高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 重难点突破07 不等式恒成立问题（十大题型）原卷版

重难点突破07不等式恒成立问题

目录

方法技巧总结

I、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

3)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，•般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法

和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeD,7H</(x)<=>/?z</(x)n.n；

(2)VxeD,w>/(x)<=>w>/(x)niax；

(3)BxeD,/n</(^)<=>/«</(x)(mx；

(4)3xeD,

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xe[«,/?],y=g(x),xe[c,d].

(1)若收目〃，句，气+句,有“x)vg(w)成立,则)(x)g<g(x)1nin；

⑵若％w[a,b],叫4c,d],有/(5)<屋电)成立，贝J/(x)a<g(x)2；

⑶若玉闫《司，叫6小川，有〃5)<g(w)成立，则/(X)而n〈g3a；

(4)若内4a句,利£仁心，有/&)=以巧)成立，如“X)的值域是8(x)的值域的子集.

4、法则1若函数和g(X)满足下列条件:

(1)lim/(x)=O^^irn^(x)=O.

(2)在点。的去心邻域(。-£M)u(a,a+£)内，/(X)与g(x)可导且g'(x)工0;

0二

(3)

Ig'(x)

fix)f'M

那么+=

ig(x)…g⑴

法则2若函数/a)和g(x)满足下列条件：⑴|i?”(x)=o及呵g(x)=o；

(2)3A>0,7*)和g(x)在(fA)与(A+OQ)上可导,且g'(x)KO；

f'(x)

(3)lim^4=/

,fg(x)

x

那么lifm(x-)=lim—f(4)=/.

z8g(x)fg3

法则3若函数/*)和g(x)满足下列条件:

(1)|吧/(1)=8及吧芦(工)=8；

⑵在点。的去心邻域(a-£，a)D("4+£)内，/(戈)与gW可导且g'O)关。;

广(6

(3)=

ig⑴

那么1加半^=1而^^=/.

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的Xf。，XfgXfYO,X.〃+,x-洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,0.8,f,8°,0。，8—8型.

0oo

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足与，?，Ooo,f,00°,0°,8-8型定式，否

则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

lim±兴==如满足条件,可继续使用洛必达法则.

…g(x)…且⑴fg(x)

题型一：直接法

例1.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数/(x)=；x2—ae'(〃€R).

⑴已知函数在(OJ(O))处的切线与圆/+9一2-2)，-3=0相切，求实数〃的值.

(2)已知xNO时，/'(力工-/-心-。恒成立，求实数"的取值范围.

例2.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数f(x)=ejg(x)=ln(x+a),其中awR.

⑴讨论方程〃力=工实数解的个数；

(2)当时，不等式/(x)3g(x)恒成立，求〃的取值范围.

例3.(2023•全国•统考高考真题)已知函数"x)=a1--坐。小

cos\rV2

⑴当a=l时，讨论/("的单调性：

⑵若/'a)+sinxvO,求"的取值范围.

变式L(2023•河南•襄城高中校联考三模)已知函数/(%)=Mnx,身(力=。'，

⑴若曲线y=/(x)在(1,0)处的切线与曲线)，=g(x)相交于不同的两点A(N，yJ,以与,％),曲线)，=g("在

A,B点处的切线交于点为)，求为+々一%的值；

(2)当曲线y=/(x)在(1,0)处的切线与曲线尸g(x)相切时,若以w(l,+co),f(x)+eg(Ar)>(a+l)e-g恒

成立，求〃的取值范围.

题型二：端点恒成立

例4.(2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数

[o<x<^l(A)=/(x)+isinx-ai-

/(x)=-sinx-xcosx5

⑴求/(x)在处的切线方程；

(2)若任意工«0,y)，不等式屋司40恒成立，求实数〃的取值范围.

例5.(2023•北京海淀•中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知函数/(x)=xln.r-1).

(1)当a=0口寸，求函数在点(1J。))处的切线方程；

⑵若函数），=7'"）在x=l处取得极值，求实数a的值；

⑶若不等式/（”《0对xe[l，y）恒成立，求实数a的取值范围.

例6.（2023・湖南•校联考模拟预测）己知函数〃力二皿1十=与g（”）分别是/⑴与8（力

的导函数.

⑴证明:当a=1时，方程/（力=#（力在（TO）上有且仅有一个实数根；

⑵若对任意的x«0，s）,不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数”勺取值范围.

