高一数学单元复习（人教A版必修第一册）第一章 集合与常用逻辑用语 测试·提升卷（含解析）

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第一章集合与常用逻辑用语•能力提升

建议用时：120分钟，满分：150分

【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设。，b是两个实数，而且。<6,我彳门规定:

定义名称符号

{x\a<x<b]闭区间[则

[x\a<x<b]开区间（4。）

{x|aWxvZ?}半闭半开区间

<x<Z?}半开半闭区间（。，句

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合A={XGR|-3<X<3},B={X€Z|X>（）},则AB=（）

A.{0}B.{-2,0,1}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.已知均为实数，则是“f+丁wo”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.设集合人={2,/一"+若4eA,则。的值为（）

A.—1-2B.-3C.—1,-3,2D.-3,2

4.己知集合知={。,0）},则下列与M相等的集合个数为（）

①,,），）|尸=：,

I[x+）=ij

②{（x,y）Iy=\lx-\+Jl-x}

2

④{d-l<x<2,xcN}

A.0B.1C.2D.3

5.已知命题P：3xeR,x2=-x-l,命题V：Vx>-I,丁+f20,则()

A.-y)和4均为真命题B.〃和F均为真命题

C.〃和4均为真命题D.3和F均为真命题

6.已知p：x2-4x+3—0»q：-1«〃7,若〃是"的充分条件，则实数小的取值范围为()

A.w>4B./n—C.m>-2D.m>-2

22

7.某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人,

已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为()人

A.1B.3C.5D.7

8.定义集合运算A8={〃?W=x-y,xeA)，£b}.已知非空集合A和8,且{1,2,3.45},若

ABqB,则满足题意的不同的B的个数为()

A.1B.4C.7D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.“对任意一个无理数q也是无理数,，是真命题

B.“冷>0”是“x+y>0”的既不充分乂不必要条件

C.命题“*eR,V+i=o”的否定是，，“二乩一+1工0”

D.若的一个必要不充分条件是则实数机的取值范围是[1,3]

10.若集合M,N满足A/qNqU,则下列结论正确的是()

A.MuN=NB.Nq(MClN)

C.(削)u(MD.旗MUN)qjM

11.对于R的两个非空子集AB.定义运算AxB二{*,)，)|xeAy£B},则()

A.若A=8={l},则AX8={1}B.若AX8={(1,2),(2,1),(2,2),(1,1)},则A=B

C.AxB=BxAD.若AqC,则(AxB)q(CxB)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A={x|gcN,xcN},则集合A的非空真子集的个数为.

13.已知或">-〃?，〃：x<2或%"，若。是夕的必要条件，则实数〃［的取值范围是

14.已知集合A={x|OKx«a),集合8={x|+2WxW+4},如果命题为假命题，

则实数。的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知集合A={XaP+2x+l=O,〃eR,xeR}.

⑴若IwA，求”的值；

⑵若A中只有一个元素，求”的取值范围：

⑶若A中至多有一个元素，求〃的取值范围.

16.(15分)

已知集合)=[1,3,/},8={1,〃+2},。={刘m—14%工2闭+3],且从08={1,1}.

(1)求实数"的值；

(2)若。={文|—a«xK2a},CUO=D,求实数加的取值范围.

17.(15分)

已知命题〃：Vxc[L+8),a-2x2KO.命题4Wx43},A+t/>0.

(1)写出两个命题〃M的否定；

(2)若两个命题都是真命题，求实数〃的取值范围.

18.(17分)

设集合M=卜|t=m2-n2,m,neZ|.

⑴证明："％w"也£""是4wM”的充分不必要条件;

⑵写出“偶数2A(AwZ)属于AT的一个充要条件并证明.

19.(17分)

(1)对于•数集A,B,定义A+8={x|x=a+b,atA"w8},A^-B={x\x=^,aeA,bGB},若集合A={1,2},

求集合(A+A)+A中所有元素之和.

0,x任A0,x/B

(2)设A,8是R上的两个子集，对任意xwR,定义：〃?=

l.XGA\,xeB

①若则对任意xeR,m(\-n)=

②若对任意xwR,，〃+〃=1,则A,B的关系为.(要求写出解题过程)

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第一章集合与常用逻辑用语•能力提升

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合A={xeR|-3<x<3）,Z?={xeZ|x>0},则（）

A.{0}B.（-2,0,1}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

【分析】应用集合的交运算求集合即可.

