高三数学一轮复习讲义（教师标准版）椭圆

§8.5椭圆

【课标要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质（范围、点称性、顶点、

离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点a,F2的距离的和等于赏教（大于尸产出的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆

的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的蝇.

注意：（1）当动点M满足|MB|+|MF2|=常数＞尸1川时，动点M的轨迹为椭圆；

⑵当动点M满足|MR|+|MBI=常数=|RBI时，动点M的轨迹为以Q,B为两端点的线段；

（3）当动点M满足|MR|+|MBI=常数＜IRBI时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

B2

图形L

By

益+且-142+^2=1

标准方程ab

(a>b>0)(a>b>0)

一—bWxWb

范围

且一4一且一

A，一a,0),4(0,一a。

0),4(0，a)，

顶点

8(0,i),—0),

」(0,b)&S，0)

轴长短轴长为额,长轴长为区

凡（一「,①，一Q・

焦点

&—，（））&(0，c)

焦距

|F|F2|=2C

对称性对称轴：x轴和y轴,对称中心：JO

离心率e=.CYeVl)

a,b,c的关系『=力2+一

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

（1）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.（X）

（2）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（7）

（3珞表示焦点在.V轴上的椭圆.（X）

（4）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（X）

2.己知平面内一动点P到两定点居（一2,0）,B（2,0）的距离之和为8,则动点P的轨迹方程为（）

AH+日=1B.日+乃=]

1641612

cY9Y5=iDY20+16J

答案B

解析因为平面内一动点尸到两定点F|（-2,0）,4（2,0）的距离之和为8,且8>|FIF2|=4,

所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，

2a=8,

a2=16,

2c=4,解得

"=12,

小=炉+。2,

故动点尸的轨迹方程■隹=L1

3.（2024.黔东南模拟）椭圆注+注=1（心0）的离心率为（）

A.邈

5

若

答案A

解析由椭圆的标准方程可得,b2=3m,所以离心率e=：=J1-J

=5_v而

5

4.若椭圆C[+：=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）

43

A.3B.2+V3

C.2D.V3+1

答案A

解析由题意知。=2"=百，所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.

椭圆中常见结论：

P为椭圆上任意一点，B，B分别为椭圆的左、右焦点，设NF/F2=。，如图所示.

(1)当户为短轴端点时，0最大，SARPF2最大；当点P为长轴端点时，。最小为0.

(2)|Pr||max=〃+c，lPFllmin=a—C.

(3)|PFi\-\PF2\w局1)2=/

22

(4)4，=|PF11+\PF2\-21PAi俨/21cos0.

(5)焦点三角形的周长为2(a+c).

题型一椭圆的定义及其应用

例1(1)已知动圆仞和圆Ci：。+1)2+)，2=36内切，并和圆Cz：(x—1)2+)2=4外切，则动圆圆心M

的轨迹是()

A.直线

B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆

D.焦点在)，轴上的椭圆

答案C

解析设动圆的圆心M的坐标为",)，)，半径为r,

因为动圆M与圆G：(x+1尸+)2=36内切，且与圆Ci：(x—1)：+)2=4外切，

可得|WG|=6一—,|MC2|=r+2,

所以|MG|+|MC2|=8>|GC2|=2,

根据椭圆的定义知，动点"的轨迹是以G,C?为焦点的椭圆，且2a=8,2c=2,

可得。=4,c=l,则h=y/a2-c2=V15,

所以动点M的轨迹方程为5+I,

所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.

设|PFi|=m(〃>0),\PF2\=n(n>0),

则w4-/z=4,①

且"产+/=(2巡)2,②

由①2一②得2mn=4,即mn=2,

所以|PRMPB|=2.

(2)已知外，尸2分别为椭圆C：《+\=1(4>/>0)的左，右焦点，A为椭圆。的上顶点，且△Af•尸2为等

边三角形；过为且垂直于的直线与椭圆C交于。，E两点、,则AAOE的周长为.

答案16

解析由C:1+^=l(4>b>0),得a=4,

16

因为△AHF2为等边三角形，

过R且垂直于4尸2的直线与椭圆C交于D,E两点，

所以直线QE为线段AB的垂直平分线，

得|AD|=|£>产2|,|AE|=|EF2|,

则△AOE的周长为|AQ|+HE|+|D£|=|DF2|+|EF2|+|Qai+|EKI=2a+2a=4〃=4X4=16.

题型二椭圆的标准方程

例2(1)过点(一3,2)且与=十?=1有相同焦点的椭圆的标准方程是()

94

A.W+Z1=IBX+^=I

2251001510

C.2±+且=iD.乃+立=1

2251001510

答案B

解析由题意得椭圆三十£=1的焦点坐标为(遥,0),(-V5,0),

94

因为所求椭圆与椭圆E+t=l有相同的焦点，

94

22—

设所求椭圆的方程为三+《三二耳心愿)，

Q/az-5

由于该椭圆经过点(-3,2),则将点代入方程得，

2+3=1

Q2丁a2_5'

解得/=15(4=3舍去)，

故所求椭圆的标准方程为三+4=1-

1510

(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(-V3,-2)和仅一26，1)两点，则椭圆C的标准方程

为.

