高一数学单元复习（人教A版必修第一册）第一章集合与常用逻辑用语（知识清单9大易错训练）含解析

第一章集合与常用逻辑用语

清单01集合的含义与表示

1、元素

把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：a、b、。…）

2、集合

把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：48、C…）

3、元素的特征

确定性、互异性、无序性.

求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.

4、元素与集合的关系

①属于：CIGA；②不属于：a^A.

5、常用数集

①自然数集N（包含0和正整数）②正整数集N*或N+

③整数集Z④有理数集Q⑤实数集R

6、集合的分类

①有限集：②无限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用｛｝括起来.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素工所组成的集合表示为｛戈EA|P（X）｝.

例如｛X£Z|1（）<X<20｝、｛x\x=2k+\,keZ｝

③图示法（Veen图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.

8、常见集合的表示方法

①方程的解集：｛x|2x+3=0）

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函数自变量构成的集合：｛H），=2X+3｝

④函数因变量构成的集合：｛y[y=2x+3｝

⑤函数图象上的点构成的集合：｛（X,）儿，=2x+3｝

⑥方程组的解・：•（­）或｛（11）｝

⑦奇数集：{x|x=2〃+l,〃£Z}

⑧偶数集：{X|X=2〃,〃£Z}

注：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量…），以及元素的范围（JVWN、N\

Z、R）.

清单02集合间的基本关系

1、子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.

记作：AqB或82A读作：A包含于3或8包含A

①任何一个集合是它本身的子集.

②若A=且81则AuC.

2、集合相等

若A^B，且BqA,则A=3.

①若A=8,且8=。，则4=C.

②欲证A=8,只需证A=且BqA.

3、真子集

如果集合4是集合B的子集，并3B中至少有一个元素不属于A.

记作：A08或5VA读作：A真包含于8或8真包含A

①若A（jB,且BUC,则AUC.

②若AqB,且AwB,则AUD.

③q和。用于集合和集合之间，w和史用于元素和集合之间.

4、空集

不含任何元素的集合.符号：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解决有关4口3=0、A=3等问题时，一定要先考虑0的情况，以防漏解.

5、子集个数与元素个数的关系

可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.

表示：“若〃，则9"、“如果〃，那么久二其中〃为命题的条件U为命题的结论.

2、充分条件与必要条件

①“若〃，则夕”是真命题，即〃,则〃是q的充分条件，g是〃的必要条件；

②“若P，则4”是假命题，即〃K心则〃不是q的充分条件，夕不是〃的必要条件.

判断充分条件、必要条件的三种方法：

①定义法:直接判断“若〃，则q”以及“若q,则〃”

的真假；

②集合法：利用集合的包含关系判断；

③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若乩=〃2，P2np3，则

3、充要条件

如果“若p,则夕”和,•若q,则,都是真命题,即既有p=q,又有夕=〃，则可记作「。夕,这时称〃

是q的充分必要条件，简称充要条件.

充分条件、必要条件的判断:

①p=q旦qNp〃是67的充分不必要条件

②pRq且q=p〃是°的必要不充分条件

③poq〃是q的充要条件

④pKq且qKpp是q的既不充分也不必要条件

4、全称量词

短语“所有的'"任意一个”通常叫做全称量词.符号：V

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

“对M中任意一个x,p(x)成立”用符号记为：VXGM,p(x)

5、存在量词

短语“存在一个”“至少有一个“通常叫做存在量词.符号：3

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符号记为：BXEM，P(X)

6、全称量词命题和存在量词命题的否定

①全称量词命题VxeM,p(x)的否定为：BxeM,-1P(x).

②存在量词命题的否定为：VxwM,「p(x).

①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.

②全称量词命题的否定是存在量词命题；

存在量词命题的否定是全称量词命题.

③一个命题和它的否定，只能是一真一假.