变式2.（2023•四川成都•石室中学校考模拟预测）已知函数〃6=；五+工，函数人“=炉-2》+5欣.

⑴求函数g（”的单调区间；

⑵记尸⑺寸⑺-/⑴，对任意的工之。，尸（司20恒成立，求实数。的取值范围.

变式3.（2023•宁夏银川•校联考二模）已知函数/（工）=詈.

⑴讨论“力在[0,可上的单调性;

⑵若对于任意T。身，若函数小）〈履恒成立，求实数％的取值范围.

变式4.（2023•四川泸州•统考三模）已知函数/（x）=（x-l）e*+ar+2.

⑴若八月单调递增，求a的取值范围;

⑵若工20,/（x）＞siar+cos.v,求a的取值范围.

题型三：端点不成立

例7.(2023.重庆•统考模拟预测)已知函数/(x)=alnx-x(〃w0).

(1)讨论函数f(x)的极值;

(2)当x>0时,不等式二-2f(x)之sin"(x)]+l恒成立，求。的取值范围.

ex

例8.(2023・江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数/(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

(1)讨论的单调性;

⑵若不等式e「2>/(幻恒成立，求实数a的取值范围.

例9.(2023•江西•校联考模拟预测)已知函数/(司=q-x+1.

⑴求”力的单调区间;

⑵若对于任意的xe(0,*o),/(.r)+』+xKae'恒成立，求实数"的最小值.

X

变式5.(2。23•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数/(x)=a・lnx,aeR.

⑴若。二2，求函数"X)的最小值及取得最小值时的x值；

e

⑵若函数/(x)Wxe'-(a+l)1nx对xe(0,+cc)恒成立，求实数a的取值范围.

变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e*T-alnx,其中〃eR.

⑴当a=l时，讨论/(工)的单调性；

⑵当xe[0,可时，2〃x+l)-cos.r》l恒成立，求实数a的取值范围.

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

2r(2、

例10.(2023•湖北武汉•武汉二中校联考模拟预测)已知函数/a)=ln—+a--x-x2.

a\a)

⑴若。<0J(x)的极大值为3,求实数〃的值；

⑵若Vxc((),+8)J(.r)<arev+f6-1-lVx2,求实数a的取值范围.

例11.(2023•湖北荆门•荆门市龙泉中学校考模拟预测)设函数/(x)=c'-ar,x之0且aeR.

⑴求函数/W的单调性；

⑵若/'(X)之f+i恒成立，求实数。的取值范围.

例12.(2023•河北•模拟预测)已知函数

⑴讨论函数/“)的单调性；

(2)若存在实数4，使得关于x的不等式/(x)KM恒成立，求实数2的取值范围.

变式7.(2023•福建三明•高三统考期末)已知函数/(x)=sinx+?,工《一兀仁

⑴求证：/(力在卜兀吟)上单调递增；

(2)当(-n,0)时，［/'(x)-sinx卜-cosxWksinx恒成迂，求Z的取值范围.

变式8.(2023•甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测)已知函数/("=依Jell,.广(同为/(力的导函

数.

⑴讨论了(力的极值;

(2)当4>—1时，“力之一疣、,求七的取值范围.

变式9.(2023.四川遂宁.射洪中学校考模拟预测)已知/(x)=ln.r-辰+1(&GR),以力=代一2》.

⑴求的极值；

(2)若g(x)N/(x),求实数)的取值范围.

变式10.(2。23•河北沧州•校考模拟预测)已知函数/")=当」.

⑴求函数/(x)的极值点个数；

⑵若不等式(x+lf也-1在。，笆)上恒成立，求，〃可取的最大整数值.

X

变式11.(2023・河南开封•校考模拟预测)已知函数/(x)=(a+l)c；ar(a€R).

⑴讨论的单调性；

⑵若xvOJ(x)之*-工-1,求实数〃的取值范围.

题型五：洛必达法则

例13.已知函数/(x)=nnx+/zr(a,〃eR)在x=!处取得极值，且曲线)，=/(幻在点(1J⑴)处的

2

切线与直线为一丁+1=0垂直.

(1)求实数的值；

(2)若十8),不等式/(为£。〃-2)X一一恒成立，求实数，〃的取值范围.

x

X

例14.设函数/(幻=1一当x20时，/(x)<-----,求。的取值范围.

ax+\

例15.设函数/(x)=卢^一.如果对任何x20,都有/(x)War,求。的取值范围.