答案

解析设所求椭圆的方程为〃/+町2=1(〃>0,心0,〃?£〃)，将A和8的坐标代入方程得

产一碗=1,解得卜=口

I12m+n=l,In=

则所求椭圆的标准方程为三+1=1.

JLO3

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的〃，A当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求

椭圆的方程为〃tr2+〃y2=1(心0,心0,〃法〃);与椭圆石+卷=共焦点的槽圆方程可设为一一+

£=](〃汕>0,m>-b2)；与椭圆捺+《=1(公心>0)有相同离心率的椭圆方程可设为捺或2+2

=X[a>b>0,；>0).

跟踪训练2⑴(2024・九江模拟)已知椭圆C：1+旨=1(。>/»0)的左、右焦点分别为R,B，过Q且

a，b，

倾斜角为2的直线交。于第一象限内一点A.若线段AR的中点在y轴上，的面积为2V5,贝I」椭

6

圆。的方程为()

Y2Y2V2

A.—+r=iB—+y=i

cX4-^=1DY+^=1

9396

答案D

解析如图，为线段FiFz的中点，8为线段AFi的中点，

：.OB//AF2,又08_Lx轴,・・・AF2>Lx轴.

在RdARB中，ZAFF=7,

I26

设|AFV),

则HFil=2f,|F,F2|=V3r.

•••△4尸尸2的面积为2遥，

A|xV3rX/=2V3,1=2.

：.2a=\AFi\+\AF2\=3t=6,a=3,

22

2c=|FiF2|=V3r=2V3,c=V3,Z?=a-?=6,

则椭圆C的方程为

(2)已知椭圆的中心在原点且过点P(3,2),焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程

为.

答案圻AI噱+普=1

解析若焦点在x轴上，设该椭圆的方程为

g+g=l(^>0),

2Q=3x2b,a2=45,

则由题意得9,4解得

获+京―Lb2=5,

，该椭圆的方程为小《=」；

若焦点在y轴上，设该椭圆的方程为

§+g=l(o>h>0),

-(2a=3x2b,(a2=85,

则由题意得4।9解得；85

|我+9=1，|〃=$,

・•・该椭圆的方程为、+叁=1.

85—

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例3（2024.大庆模拟）已知椭圆C：5+《=1（49>0）的左、右焦点分别为Fi,尸2,B（0,b）,若经过

R的弦A8满足|4阴=忸4|，则椭圆C的离心率是（）

A.3B.遗

34

C.在D.在

34

答案A

解析由题可知|3片|=|用司=。，

|AFI|十|AF2|=2Q,

所以

\AF1\+a=\AF2\,

1伍|=与,

解得

1仍|=第

由COSNAF]F2+COS/BF|F2=0,

得偿y+3户管)2।a2+(2c)2—a2―

2-2C2a-2c

整理得〃=3c2,

所以0=;=T

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

（1）直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解.

a

（2）由。与人的关系，利用变形公式e=J-捺求解.

⑶构造a,c的方程.可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围（最值）

例4（多选）已知椭圆三十。=1,Fi，歹2为左、右焦点，8为上顶点，P为椭圆上任一点，则（）

164

A.S^F通的最大值为4百

B.|PFi|的取值范围是［4-2g，4+2百］

C.不存在点。使PF」P尸2

D"圳的最大值为2通

答案AB

解析对于A,依题意知。=4,力=2,c—2^3,当P为短轴端点时，(5“户］尸2)1皿=3乂20义/＞=4^^,故A

正确；

对于B,由椭圆的性质知|PR|的取值范围是［〃一。，a+c］,即［4一2次，4+2百］,故B正确；

对于C,sinZF5O=-=v＞所以，所以/尸归尸2=*，即NRP尸2的最大值为空,最小值为0,

2a2333

所以存在点P使,故C错误；

对于D,设p(xo,Vo),

所以IPB尸J诏+(y°-2)2,

又4+q=1,所以以=16—4%,

所以俨用=J16-4%+(yo-2产

=1-3指-4y°+2O=J_3(yo+y+《,

又一2W)，oW2,故当泗二一|时，|P/ax=Jf=卓，故D错误.