易错总结

易错01:忽略互异性

易错06:混淆条件关系

易错02:元素的属性不明

易错07:充分必要条件中

集合与常用忽视端点值的取舍

易错03:忽视空集

逻辑用语

易错08:命题的否定理解不清

易错04:集合中忽略端点值的取舍

易错09:忘记考虑最高项系数为0

易错05:新定义背景理解有误

【说明】试题或者解析中区间的概念说明:设小人是两个实数，而且。＜匕，我彳门规定:

定义名称符号

|x|i7<x<Z>)闭区间［则

{也<X</?)开区间

{x[a<>x<b\半闭半开区间

|x|r7<x<Z?)半开半闭区间(叫

【易错01：忽略互异性】

集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性

【典例】（24-25高一上・江苏扬州•期中）集合中的x不能取的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【针对训练】

1.（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）若3,/},〃的值为.

2.（24-25高一上•湖北•期中）己知集合4={1,2,3},8={1,也〃?+2},若2-〃?eA,则实数〃?=

【易错02：元素的属性不明】

研究集合问题，一定要理解集合的意义一抓住集合的代表元素.如：{/卜=«}—函数的定义域;

{小=«}—函数的值域；［（内）卜=五}—函数图象上的点集.

【典例】下列各组集合中表不同一集合的是（）

A.A={2,1},B={1,2}

B.A={（3,-2）},B={（_2,3）}

C.4={2,-3},B={（2,-3）}

D.4={（x,y）|x-y=l},fi={v|x-y=l}

【针对训练】

1.(24-25高一上•北京•期中)已知A={(x,y)lx+y=3},8={(x,y)|x-y=1},则AcB等于()

A.{2,1}B.{(1,2)}C.{(2,1))D.(2,1)

2.(24-25高一上•全国•课后作业)将集合M={(x,)，)|y=r2+8/cN,)，£N}用列举法表示，正确的是(

A.{0,1,2}

B.{4,7,8}

C.(0,8),(1,7),(2,4)

D.{(0,8),(1,7),(2,4)}

【易错03:：忽视空集】

遇到AC|B=0时，你是否注意至IJ“极端”情况：A=0或4=0：同样当时，你是否忘记A=0的

情形？要注意到0是任何集合的了集，是任何非空集合的真子集.

【典例】(24-25高一上•上海•阶段练习)已知集合

A={工|一1vxv5},8={x[a<xv2a_1},C={x|Y-5ca+6c/=0|.

(1)若A求实数“的取值范围；

(2)若AfiC=0,求实数。的取值范围.

【针对训练】

1.(24-25高一上•河南信阳•期中)已知集合A={x|-3W7},^={A-|/+1<x<2r-2}.

(1)在①疫4口RB,②AUB=A,③从口8=8三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：

当集合48满足________时，求实数f的取值范围.

(2)若4口8=0,求实数f的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【易错0%集合中忽略端点值的取舍】

对干与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定

数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“="用实心点表示，不含用空心圆圈表示.利用集合

之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题.

【典例】(23-24高一上.广东惠州.阶段练习)已知集合4={#-3vxv4}，B={x\4a<x<a+3},

(1)若a=-l,求4=(48);

(2)若集合4是集合A的真子集，求实数。的取值范围.

【针对训练】

1.(25-26高一上•全国•课后作业)己知全集。=1<,集合A="||x-2|22},8={;davx—l<2〃-2}.

⑴若(物4"求实数〃的取值范围；

(2)若集合B不是Q4的子集，求实数，的取值范围.

【易错05：背景理解有误】

以集合知识为背景的创新型试题，因对所给题目背景的理解不全面、不深刻造成解题失误或思路受阻.

【典例】（24-25高一上•重庆•阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从

小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如仙6,9｝的“交替和，，是9-6+4=7；而｛5｝的

交替和是5,则集合M=｛xeZ|-5Kx<4｝的所有非空子集的“交替和”的总和为（）

A.2048B.2024C.1024D.512

【针对训练】

1.（24-25高一上•河北邯郸・期中）定义非空数集M的“和睦数，”如下：将M中的元素按照递减的次序排列，

然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合｛123,4,5｝的“和睦数”是

5+4-3+2-1=7,｛2,4｝的“和性数”是4+2=6,｛1｝的“和睦数”是1.对于集合A=・eN,〃eN、其

所有非空子集的“和睦数”的总和为（）

A.82B.74C.12D.70

2.（24-25高一上•四川眉山・期中）已知集合A是实数集R的非空子集，若-则

称集合A为闭集合.

