高考数学一轮复习（新高考版）等比数列

§6.3等比数列

【考试要求】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式.3.了解等比数

列与指数函数的关系.

■落实主干知识

【知识梳理】

I.等比数列有关的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母g(qWO)表示.

(2)等比中项：如果在〃与h中间插入一个数G,使小G,〃成等比数列,那么G叫做“与人

的等比中项，此时,G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(1)若等比数列｛斯｝的首项为0，公比是“，则其通项公式为。“=3^2.

(2)等比数列通项公式的推广：如=«〃叱

(3)等比数列的前几项和公式:当“=1时，S〃=〃ai;当时，S产"'(二？若詈

3.等比数列性质

(1)若机+〃=〃+g,则4史电=&&，其中〃?，〃，p,特别地，若2秒=机+〃，则旬@1=

扇，其中〃?，n,如WN".

(2)勰，四+2”，…仍是等比数列，公比为©匕

⑶若数列｛m｝，｛儿｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛斯也｝，｛〃而被〃｝和｛优｝也是等比

数列S，〃，夕#0).

(4)等比数列｛曲｝的前〃项和为S”，则S“，Sinf,应二龌仍成等比数列，其公比为/.(〃为

偶数且9=-1除外)

0乂)，a\<0,

⑸若,或0<然］则等比数列｛仇｝递遒.

67|>0,41<0,

若或《则等比数列9〃｝递减.

()<4<1夕>1»

【常用结论】

1.等比数列｛小｝的通项公式可以写成小=«〃，这里cWO,q#O.

2.等比数列｛m｝的前〃项和S“可以写成S“=A/-A(AWO,qWl,O).

3.数列｛〃〃｝是等比数列，S〃是其前〃项和.

⑴若0.他•…“=T"，则7”，孕，要，…成等比数列.

⑵若数列｛的｝的项数为2〃，则券=%若项数为2〃+1,则与&="，或丁%—=%

3奇3愕3南一。〃

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴三个数出b,c成等比数列的充要条件是82=ac.(X)

(2)当公比户1时，等比数列｛.〃｝为递增数列.(X)

(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(V)

(4)数列｛小｝为等比数列，则S4,58-54,S12-S8成等比救列.(X)

【教材改编题】

1.设a,b,c,d是非零实数，则7以=反”是％,b,c,d成等比数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若a,b,c,d成等比数列，则4=反，

数列-1,—1,1,1.满足一IX1=-1X1,但数列-1,一1,1」不是等比数列，

即“ad=bc”是“小仇c,d成等比数列”的必要不充分条件.

2.设等比数列｛如｝的前〃项和为S”.若S2=3,S4=15,则S6等于()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析根据题意知，等比数列｛如｝的公比不是一1.由等比数列的性质，得(S4—S2)2=SMS6一

S4),即122=3X(S6T5),解得S6=63.

3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13,积等于27,则这三个数为.

答案1,3,9或9,3,1

解析设这三个数为小“，uch

夕=13,4=3,

解得（1

则或'

=

吟的=27,^3

・•・这三个数为1,3,9或9,3,1.

-探究核心题型

题型一等比数列基本量的运算

例1⑴（2022・全国乙卷）已知等比数列｛〃”｝的前3项和为168,s—的=42,则俏等于（）

A.14B.12C.6D.3

答案D

解析方法一设等比数列｛6｝的公比为小易知

。1+。2+。3=168,

由题意可得

。2一45=42,

0=96,

叩卜|（1+4+/）=168,解得（1

"Lq（l一寸）=42,

q=5.

所以46=3炉=3,故选D.

方法二设等比数列｛m｝的公比为夕,

53=168,

易知qWl.由题意可得:

〃2-〃5=42,

0（]一1）…[«1=96,

即Ji—q解得J

001—q3）=42,lq=y

所以〃6=。同5=3,故选D.

（2）（2023・桂林模拟）朱载埴（1536〜1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,

他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把

一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十

二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是

最初那个音的2倍.设第二个音的频率为力，第八个音的频率为力.贝哈等于（）

A.y/2B.y/2C.SD.4s

答案A

解析设第一个音的频率为。，相邻两个音之间的频率之比为夕，那么%=，"口,

1

根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得03=2〃=四巴即q=2日，

所以，=詈=46=也.

./I«2v

思维升华等比数列基本量的运算的解题第略

⑴等比数列中有五个量a,n,q,斯，S„,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃

而解.

⑵解方程组时常常利用“作商”消元法.

（3）运用等比数列的前八项和公式时，一定要讨论公比4=1的情形，否则会漏解或增解.