【详解】A={xeR|-3<x<3）,^={xeZ|x>0},

/.AnB={xeZ|0<x<3）={0,l,2）.

故选：C

2.已知KN均为实数，则“冷冲。”是“f+y2#o”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】证明由3-0可推出一斗〉，2工0,再举例说明由/+）,2工0不能推出外,工0,结合充分条件和必要

条件的定义确定结论.

【详解】由于孙=。，所以X和y均不为0,

所以可以推断/+丁工0；

取工=l,y=0,可得/+/=（）,但个=。

故由/+）,2工0不能推出外工（）.

所以“个工0”是“f+丁土（）的充分不必要条件.

故选:B.

3.设集合4={2,/一〃+21一〃},若4eA,则。的值为（）

A.-1,2B.-3C.-1,-3,2D.-3,2

【答案】D

【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.

【详解】由集合中元素的确定性知/_。+2=4或=

当/一〃+2=4时,。=一1或。=2;当1一。=4时,。=一3.

当〃=-1时,4={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故〃=-1舍去；

当。=2时,4=忆4,-1}满足集合中元素的互异性，故。=2满足要求；

当。=-3时,4={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故〃=_3满足要求.

综上，a=2或〃=—3.

故选:D.

4.已知集合河={(1,0)},则下列与“相等的集合个数为()

①，，)，)『二；

x+y=\

③卜X=

④3-1<X<2,XGN}

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究〃为奇数、〃为偶数可计算③，由N定

义可得④，依次判断即可求得结果.

【详解】对于①，y,y"：；［={(i,0)}=M；

对于②，{(x,v)ly=^/^+^/^}中<：_：］：解得彳=|,故{(x,y)ly=V^T+\/i^}={(LO)}=M；

对于③，当〃为奇数时，x=-l：当〃为偶数时，x=0,

所以(d={-1,0}工M；

对于④，{乂-1vx<2,xeN}={0,l}wM.

所以与M相等的集合个数有2个.

故选:C.

5.已知命题P：HreR,x2=-x-\,命题4：Vx>-1,V+xFO,则（）

A.-P和4均为真命题B.〃和F均为其命题

C.〃和乡均为真命题D.。和4均为真命题

【答案】A

【分析】由判别式的正负可判断P,由V+fNOof（l+x）N0可判断4；

【详解】由f+x+l=0，△=1-4=一3<0,可知方程无解，故〃为假命题，T7为真命题；

X34-X2>0<=>X2（1+X）>0,

因为不之一1,所以V。IX）之。成立，即“为真命题，r为假命题，

故选：A

6.已知p：x2-4x4-3=0»q：<m,若〃是的充分条件，则实数机的取值范围为（）

A./«>4B.m>—C.m>-2D.m>-2

22

【答案】B

【分析】将〃是夕的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可.

【详解】设集合4=卜,2-4工+3=0}={1,3},

集合B=<x一3={x|-4<x<2m+2},

因为〃是夕的充分条件，所以A是8的子集，

2+2m>3

贝I卜2+2机之一4,解得〃?NL

2+2^>1

故选：B.

7.某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人,

己知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（）人

A.1B.3C.5D.7

【答案】L）

【分析】由题意作出Venn图，结合Venn图能表达出只同时参加了两个社团的人数，进而得解.

【详解】

篮球社位羽毛球社

乒乓球社

设同时参加篮球社和羽毛球社的人数为x人，设同时参加篮球社和乒乓球社的人数为了人，设同时参加乒乓

球社和羽毛球社的人数为z人，只同时参加了三个社团的人数为川人：

H!|12+ll+10-x-y-z-2/M=20,

贝lj工+y+z=13—2m；

因为加之4,所以x+y+z=13-2〃]45,

所以只同时参加了两个社团的人数不可能为7人.

故选:D.

8.定义集合运算={〃巾〃=1-），/£4）*可.已知非空集合A和从且AU8q{l,2,3,4、5},若

则满足题意的不同的8的个数为（）

A.1B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】结合集合新定义，讨论6中元素个数即可；

【详解】由题意AB={m\m=x->',xeAye,

又非空集合4和"且4D8q{123,4,5},若=

当8中有一个元素时：

8={1},4={2}：八⑵，4={4}：

当6中有两个元素时：

8={1,2},A={3}；B={1,3},A={4}；B={1,4},A={5}；〃={2,3},A={5}；

当8中有三个元素时：

B={1,2,3},A={4}；

当8中有四个元素时:

5={1,2,3,4},A={5}；

当E中有五个元素时，集合A不存在，

所以满足条件的不同的B的个数为8个，

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.“对任意一个无理数》,/也是无理数,，是真命题

B.“◎>0”是“x+y>0”的既不充分又不必要条件

C.命题“HxwR,一+1=命，的否定是“—eR,一+1X0”

D.若的一个必要不充分条件是“〃l2cxem+2”，则实数，〃的取值范围是[1,3]

【答案】BCD

【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项.