（1）若集合八,B均是闭集合.求证：Ac8是闭集合；

⑵若集合AB均是闭集合.集合AU4一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；

⑶若48均是闭集合，且A8都是R的真子集.求证：存在常数ceR,但CWADB.

【易错06：混淆条件关系】

关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结

论戌立的必要条件

【典例】（24-25高一上・贵州•期中）设“乃wR,则“。+8<6”是“。<3且。〈3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【针对训练】

1.（24-25高一上•河南新乡•阶段练习）“帆=1”是"〃"?+1=〃?+〃”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高一上・江苏泰州•期中）已知P：-2GW5,-2-2胆"42+〃?（〃>0）,若〃的充分不必要条

件是4,则实数，〃的取值范围为（）

A.m<3B.0<m<3

C.D.0</?/<2

【易错07：充分必要条件中忽视端点值的取舍】

在充分、必要条件求参问题上经常会转化成集合的包含关系，同样要注意端点值的取舍问题.

【典例】（24-25高一上•浙江•阶段练习）已知命题〃：关于%的方程F-2ax•+/+〃-1=0有实数根，命题心

m-\<a<m+\.

（1）若命题〃是真命题，求实数”的取值范围；

⑵若〃是4的必要不充分条件，求实数〃，的取值范围.

【针对训练】

1.（24-25高一上•全国♦课后作业）已知集合A={x|x<〃或x>〃+2},B={x\x>3}.

（1）若“xcA”是“xcB”成立的必要条件，求。的取值范围；

（2）若“xeA”是“xwA”成立的必要不充分条件，求。的取值范围；

⑶若心€«内是"xc/r成立的充分条件，求〃的取值范围；

（4）若“x£«A”是“x68”成立的充分不必要条件，求。的取值范围.

【易错08：命题的否定理解不清】

【典例】（24-25高一上•山东.阶段练习）“丞/©R,/。）=/+加为偶函数，，的否定是（）

A.Vrz€R,+加为奇函数B.DaeR,J'（x）=f+加不是偶函数

C.3«eR,=/+为奇函数口.3aeR,/3)=/+奴?不是偶函数

【针对训练】

1.（24-25高一上•安徽•阶段练习）已知命题p：于eN,V^eN，则它的否定为（）

A.3zeN,Vr+lB.4史N,J>+1-N

C.炉KND.

2.（24-25高一上•河北沧州•阶段练习）命题“Vx>R,最eN*,使得〃之犬”的否定形式是（）

A.VxeRJ〃eN",使得〃B.V^eR,V/?eN",使得〃

x

C.3xeR,3//€N,使得〃D.3x0GR,V/zGN*,使得〃

【易错09：忘汜考虑最高项系数为0】

易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论

【典例】（24-25高一下•湖北黄石•阶段练习）已知集合人=何加一10%一5=0｝中至多有一个元素，则。的

取值范围是.

【针对训练】

1.（25-26高一上•全国•课后作业）已知集合人=卜如2_]卜2+（4+以+]=0｝中只有一个元素，则实数"的

所有可能值的乘积为（）

A.—B.-1C.1D.二

33

易错训练

一、单选题

1.（24-25高一上•重庆•期中）已知命题P：Vx>l,犬+21_3>0，则IP为（）

A.Bx>1,x2+2x-3<0B.3x<1,x2+2.v-3<0

C.Vx>1,x2+2x-3<0D.3x>l,x2+2x-3>0

2.（24-25高一上•辽宁•阶段练习）已知命题P'xwR,-^->0,则"为（）

x-i

A.VxeR»A<0B.3XGR,'<0

x-\x-\

YX

C.VxeR,——40或x-l=OD.HXGR,——40或x-l=0

x-\x-\

3.（24-25高一上•上海•期中）已知x/为非零实数，代数式六+舌+⑷的值所组成的集合是M,则下列

\x\3岁

判断正确的是（）

A.0GMB.—1£MC.2e;WD.1eM

4.（24-25高三下•云南昭通•开学考试）已知集合4={（%#|x,），£N”,xNy},8={（x,），）|x+y=6},则4cB

中元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

5.（24-25高一上•四川自贡•阶段练习）己知集合片=卜k=3，+1]£2},8={xk=3-2,/eZ}则“xeA”是

“工三8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（24-25高一上.吉林长春.期末）已知〃:丁―41+3=0©:-m，若P是4的充分条件，则实数小