2+cosx

=2sin2x-2xsinx=2sinx(sinx-x)

题型六：同构法

例16.(2023・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)已知函数/(x)=e\g(x)=L

.1

(1)若力(x)=/(x)-〃7g(x)(meR),判断〃(x)的零点个数;

(2)当工>0时，不等式HU"孤+m'+2恒成立,

求实数〃的取值范围.

例17.（2023・湖南常德・常德市一中校考一模）己知函数/（6=。铲+。（々＞0）,g（x）=2（x+：）lnx.

⑴若在点（0,/⑼）处的切线与g（x）在点（心⑼处的切线互相平行，求实数a的值；

⑵若对Vx＞0,/（x）〉g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

例18.（2023•河南郑州•高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数.若置«0,叱）,

"汜小＞Inx成立，则实数m的最小值是_______.

变式12.（2023•广西柳州•统考三模）已知/（x）=K+eLg（x）=x“-a1nx（a＜0）,若/（x）2g（x）在

上恒成立，则实数。的最小值为（）

A.—2eB.-eC.—＞/eD.-j

变式13.（2023•广东佛山•统考模拟预测）已知函数/（”=耳4七）其中aeR.

⑴讨论函数/（x）极值点的个数；

⑵对任意的x＞（）,都有/（x）＜-Inx-1,求实数〃的取值范围.

变式14.（2023•海南♦校考模拟预测）已知。＞0,函数/（"=+-or.

⑴当。=1时，求曲线y=〃力在x=l处的切线方程；

⑵若/（x）＞lnx-x+l恒成立，求实数。的取值范围.

变式15.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃"=笠».

（|）求］（6的单调区间;

(2)若3+2?”(“+2x,求。的取值范围.

变式16.(2023•广东佛山•校考模拟预测)已知函数/(x)=e-aln(以+其中〃>0,x>0.

(1)当a=l时，求函数“X)的零点：

(2)若函数f(x)之()恒成立，求”的取值范围.

K+I

变式17.(2023・贵州毕节・统考模拟预测)已知函数/(x)=--lnx-Ina.

(1)当。=,时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

e

⑵若/(力+1之()，求实数a的取值范围.

题型七：必要性探路

例19.(2023•江西九江•统考三模)已知函数=

av-1

⑴讨论7U)的单调性：

(2)当。=一2时，^x>0,/(x)<ln(l+2x)-/?u-l,求实数机的取值范围.

例20.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=ln(x+l)—④(〃>0).

⑴若函数g(x)=〃x)-。在上有且仅有2个零点，求a的取值范围:

⑵若/(司4〃2/一〃(x+i)恒成立，求〃的取值范围.

例21.(2023•江西九江♦统考三模)已知函数/(x)=_J(a<0))在x=l处的切线斜率为一二.

ax-\4

⑴求。的值；

(2)若心1,/(x-l)<lnx-m(x-l)-l,求实数机的取值范围.

变式18.(2023•福建厦门•统考模拟预测)己知函数/3=(9-1)(2+8刈-3asinx.

⑴当a=1时，讨论f(力在区间［0,+8)上的单调性；

⑵若Vxw-y,+ool/W>0,求a的值.

变式19.(2023・湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测)己知函数/(x)=e"+sinx-cosx.

⑴若a=-1,X之一:，求证：F(.r)=r(x)-；x—l有且仅有一个零点；

⑵若对任意人WO，f(x)大。恒成立，求实数”的取值范围.

题型八：max,min函数问题

例22.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x—l)e'—；/+l,g(x)=sinx-ar,其中awR.

(1)证明:当xNO时，/U)>0；当％<0时,/(x)<0；

(2)用max{叫表示肛〃中的最大值,记尸(x)=max{/(x),g*)}.是否存在实数小对任意的xeR,F(x)>0

恒成立.若存在，求出“，若不存在，请说明理由.

例23.(2023・全国•高三专题练习)已知函数=gd+i,g(x)=sinx-cue,其中〃eR.

(1)证明:当x.O时，/U)..O；当x<0时，/(x)<0；

(2)用max{m,〃}表示〃?,〃中的最大值,记F(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在实数a,对任意的xeR,尸(x)..O

恒成立.若存在，求出。；若不存在，请说明理由.

例24.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x-2)e'T-2f+x+g，g(x)=a・sinx-ln(x+l),其

中qwR.