跟踪训练1（1）设正项等比数列｛斯｝的前〃项和为工，若S2=3,54=15,则公比4等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

解析*.*S2=3,5'4=15,二夕刊,

m（l-〃与

=3,①

l-q

由题意，得，

s（l-右）

=15,②

T—q

②C

①得/=4,又q>0,:・q=2.

⑵在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的II个

数之和为M,插入11个数后这13个数之和为M则依此规则，下列说法错误的是（）

A.插入的第8个数为的

B.插入的第5个数是插入的第1个数的隼倍

C.M>3

D.N<1

答案D

解析设该等比数列为他”｝,公比为夕，

则0=1,03=2,

插入的第8个数为的，故A正确；

插入的第5个数为（16=请,插入的第1个数为敢=。必所以詈=*="=率，故B正确;

s（i—，/"）皿—W）.1

M=;==-1-----r,

r一尊i-2^

要证M>3,即证一1——!—j->3,

1-2*2

即证一—>4,

2,2-1

s—

即证市>2整，

即证⑨2>2,

而©12>e)6>2成立,故c正确;

N=M+3.

6

因为

5|2>(1.4)6>(1.9)3>2,

所以1>2巴

所以一p!—>5,

2'2-1

所以一1一一二>4,即必>4,

1-211

所以N=M+3>7,故D错误.

题型二等比数列的判定与证明

例2已知数列1为｝的各项均为正数，记5'〃为他“｝的前”项和，从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①数列｛斯｝是等比数列：②数列｛S〃+s｝是等比数列：③&=2而

注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解选①②作为条件证明③：

1=1

设Sn+ai=A/'(AWO),fl]SnAcf'—a\,

当〃=1时，a\=S\=A—a\y所以A=2m；

't

当时，an=Sn-Sn-\=Ac]

因为｛为｝是等比数列，所以智力=去解得4=2,所以公=2。1.

选①③作为条件证明②：

因为。2=20,｛〃”｝是等比数列，所以公比q=2,

所以S〃=与三/=0(2"-1),即S“+s=m2",

因为哈詈=2,所以｛S“+m｝是等比数列.

选②③作为条件证明①：

设S〃+ai=A/T(AWO),则S〃=A/r—m,

当〃=1时，a\=S\=A—a\,所以A=2m；

当〃22时，an=S„-Sn-x=Acf~\q-\^

因为。2=2。］,所以A(g—1)=A,解得乡=2,

所以当〃22时，%=5“一5,1=4/-2(4一］)=42厂2=4-2”，

又因为:一=2(〃22),且42=2.1,

所以｛斯｝为等比数列.

思维升华等比数列的三种常用判定方法

⑴定义法:若等=q(g为非零常数,〃WN*)或W=g(q为非零常数且八22,(WN*),则｛小｝

ClnCln-\

是等比数列.

(2)等比中项法：若数列｛&,｝中，且足+|=0f〃”+2(〃£N*),则｛〃“｝是等比数列.

(3)前〃项和公式法：若数列｛斯｝的前〃项和5”="/一女(上为常数且�,9#0,1),则｛〃”)是

等比数列.

跟踪训练2在数列｛〃“｝中,届+i+2a〃+i=aG+2+an+ar+2，且见=2,a2=5.

(1)证明：数列｛斯+1)是等比数列；

(2)求数列｛诙｝的前〃项和S”.

(1)证明因为足+［+2为+|=。,小+2+。”+4"+2，

所以(4»+1+1)2=(d+1)(%+2+1),

了产"+|+1斯+2+1

“"”+1期+|+「

因为3=2,42=5,所以“1+1=3,s+l=6,

所以铝=2,

41+I

所以数列｛为+1｝是以3为首项，2为公比的等比数列.

(2)解由⑴知,仇+1=32厂|,所以小=32E一1,

3(1—2")

所以y=

1-2

题型三等比数列的性质

例3(1)(2023・黄山模拟)在等比数列｛〃〃｝中，m，03是方程f—13x+9=0的两根，则丝詈的

值为()

A/B.3C.ABD.±3

答案B

解析Vai,。13是方程『一13工+9=0的两根，...ai+ai3=13,aM3=9,

/.6Zl>0,«|3>0,4「4|3=。2,412=4彳=9,

又数列｛〃,｝为等比数列.竽比数列奇数项符号相同,可得,7=3.

(2)已知正项等比数列｛a〃｝的前〃项和为S”且58—254=6,则49+00+01+02的最小值为

答案24

解析由题意可得§8—2Sq=6,可得Sg—$4=54+6,

由等比数列的性质可得S4,S8—S4,$2-58成等比数列，

2

则S4(S12-58)=(S8-54),

综上可得49+00+01+〃i2=Si2—§8=(、4s6)=S4+竽+12224,

当且仅当S4=6时等号成立.综上可得，的+00+01+02的最小值为24.