的取值范围为（）

A.〃？>[B.m>-C.m>-2D.m>-2

22

7.（24-25高一上•江西阶段练习〕对于实数x,规定田表示不大于x的最大整数，如[兀]=3,[-2.1]=-3,

那么方程[幻2-[幻=0成立的一个充分不必要条件是（）

A.XG[0,2]B.XG[-1.1]C.XG（-1,1）D.XG（0,2）

8.（24-25高一上•北京・期中）用Card（A）表示非空集合A中的元素的个数，定义A*8=|Card（A）-Card（8）|,

若4={-1/},八卜弧2+3现八公+2）=。},若A*8=l,设实数〃的所有可能取值构成集合S.则

Card（5）=（）

A.6B.5C.4D.3

二、解答题

9.（24-25高一•上海•课堂例题）含有三个实数的集合可表示为卜，*1卜也可表示为忖.〃+40},求〃的+/产6

的值.

10.（24-25高一上•北京•期中）设全集U=R,集合4=32""},集合8={巾〃。。一2}.

（1）若对任意xwB,都有求实数〃的取值范围；

⑵若“xwA”是“xw的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

11.（24-25高一上•全国•课后作业）已知集合A是由关于x的方程ad+2x+l=0（〃eR）的实数根组成的集

合.

⑴节4中有两个元素时，求实数。的取值范围：

⑵当4中没有元素时，求实数all勺取值范围；

（3）当A中有且仅有一个元素时，求实数。的值，并求出此元素.

12.（24-25高一上,全国•课后作业）已知集合4="|〃7c<2〃"，4=5或x>4}.

⑴当〃?=3时，求

⑵在①4之备8；②AD8=0；③AD（48）=A这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若

,求实数〃，的取值范围.

13.（25-26高一上•全国•课后作业）（1）已知集合4={川-2"45},B={x\fn+\<x<2m-\],若BA,

求实数，〃的取值范围.

（2）若（1）中条件"=5|-2，g5}"改为“4=3-2<%<5}“，其他条件不变，求实数机的取值范围.

14.（24-25高一上•四川•期中）对给定的非空集合力=卜2…,〃}（〃eN・），定义集合

A+=kk=a+〃1a£A,〃'wN*},/T={x|x=a-〃',awA/'wN1，当A+C/TH0时，称A具有姊妹性质.

（1）当〃=1,〃，=]时，判断集合A是否具有姊妹性质，并说明理由；

⑵探讨集合A具有姊妹性质时〃与〃，之间的关系；

（3）探究A+cA-、A+UA-的子集的个数.

第一章集合与常用逻辑用语

清单01集合的含义与表示

1、元素

把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：a、b、。…）

2、集合

把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：48、C…）

3、元素的特征

确定性、互异性、无序性.

求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.

4、元素与集合的关系

①属于：CIGA；②不属于：a^A.

5、常用数集

①自然数集N（包含0和正整数）②正整数集N*或N+

③整数集Z④有理数集Q⑤实数集R

6、集合的分类

①有限集：②无限集；③空集.

7、集合的表示方法

①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用｛｝括起来.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素工所组成的集合表示为｛戈EA|P（X）｝.

例如｛X£Z|1（）<X<20｝、｛x\x=2k+\,keZ｝

③图示法（Veen图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.

8、常见集合的表示方法

①方程的解集：｛x|2x+3=0）

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函数自变量构成的集合：｛H），=2X+3｝

④函数因变量构成的集合：｛y[y=2x+3｝

⑤函数图象上的点构成的集合：｛（X,）儿，=2x+3｝

⑥方程组的解・：•（­）或｛（11）｝

⑦奇数集：{x|x=2〃+l,〃£Z}

⑧偶数集：{X|X=2〃,〃£Z}

注：做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量…），以及元素的范围（JVWN、N\

Z、R）.