(1)证明：当x.l时，f(x)..O；当xvl时，/U)<0；

(2)用max{"7,〃}表示〃?,〃中的最大值，记尸(表=max{/(的g(x)}.是否存在实数小对任意的xwR,产(x)..O

恒成立.若存在，求出田若不存在，请说明理由.

变式20.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(工)=/-工一工111工，g(x)=f-3av+e.

(1)证明"x明。恒成立;

⑵用maxW〃}表示加，〃中的最大值.已知函数万(力=/^7+2,记函数e(x)=max{〃(x),g(x)},若

函数夕(x)在(0,+8)上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

变式21.(2023•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习)已知e是自然对数的底数，函数/(叼=5「，直线

y=L为曲线产/(x)的切线，g(x)=(x+l)lnr.

e

(1)求。的值；

(2)①判断尸(x)=/(力-g(x)的零点个数;

②定义min{,〃,〃}=«函数〃心)=1讪1{/(“，8(必./心)=〃7(6-〃2在(0,田)上单调递增.求实数.

的取值范围.

变式22.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)=f令x,g(x)=xlnx.

⑴若P(x)=/(x)—g(x),证明：P(x)在(0,+?)上存在唯一零点；

(2)设函数〃(x)=min{/(x),g(x)},(min{a〃}表示中的较小值)，若求4的取值范围.

题型九：构造函数技巧

例25.(2023•全国•高三专题练习)己知函数/(x)=mdnx-l,〃件0.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若g(x)=V-且关于x的不等式("在(。，y)上恒成立，其中e是自然对数的底数，求

实数〃?的取值范围.

例26.(2023•江苏・统考高考真题)已知关于x的函数y=例%),J=g(x)与h(x)=kx+b(k,beR)在区间D上

恒有fW>h{x}>g(x).

(1)若/(1)二父+2笛^(X)=-A2+2X,O=(YO,+8),求才(x)的表达式；

(2)若/(外=/一x+1,g(x)=k\nx,h(x)=kx-k,D=［0,+co),求％的取值范围；

(3)若/(力=犬-2/，g(x)=4/-8,h(x)=4(?-r)x-3r4+2/2(0<|r|<72),。=卜〃,〃仁［一"及］，求证:

n-tn4x/7.

例27.(2023•湖北•统考模拟预测)已知函数/(/)=-—lnx-1.

⑴求函数/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若不等式＞ax{aeR)恒成立，求实数〃的取值范围.

变式23.(2023•江苏南京•高二南京市江宁高级中学校联考期末)已知函数〃x)=e'-e"(〃+hu).

⑴当a=l时，求/”)的单调递增区间；

⑵若/⑴之0恒成仁求〃的取值范围.

变式24.(2023•福建泉州•统考模拟预测)已知函数/(x)=axeJlna+l).

(1)判断/W的导函数/'(k)的零点个数；

(2)若“X)之21na-31n2-3,求a的取值范围.

变式25.(2023•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测)已知函数.f(x)=lnx+2aiTl,^(x)=x(ev+l)(

为自然对数的底数).

⑴若函数/的最大值为0,求。的值；

⑵若对于任意正数x，/(x)Wg(x)恒成立，求实数a的取值范61.

变式26.(2023・重庆万州•统考模拟预测)已知函数f(x)="(，eR).

e

(1)讨论的极值;

⑵当。=1时，关于x的不等式七21+gTn(x+l)在［0,+到上恒成立，求实数，”的取值范围.

变式27.(2023•四川•校联考模拟预测)已知函数/(x)=g+2%-1(4>0)的导函数为/'㈤.

⑴当。=1时，求函数/(x)的极值点的个数；

⑵若⑴<x+m幽+1恒成立，求实数，的取值范围.

变式28.(2023•福建漳州•统考模拟预测)已知函数/3=/+2©一，+〃与g(x)=f7+l的图象有公切线

y=nix+\.

(1)求实数川和〃的值；

(2)若炉+/=3,且/(内)•/5)之3(内+9+k),求实数攵的最大值.

题型十：双变量最值问题

例28.(2023•江苏•统考模拟预测)己知/(力="氏+〃，g(x)=kix,对于Vxw(0,*o),/(x)2g(x)恒成

立,则机+2〃的最小值为()

A.—In2B.—1C.—In4D.12

例29.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx,g(x)=CLX2+bx+\,其中“OcR.

(1)当。=0时，直线y=g(x)与函数y=/(x)的图象相切，求b的值；

(2)当时，若对任意x>(),都有恒成立，求2的最小值.

a