【详解】X=V5是无理数，炉=2是有理数，A错；

x=-\,y=-2irj-,xy>>0,（Hx+v=-3<0；

反之，工=-10=2时，工+），>0,但孙=-2<0；

则“孙>0”是“x+,>0”的既不充分又不必要条件，B正确；

命题小wR,/+1=（）的否定是：VxwRdlwO,C正确：

m-2<1

的必要不充分条件是“，〃-2<x<m+2"，则〈..

两个等号不同时取得.解得1W〃”3.D正确.

故选：BCD.

10.若集合M.N满足MuNqU,则下列结论正确的是（）

A.MuN=NB.Nq（MCN）

C.（枷）之（”）D.欷M\JN）q0,M

【答案】AD

【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用」知的MqNqU来判断其正确性.

【详解】对于A选项，因为MqN,所以MDN=N,A正确；

对干B选项，由于MqN,所以McN=M,即(McN)qN,而不是N=(MN),B错误;

对于C选项，因为M=N,所以(枷)2(小),C错误.

对于D选项，［t)C可得，(枷)注意到MDN=N,于是疫(MDN)QUM，D正确.

故选：AD.

11.对于R的两个非空子集A3.定义运算AxB={*,)，)|X£AywB},则()

A.若A=3={1},则AxA={l}B.若AxA={(l,2),(2,l),(2,2),(l,l)),则人B

C.AxB=BxAD.若则(Ax8)=(Cx8)

【答案】BD

［分析］根据运算Ax3={a,y)|.rwAyeB］逐个判断各个选项即可.

【详解】解：对于A,Ax8={(1,1)},故选项A错误;

对于B,AXB={(1,2),(2,1),(2,2),I1,1))M=B={1,2},故选项B正确；

对于C,若干={1},8={2},则Ax8={(l,2)},5xA={(2,l)},

故故选项C错误：

对干D,AxA={(x,y)|x€A,ye0},CxB={(x,y)\xeC.yeB］,

又A=贝三(CxN),故选项D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A=［x］」jeN,xeN］,则集合A的非空真子集的个数为.

【答案】6

【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知A={1,3,13},即可求得结果.

【详解】由」jcN可知x+2是15的约数，又xeN,因此工+2可以是3,515；

x+2

此时x=l,3,13,即可得人={1,3,13},

所以集合人的非空真了•集的个数为23-2=6个.

故答案为：6

13.已知a:xv2〃Ll或%>-〃?，〃：x<2或％",若a是夕的必要条件，则实数机的取值范围是.

【答案】

【分析】设集合4={巾<2〃1或X>F},8={x|xv2或x"},由题意可得分2m—1>一帆、

2〃L1W-〃7两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得

出关于实数〃?的不等式组，综合可得出实数〃1的取值范围.

【详解】设集合A={x|x<2"-1或X>T〃},8=3]<2或x"},

若a是£的必要条件，则BqA,

当2〃?一1>一机时，即〃时，此时A=R,8aA成立；

当〃时，即/〃时，若8qA,此时该不等式组无解.

3[-in<4

综上所述，实数加的取值范围是一〃”z>g]

r、

故答案为：加

14.已知集合A={x|OC/},集合B={x|〃/+2w〃2+4},如果命题为假命题，

则实数。的取值范围为.

【答案】（,,2）

【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“^/〃蚱1<力<14=0”为真命题，根据命题的真假得出关于胴的

不等式恒成立，进而求解即可.

【详解】因为命题“玉工c8/0”为假命题，

所以命题“助〃£1<4门8=0”为真命题，

因为集合4={制0«工£。}，当a<0时，集合A=0,符合AfU=0；

当心0时，因为加+222,所以由对V〃2GR,AC8=0,可得>+2>a对任意的"ztR恒成立，所以

0<a<2,

综上所述：实数。的取值范围为（YO,2）,

故答案为：（F,2）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知集合人={4，仇2+2X+1=O,〃eR,xeR}.