清单02集合间的基本关系

1、子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.

记作：AqB或82A读作：A包含于3或8包含A

①任何一个集合是它本身的子集.

②若A=且81则AuC.

2、集合相等

若A^B，且BqA,则A=3.

①若A=8,且8=。，则4=C.

②欲证A=8,只需证A=且BqA.

3、真子集

如果集合4是集合B的子集，并3B中至少有一个元素不属于A.

记作：A08或5VA读作：A真包含于8或8真包含A

①若A（jB,且BUC,则AUC.

②若AqB,且AwB,则AUD.

③q和。用于集合和集合之间，w和史用于元素和集合之间.

4、空集

不含任何元素的集合.符号：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解决有关4口3=0、A=3等问题时，一定要先考虑0的情况，以防漏解.

5、子集个数与元素个数的关系

设有限集合A有〃5wN*)个元素，则其子集个数是2”,真子集个数是2"-1,非空子集个数是2"-1,非

空真子集个数是2〃-2.

清单03集合的基本运算

1、交集

属于集合A且属于集合8.(A和B的公共部分)

记作：8读作：A交B

含义：=AMXG

①,4c8=8口4；②AnA=A；③Ap|0=0riA=0；

④(4口或=4；⑤(人口或=6；⑥人73=4门8=4.

2、并集

属于集合A或属于集合8.(包含A和8的所有元素)

记作：A\JB读作：A并B

含义：AU8={x|x£A,加£8}

①Alj3=8UA；②AljA=A；③A|J0=0UA=A：

④AQ(AU8)；⑤8q(A|J8)；@B<^>A\JB=B.

3、全集

研究问题中涉及的所有元素.符号：U

4、补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合.符号：务人

含义：A=[x\xGt/,BJCA}

①乐AqU；②”,U=0；③q,0=U；④1uA)=A；

⑤4U@4)=U；⑥An&A)=0；

清单05充分条件与必要条件

1、命题

可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.

表示：“若〃，则9"、“如果〃，那么久二其中〃为命题的条件U为命题的结论.

2、充分条件与必要条件

①“若〃，则夕”是真命题，即〃,则〃是q的充分条件，g是〃的必要条件；

②“若P，则4”是假命题，即〃K心则〃不是q的充分条件，夕不是〃的必要条件.

判断充分条件、必要条件的三种方法：

①定义法:直接判断“若〃，则q”以及“若q,则〃”

的真假；

②集合法：利用集合的包含关系判断；

③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若乩=〃2，P2np3，则

3、充要条件

如果“若p,则夕”和,•若q,则,都是真命题,即既有p=q,又有夕=〃，则可记作「。夕,这时称〃

是q的充分必要条件，简称充要条件.

充分条件、必要条件的判断:

①p=q旦qNp〃是67的充分不必要条件

②pRq且q=p〃是°的必要不充分条件

③poq〃是q的充要条件

④pKq且qKpp是q的既不充分也不必要条件

4、全称量词

短语“所有的'"任意一个”通常叫做全称量词.符号：V

含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

“对M中任意一个x,p(x)成立”用符号记为：VXGM,p(x)

5、存在量词

短语“存在一个”“至少有一个“通常叫做存在量词.符号：3

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符号记为：BXEM，P(X)

6、全称量词命题和存在量词命题的否定

①全称量词命题VxeM,p(x)的否定为：BxeM,-1P(x).

②存在量词命题的否定为：VxwM,「p(x).

①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.

②全称量词命题的否定是存在量词命题；

存在量词命题的否定是全称量词命题.

③一个命题和它的否定，只能是一真一假.