思维升华(I)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，

三是前〃项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问

题的突破口.

(2)巧用性质，减少运算量,在解题中非常重要.

跟踪训练3(1)(2023•六安模拟)在等比数列｛斯｝中,若田+俏=16,的+内=24,则内+。8

等于()

A.40B.36C.54D.81

答案C

解析在等比数列｛〃”｝中，。1+。2,的+防力+俏，。7+。8成等比数列,

〃1+=16.(IT,+"4=24,〃7+M=(,3+24X(而)2=54.

(2)等比数列m”｝共有奇数个项，所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和5代=一126,末项是

192,则首项勿等于()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析・・&=192,

.__126_~126_

••kSL%=255-192=63=-2,

一a\—a„q

又5=-；-------£=5<+5«,

一q

^671-192X(-2)

即—-(_；)=255+(—126)，

解得0=3.

(3)在等比数列｛〃”｝中，4”>。，OI+S+GH----1~48=4,a\U2。8=16,则----的值

为（)

A.2B.4C.8D.16

答案A

解析'."is…a8=16,

41。8=。247—二44。5=2,

•日+9…+幺蹑+3+0+占+d+2+质+3

〃+。8)+|(。2+S)+*的+%)+；(。4+45)

2T---卜〃8)=2.

课时精练

4基础保分练

1.（2023・岳阳模拟）已知等比数列｛斯｝满足45-43=8,46-01=24,则43等于（）

A.1B.-1C.3D.-3

答案A

解析设4"=41/'I'.,比-43=8,—44=24,

aq—aq"=8,

•彳

44一“1炉=24,

0=3,

*43=。4=肛32=1.

解得1

忤=3,

2.数列｛知｝中，。|=2,an^n=amanf若m+w2T---卜公+10=2匕一2‘，则二等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析令/〃=1,则由即+川=。〃同〃，得〃〃+1=〃］。”，即二一0=2,所以数列｛“〃｝是首项为2,

公比为2的等比数列,所以m=2",所以像+i+a*+2T---卜a«+io=2"3i+a2T----卜。向=

x2X12*

^|l^^=2A+lX(210-l)=2l5-25=*25X(2l0-l),解得女=4.

3.若等比数列｛为｝中的的，42019是方程『-4八—+3=0的两个根，则嗓3。1+晚3俏+唯3。3

+…+logM2023等于（)

2(P49023

-B.1011C.^-^D.1012

答案c

解析由题意得〃5〃2019=3,

根据等比数列性质知，

042023=4242022=，，，=«101l«l013=«1012al012=3，

于是41012=3"

则l0g3〃I+10g3«2+10g343H---F10g3〃2023

=10g3（ai42的…42023）

=晦（3.孑）=等.

4.（2022・日照模拟）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共

7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优

美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列｛小｝,则10g2（〃33）的值为（）

A.16B.12C.10D.8

答案B

解析由题意，得他〃｝是以2为公比的等比数列，

A57=-?~?-=1OI6,127m=l016,解得山=8,

1—2

24

/.log2（673-fl5）=log2（8X2X8X2）=12.

5.（多选）已知｛册｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S”，且｛£｝是等差数列，则下

列结论止确的是（）

A.｛a”+S〃｝是等差数列

B.｛小5｝是等比数列

C.｛届｝是等差数列

D.榭是等比数列

答案ACD

解析由｛S”｝是等差数列，可得2（。］I。2）=口1卜卜a21a3,

•・•｛%｝是各项均为正数的等比数列，..“2=024,可得4=1.，%=0>0,

・・・小+*=（〃+1）勿，，数列｛为+SJ是等差数列，因此A正确；

届=届，・•.｛届｝是常数列，为等差数列，因此C正确；

岬=0>0,・••榔是等比数列，因此D正确；

4s尸〃而，不是等比数列，因此B不正确.

6.已知数列｛⑶｝是等比数列，若俏=1，〃5=W，则“im+a2a3~1----FaM"+i（〃£N"）的最小值

为（）

O

AqB.1C.2D.3

答案C

解析由已知得数列他”）的公比满足万案4

解得9君・・必=2,故数列｛斯斯+i｝是首项为2,公比为器=9的等比数列，

[1-®]

・・0。2+。2。3+…+。”。“+1=j

1-T

哥-朗寺,故选C.

7.已知S”是等比数列｛“〃｝的前n项和，且6＞（）,Si+ai=2,Sy+a3=22,则公比q=,

S5+的=.

