函数他>0)在点卜g，U))处的切线方程

^j(e-1)x+ey+^-

=0.

(1)求b；

(2)函数/(“图像与x轴负半轴的交点为人且在点产处的切线方程为)，=〃(力，函数Rx)=/(x)-

xeR,求F("的最小值；

(3)关于x的方程/(*=相有两个实数根为，x?,且为<七，证明：%-看丝-/工

21-6

例⑸(2023•全国•高三专题练习］己知函数/(幻=心--十1,In3是/(.<)的极值点.

(1)求"的值；

(2)设曲线y=/(x)与X轴正半轴的交点为〃，曲线在点〃处的切线为直线/.求证：曲线y=上的点都

不在直线/的上方；

⑶若关于X的方程/(工)=〃7(〃?>0)有两个不等实根毛，毛(4<印，求证：工f<2-需.

变式13.(2023・安徽•校联考二模)已知函数/("=3KY'+1,其中e=2.71828•是自然对数的底数.

⑴设曲线y=/(x)与％轴正半轴相交于点P&,°)，曲线在点P处的切线为/，求证：曲线)，=/(工)上的点

都不在直线/的上方；

⑵若关于x的方程/(x)=〃？(，"为正实数)有两个不等实根N，%(X<%)，求证：W-芭<2.

变式14.(2023•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=f,xeR,在点(Lg⑴)处的切线方程记为y=〃心),

令f(x)=〃Kx)-g*)+3.

(1)设函数的图象与x轴正半轴相交于p，/(X)在点尸处的切线为/,证明：曲线)，=/(处上的点都不在

直线/的上方;

(2)关于X的方程/(x)=67(。为正实数)有两个实根为，与，求证：以一%|<24.

题型六：双变量不等式:主元法

例16.(2023•江苏盐城•高三盐城中学校联考开学考试)已知函数/(x)=xhu.

⑴求函数/(x)的单调区间和最小值；

⑵当。>0时，求证：(其中e为自然对数的底数)；

(3)若〃>0,方>0求证：f(a)+(a+b)ln22>(a+

例17.(2023・河南信阳•高二校联考阶段练习)已知函数/(x)=Wnx.

⑴求曲线y=/(x)在点(eJ®)处的切线方程；

(2)求函数/⑺的最小值，并证明：当〃>0时，口》仕下.(其中e为自然对数的底数)

例18.(2023•山西晋中•高二校考阶段练习)已知函数f(x)=%[(x-l)e*-6](其中e为自然对数的底数).

⑴若〃