易错总结

易错01:忽略互异性

易错06:混淆条件关系

易错02:元素的属性不明

易错07:充分必要条件中

集合与常用忽视端点值的取舍

易错03:忽视空集

逻辑用语

易错08:命题的否定理解不清

易错04:集合中忽略端点值的取舍

易错09:忘记考虑最高项系数为0

易错05:新定义背景理解有误

【说明】试题或者解析中区间的概念说明:设小人是两个实数，而且。＜匕，我彳门规定:

定义名称符号

|x|i7<x<Z>)闭区间［则

{也<X</?)开区间

{x[a<>x<b\半闭半开区间

|x|r7<x<Z?)半开半闭区间(叫

【易错01：忽略互异性】

集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性

【典例】（24-25高一上・江苏扬州•期中）集合中的x不能取的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析1根据集合的互异性，即可求解.

【详解】由集合的互异性可知，大工寸一1，或彳。2,或f_1工2,

得中生叵，或工工2,或…5

2

故选:C

【针对训练】

1.（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）若〃+2e（l,3,的，。的值为.

【答案】2

【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.

【详解】因为a+2e{l,3,/},

所以〃+2=1或3或/,

当0+2=1时，a=-i,此时集合中元素有1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当。+2=3时，a=\,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当a12=1时，解得々=2或。=-1（舍去），此时集合中元素为1,3/,符合题意.

故答案为：2

2.（24-25高一上•湖北•期中）已知集合4={1,2,3},3={1,〃?,m+2},若2-〃则实数〃?

【答案】0

【分析】由己知集合A的元素，分类讨论求参数，〃值，再根据集合的性质确定，〃的值.

【详解】若2-6=1,则m=1,此时集合5违背互异性，不符合要求；

若2-加=2,则加=0,此时8={1。2},符合要求；

若2-机=3,则e=-1,此时集合4违背互异性，不符合要求；

综上所述，/〃=0.

故答案为：0.

【易错02：元素的属性不明】

研究集合问题，一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素.如：11卜二五}一函数的定义域;

[y\y=«}—函数的值域；{(%))y=——函数图象上的点集.

【典例】下列各组集合中表示同一集合的是()

A.A={2,1},B={1,2}

B.A={(3「2)},A={(_2,3)}

C.4={2,-3),B={(2,-3)}

D.A={Gt,y)\x-y=\},B={v|x-y=1}

【答案】A

【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.

【详解】对于A中，集合A={2,1}与集合4={1,2}中的元素完全相同，所以A=8,所以A正确；

对于B中，集合A={(3,-2)}表示由点(3,-2)作为元素，构成的单元素集合，

集合8={(-2,3)}表示由点(-2,3)作为元素，构成的单元素集合，

所以集合A与集合3不相等，所以B不符合题意；

对于C中，集合A={2,-3}表示由两个元素构成的数集；

集合6={(2,-3)}表示由点(2,-3)作为元素，构成的单元素数集，

所以集合A与集合3不相等，所以B不符合题意；

对于D中,集合A={(x,y)|x-)，=1}表示直线x-)，=l的点作为兀素构成的无限点集，

集合3={)，|x-)，=l}我小直线x-y=l的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，

所以集合A与集合B不相等，所以B不符合题意；

故选：A.

【针对训练】

1.(24-25高一上•北京•期中)已知A={(x,y)lx+y=3},8={(x,y)|x-y=1},则Ac8等于()

A.{2,1}B.{(1,2)}C.{(2,1)}D.(2J)

【答案】C

【分析】根据集合中的元素为点集，所以利用方程组来求点集即可.

x+y=3(x=2

【详解】由­」解得,

因为A={(x,y)|x+y=3},8={(x,y)|x-y=l},

所以Ac8={(2,l)},

故选：C.

2.(24-25高一上.全国•课后作业)将集合M={(x,y),=r2+8/£N,ywN}用列举法表示，正确的是()

A.{0,1,2)

B.{4,7,8}

C.(0,8),(1,7),(2,4)

D.{(。,8卜(1.7),(2,4)}

【答案】D

【分析】计算出当x=0」,2时，》的值，判断是否满足xwN,yeN即可判断.

［详解］:M={(x,y)\y=-x2+8,xeN,JGN},

当x=0时，y=8,则(O,8)tM；

当x=l时，＞'=7,则(l,7)wM；

当x=2时,y=4,则(2,4)eM；

当工=3时，＞=-1,则(3,一l)wM：

L.9

.•.M={(O.8).(1.7).(2.4)},

故选：D.