（1）若leA,求。的值；

⑵若A中只有一个元素，求”的取值范围；

⑶若A中至多有一个元素，求〃的取值范围.

【答案】（1）。=一3

（2）a=0或a=l时，

闭|4|4=0或021}

【分析】（1）将x=l代入方程中即可求解，

（2）（3）将问题转化为：关于"的方程渥+2x+l=0解的问题，分类讨论二次项系数。的值，结合二次方

程根与判别式的关系，即可得到答案.

【详解】（1）由于1wA,所以x=l是ax2+2x+l=0的实数根,故。+2+1=0，故。=-3

（2）当a=0时，原方程变为2x+l=0,此时x=-g,符合题意；

当〃。0时，方程0^+2工+1=0为一元二次方程，A=4-4a=0•即a=l时，原方程的解为x=-l,符合题

意.

故当。=0或。=1时，原方程只有一个解，此时A只有一个元素.

（3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，

由（1）知当。=0时只有一个元素，

当。工0时，方程以2+2戈+2=0为一元二次方程，△=4一4。＜0,即。＞1时，A为空集；

△=（）,即。=1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素.

A中最多有一个元素，{a|a=0或。21}

16.（15分）

已知集合A={1,3,/}1={1,4+2）（={工］，〃一1。42〃1+3},且4门8={1,小}.

（1）求实数。的值；

（2）若。={xl-。Wx42〃},CUO=D,求实数次的取值范围.

【答案】（1）2

【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解.

（2）由（1）求出集合。，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解.

【详解】（1）由A8={1,直，得"=〃+2,解得。=2或。=-1,

当〃=-1时，/=],不符合题意；当。=2时，符合题意，

所以4=2.

（2）由（1）得，D={x|-2<x<4},由CD=D,得C=

।①若C=0,此时〃?一1>2//Z+3，即m<-4,符合题意;

tn-[<2m+3

②若。声0,由。=力，则6-12-2,解得：一1«〃区；，

2m+3W4

所以实数〃?的取值范围是（-oo,-4）IJ[T,g].

17.（15分）

已知命题〃：Vxe[l,+8）,4—2fW0.命题4：3XG{A|1<x<3},x+aNO.

（1）写出两个命题〃M的否定；

（2）若两个命题都是真命题，求实数〃的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

⑵同-3工。£2}

【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解；

（2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解.

【详解】（1）因为〃:Vxc[l,+8）,n-2x2金）,

所以非/?:3XG[1,+oo）,6Z-2A2>0,

因为g:3xe{x|lW3},x+o>0,

所以一xy:Vxe{x|l<x«3},x+a<0；

（2）因为p:Vxe[l,+纥）,4-2/WO,所以a«2%2,

又xNl，故2/22，故〃W2,

命题WxW3},

即3xe{x|Kx43},a＞-x,又一3W-x〈-l,故aN-3.

综上，当两个命题都是真命题时，。的取值范围为{。1-3工。工2}.

18.（17分）

设集合“={/|t=m2-n2,nKfiGZ\.

⑴证明：FeM&eM”是飞-t2eM”的充分不必要条件；

⑵写出“偶数2A（2cZ）属于的一个充要条件并证明.

【答案】（1）证明见解析

（2）2为偶数；证明见解析

【详解】证明：（I）设集合加={，1”加一〃2,皿〃ez}中的元素「肝-〃:出="-吭所以

/1­/,=（〃彳-W）H/Zlj-«2）=网吗一町％-+〃；〃；

=（乔欣+）一（〃?：〃；+〃:欣）=。〃1叫+〃1〃2）一（〃秘4+叩％）.因为m'n€Z'所以

s%+%%网内+马吗eZ,所以々eA/deM,则』&eM成立，故飞eM”是/eM”的充分

条件.

若4=3?--=8,则力可取％=212=4,设2=站/一〃'=（〃?+〃）（〃?-〃）.因为〃?,〃cZ,所以m十〃

与刑一〃有相同的奇偶性.因为2为偶数，所以根+〃与加-〃均为偶数，所以（6+〃）（机-〃）应为4的倍数,

而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以2eM,故FeM,小加”是飞4cM”的不必要条件.

综上所述，FcM/eM”是飞•”W”的充分不必要条件.

（2）“偶数2A（AwZ）属丁“，的个充要条件是A为偶数.

充分性：因为&为偶数，所以设攵=2a（aeZ）,所以2A=痴.而（〃+1）2-（4-1尸=4。，所以2左=（。+1尸一（。一1）2

满足集