答案3202

7

解析由题意得2m=2,.•.0=1.由4]+4q+24iq2=22,得9=3或^二一不〈a”〉。，

71X（1—3§）

=一]不符合题意，故q=3,：.S5+的=—旨7广+1义34=202.

8.已知数列伍〃｝为等比数列，若数歹|｛3"一小｝也是等比数列，则数列｛〃”）的通项公式可以为

.（写出一个即可）

答案如=3"」（答案不唯一）

232

解析设等比数列（〃〃｝的公比为小令析=3"一%,则析=3—m,bi=3—a\qtb3=3-a\q,

是等比数列，，虎=5儿，即（3?一。闯）2=（3—41）（3；—〃炉），可化为/一6夕+9=0,解

得4=3,取幻=1,则诙=3"一1.（注:4的值可取任意非零实数）.

9.等比数列｛m｝中，“1=1,〃5=4〃3.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）记S为｛〃“｝的前〃项和,若S〃=63,求利

解（1）设数列｛6｝的公比为4，由题设得知=4"」

由已知得44=4/，解得9=0（舍去），学=-2或4=2.

故如=（一2尸或a〃=2"r（〃£N）.

⑵若如=（一2）门，则S“=—『■・

由Sm=63得（-2产=-188,此方程没有正整数解.

若厮=2"-1则S“=2-L

由S〃i=63得2m=64,解得加=6.综上，〃?=6.

10.S”为等比数列｛3｝的前〃项和，已知出=9〃2,53=13,且公比q>0.

⑴求知及S”；

（2）是否存在常数九使得数列｛S〃+2｝是等比数列？若存在，求出入的值；若不存在，请说明

理由.

「夕3=9々⑶，

1小(1一/)“初俎_二

解（1）由题意可得]_q—13,解得0=1,q=3,

、4>0,

1—3“3”—1

所以斯=3,-3==丁・

（2）假设存在常数,使得数列｛S”+2｝是等比数列.

因为$+4=2+1,S2+/l=A+4,S3+/l=/l+13,

S“+i+]

所以(7+4)2=(为+1)(2+13),解得此时Sn+J=：X3",则-----『二3.

&+5

故存在常数使得数列,+3是等比数列.

过综合提升练

11.（多选）在数列｛〃“｝中，若也匚"=忒攵为常数），则称｛〃”｝为“等差比数列”，

an+\~an

下列关于“等差比数列”的判断正确的是（）

A.2不可能为0

B.等差数列一定是“等差比数列”

C.等比数列一定是“等差比数列”

D.”等差比数列”中可以有无数项为0

答案AD

解析对于A,4不可能为0,正确；

对于B,当。”=1时，｛小｝为等差数列，但不是“等差比数列“，错误：

对于C,当等比数列的公比4=1时，%+］一%=0,分式无意义，所以｛斯｝不是“等差比数列”

错误；

对于D,数列0,1,0,1,01，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0,正确.

12.记S”为等比数列｛m｝的前〃项和，已知ai=8,内=-1,则数列｛S〃｝（）

A.有最人项，有最小项

B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项

D.无最大项，无最小项

答案A

解析根据题意，等比数列｛小｝中，0=8,t?4=—1,则炉=邸=一/，则4=一^，

部-⑶

若〃为奇数，则5=竽(1+/)，此时有Si>S3>…>S〃>竽：

若〃为偶数，则s尸竽(1一出，此时有S2<sgy〃<芋，

故与最大，52最小.

13.设｛厮｝是公比为0的等比数列,M>L令-=斯+1(〃=1,2,…),若数列｛仇｝有连续四项

在集合(-53,-23,19,37,82｝中，则6g=.

答案一9

解析｛A｝有连续四项在｛-53,一23,19,37,82｝中,劣=诙+1,则%=仇一1,｛斯｝有连续四

项在｛-54,-24,18,36,811中.又｛诙｝是等比数列,等比数列中有负数项则好0,且负数项为

相隔两项，

等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18,-24,36,

一54.81.

363-3813

—244-54--

--6--

相邻两项相除不-=一?-3-2

242,2J54

很明显，-24,36,-54,81是｛斯｝中连续的四项,

3

-或

24，此种情况应舍),

3

--

q-2

14.记S”为数列｛〃“｝的前n项和,S“=l—〃“，记北=”|田+。345+…+"2n1。2“7，贝4斯

，Tn=

答案T41一备)

S尸1~a,

解析由题意得0=1—“I,故.当〃22时，由_n得〃〃=—则

aM-i,

=1,故数列｛为｝是以《为首项，3为公比的等比数列，故数列｛为｝的通项公式