【易错03:：忽视空集】

遇到4仆8=0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或8=0；同样当时，你是否忘记4=0的

情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【典例】(24-25高一上•上海•阶段练习)已知集合

4={x|-l<x<5},={x|A<x<-1},C=x2-5ax+6a2=0|.

(1)若求实数。的取值范围；

⑵若4口。=0，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。43

-5TI

(2)a>-I^a<——

22

【分析】(I)需要分3为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数〃的取值范围;

(2)先求解集合C,再根据AcC=0来确定实数。的取值范围.

【详解】(1)

A={x|-1<x<5；,B=[x\a<x<2a-\]

4uA,若8=0=aN勿—1=。41

2a-\>a

若a>-\nae(l,3]

2a-[<5

综上：〃K3;

(2)

A={x|-1<x<5},C={x|(x-24f)(x-3tz)=0]

AflC=0,

若a>0,则2a

2

若a<0,则2a<-\=>a<--

2

若a=0,不符

综上：或〃

22

【针对训练】

1.(24-25高一上•河南信阳・期中)已知集合从=卜|一3一<7},B={x|/+l<x<2r-2}.

(1)在①疫4=RB，②AU8=A，③AC|8=8三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题:

当集合满足时，求实数/的取值范围.

(2)若4口8=0,求实数，的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】(1)(-85

(2)y,3)=(6,”)

【分析】(1)选择①都有B=A,分类讨论集合8是否为空集，限定出不等式范围即可得实数f的取

值范围；

(2)分类讨论集合B是否为空集，得出不等关系即可得实数f的取值范围：

【详解】(1)选择①，由赞展可得BqA,

当B=0时，r+l>2/-2,解得f<3

r+l>-3

当Bw0时，j2/-2<7,解得SWT,.

r+l<2r-2

(9

综上，实数/的取值范围为-8弓.

选择②，由AU8=A可得

当B=0时，r+l>2/-2,解得f<3

7+12-3

9

当时，j2r-2<7,解得3WY5.

f+142f-2

(9

综上，实数/的取值范围为-8,5.

选择③，由人。3=8可得

当B=0时，t+\>2t-2,解得f<3；

/+1>-3

9

当R*0H寸，-12r-2<7,解得34"彳，

/+1<2/-2

(9'

综匕实数/的取值范围为卜心5.

(2)当6=0时，由/+1>为一2：解得/<3,符合题意

2/-2<-37+1>7

当BW0时,或《解得f>6；

r+l<2r-2r+l<2r-2

综上，实数/的取值范围为(-8,3)u(6,y).

【易错04：集合中忽略端点值的取舍】

对于与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定

数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=''用空心圆圈表示.利用集合

之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题.

【典例】(23-24高一上•广东惠州•阶段练习)已知集合A={x|-3<x<4}，B={x\4a<x<a+3},

(1)若〃=一1,求Ac/S,Au(aB);

(2)若集合8是集合A的真子集，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴ACB=(-3,2),45刷=(9,孙(-3,问・

Q)卜：，+8).

【分析】(1)求出集合3,然后结合集合运算可得；

(2)根据包含关系，分集合8是否为空集讨论即可得解

【详解】(1)若a=-l,4=(-4,2),=

所以4c8=(-3,2),A“Q8)=(e,Y]u(-3,-HX>).

(2)因为区是集合A的真子集，

①当3=0时，此时4aNa+3,即aNl；

②当4/0时，此时4ava+3,却。<1,

|—344。3

则且两个不等式不能同时取等，解得-白〃<1,

|«+3<44

综上，实数。的取值范围为一[，〜0).

【针对训练】

1.(25-26高一上•全国•课后作业)已知全集。=^^A={x||x-2|>2),B={^|a<x-\<2a-2}.

⑴若(物4"求实数〃的取值范围；

(2)若集合B不是Q4的子集，求实数。的取值范围.

【答案】（1）{。1。42或。23}.

■♦

（2）cia>-

•乙一

【分析】（1）理解补集的定义，并找到补集，推出BqA,注意分析B时分类讨论，（2）找到B=%A的取值范

围，然后取补集.

【详解】（1）由题意，得集合A={HxWO或xN4},B={M〃+l<x<2a-l}.

因为（翻）工（器）,所以B=A.

当B=0,即也即aW2时，符合题意；

当BH0,即〃>2时，由BqA,得a+124或2a-lW0,解得

综上，实数a的取值范围是{。1。42或。23}.

（2）由（1）知》A={10vxv4},若B/%A,

当B=0,即。W2时，符合题意;

a+l>0,

当BW0时，需满足2。-144,解得

c2

a>2,

所以Bq«jA时，«<-.

2

所以当集合B不是4A的子集时，«>|,即实数〃的取值范围歪

【易错05：背景理解有误】

以集合知识为背景的创新型试题，因对所给题目背景的理解不全面、不深刻造成解题失误或思路受阻.

【典例】（24-25高一上•重庆•阶段练习）含有有限个元素的数集，定义其“交替和''如下：把集合中的数按从

小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7：而{5}的

交替和是5,则集合M={xeZ-5KXK4}的所有非空子集的“交替和”的总和为（）

A.2048B.2024C.1024D.512

【答案】A

【分析】将集合加的子集两两配对（AB）：使4wA,4cB且8。{4}=人，从而有集合A与集合8的交替和

之和为4,再利用符合条件的集合对有2。个，即可求解.

【详解】由题知M={-5,-4,-3,TT（U2,3,4},

将集合M的子集两两配对（A8）：使4£4,4任4且月。{4}=4则符合条件的集合对有2。个,

又由题设定义有集合A与集合"的交替和之和为4,

所以交替和的总和为4x29=2"=2048.

故选:A.

【针对训练】

1.（24-25高一上•河北邯单B•期中）定义非空数集M的“和睦数””如下：将M中的元素按照递减的次序排列，

然后将笫一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合{123,4,5}的“和睦数”是

5+4-3+27=7,{2,4}的“和度数”是4+2=6,{1}的“和度数”是1.对于集合4=，〃字WN,〃WN},其

所有非空子集的“和陛数''的总和为（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【分析】分别列举子集M,根据“和睦数”的定义,即可求解每种情况的“和睦数”,相加即可求解.

【详解】A={〃WeN,〃cN»={l,2,3,6},非空子集有2-1=15个.

当子集团为单元素集{1},{2},⑶，{6}时，“和睡数”分别为1,2,3,6,和为12；

当子集M为双元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}时，

“和睦数”分别为3,4,7,5,8,9,和为36；

当子集M为三元素集{123}.{1.2.6},{1.3.6},{2.3.6}时.

“和睦数”分别为4,7,8,7,和为26；

当子集M为四元素集{123,6}时,“和睦数”为6+3-2+1=8.

故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82.

故选:A

2.（24-25高一上•四川眉山•期中）己知集合A是实数集R的非空子集，若Vx,yeA,x+ywA,x-yeA,则

称集合A为闭集合.

⑴若集合48均是闭集合.求证：Ac/3是闭集合；

⑵若集合A8均是闭集合.集合AU3一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；

⑶若A4均是闭集合，且A3都是R的真子集.求证：存在常数cwR,但cwAub.

【答案】（1）证明见解析

⑵不一定，举例见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；

（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断；

（3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明.

【详解】（1）X,）*AC8且AI为闭集知：.",'八成立，

x-yeA[x-yeB

x+yGAc3

故而{AD，从而命题成立.

x-yeAoB

（2）取4={Xx=2A,AwZ},8=x=3A,AwZ},

2+3=5£ADB知AUB不一定是闭集合.

（3）若Aq5或BqA,且AB均是R的真子集，命题显然成立，

故不妨设存在xwR满足’〃，且存在满足，D,

x^B[yeB

取c=x+y知c=x+y任AuB,否则y=x+y—xeA

或者x=而得出矛盾，故命题成立.

【易错06：混淆条件关系】

关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结

论成立的必要条件

【典例】（24-25高一上・贵州•期中）设a/sR,则"a+"<6”是“〃<3且〃〈3”的（）