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟踪训练3(1)(多选)已知椭圆［+［=1(0＜辰3)的左、右焦点分别为R,产2，过点P的直线/交椭圆

于人，“两点，若|A网的最小值为4,贝4()

A.椭圆的短轴长为历

B.IABI+I8BI的最大值为8

C.离心率为千

D.椭圆上不存在点P,使得

答案BD

解析易知当轴时，即线段A8为通径时，|A8|最短，・・・依3|=字=4,解得〃=6，，椭圆方程为1

+—=1

6

对于A,椭圆的短轴长为2/7=276，故A错误；

对于B,•••△ABE的周长为IA阴+|ABl+|BBI=|An|+|AF2|+由B|+|8B|=4〃=]2,且|4例疝=4,：.QAF2\

+|BF2|）max=12一依用min=8，故B正确；

对于C,*/c=Va2-b2=V3,a=3，，离心率e=-=竺，故C错误；

a3

对于D,易知当点P位于短轴端点时，N尸iPB最大,此时|Pai=|PBI=a=3,|FIF2|=2C=2V3,AcosZ

QFF2=Q",[2C）2=9O,又/尸产22为三角形内角，••・/尸/巳£（0，日），

・••椭圆上不存在点P,使得故D正确.

⑵已知椭圆C：W+誓=1（。>°）的左、右焦点分别为R，尸2,A为。上一动点，则翳的取值范围

Q/3Q/Mr2|

是.

答案分3]

解析设椭圆C的半焦距为c（c>0）,

贝ljC=J/_J02二），

1研|=2。-|伍1=2a_i

\AF2\~\AF2\—\AF2\'

因为|八尸2|£[。-c,a+c],

即|4同啡Q,沟，所以潦L需，3]，

即指的取值范围是L，4

课时精练

【分值:90分]

IE知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点（-4,0）,焦距为6,则该椭圆的标准方程为（）

A.立+日=1BX+^=1

168167

/乃=1DY+乃=1

816716

答案B

解析由题意得。=4,2c=6，则c=3,h2=cr-c2=l,所以该椭圆的标准方程为1+《=1.

167

2.若柄圆捺+?=1（〃>0）的离心率为手则该椭圆的半焦距为（）

A.1B.V3

C.3或百D.3或日

答案D

解析若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e=W="，得/=12,此时半焦距；

a2

若椭圆的焦点在），轴上，则离心率6=*=内，此时半焦距c=g.

所以该桶圆的半焦距为3或|.

3.设椭圆马+马=1（〃?>0,〃>0）的两个焦点分别为Q（0,2）与尸2（0，—2）.若此椭圆上存在点P使得APaB

为正三角形，贝lJ〃P+〃2等于（）

A.4+2V3B.2V7

C.28D.36

答案C

解析由已知可得椭圆的焦点位于y轴上且|尸印=伊外|=|&&|=4,所以点P位于短轴的端点，且|PQ|+

|PB|=2〃=8,解得〃=4.又椭圆的半焦距c=2,所以加2=〃2—d=%,所以阴2+〃2=28.

4.（2024泸州模拟）已知点P在椭圆C9+1一1上，。的左焦点为广，若线段的中点在以原点O为圆

98

心，|。月为半径的圆上，则|PF|的值为（）

A.2B.3

C.4D.8

答案C

解析因为椭圆C:会+看=1,

所以"=3,/?=2^2,则c=1,

设椭圆的右焦点为F/连接PQ,记线段的中点为Q,连接0Q,因为|OF|=c=l,所以|OQ|=1,

因为0,。分别为尸K和/^的中点，

所以0Q〃为P,所以|尸网|=2。0=2,

又|PF]+|PFi|=2a=6,

所以|PF|=6一|PQ|=4.

5.已知夕为椭圆C：1+4=1（。>/>0）上一点，R,B分别为左、右焦点，0为坐标原点，|P0|=4，且

|PF1|.|PF2|=V,则。的离心率为（）

4

A?B.i

44

C.—D.-

22

答案C

2

解析令F1（—c,0）,F2（C,0）,显然点P不在X轴上，丽="所+职）,则4PO=PFf+pp2+

2|而||厄Icos/BPB,由余弦定理得IBF2|2=|Pa|2+|PF2|2-2|Pai|PB|cos/HPF2,因此41Pol2+|BB/=

2

2（|PF|+|PF2|）-4|PF,||PF2|,而俨公|+|PB|=2a,

于是BcJ+d/uZGa）?—34,整理得2<?=/,

则/=标=：，又。<©<1,所以。的离心率e=孝.

6.已知椭圆C?+?=1的右焦点为RP为椭圆C上任意一点，点A的坐标为（一|,则|H4|十|PF|

的最大值为（）

A.—B.5

O

oo

答案B

解析如图，

设椭圆。的左焦点为F,（-l,0）,

因m，

所以点A在椭圆内部.

由椭圆定义可得|PF|二4一|PQ|,

所以|PA|+|尸F|=4+|PA|-|PFi|W4+|Aa|

=4+\［（一*（T）f+（丁=4+1=5.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知椭圆C；为+弓=1,且两个焦点分别为B，心，，是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是（）

1612

A.椭圆C的离心率为苧

B.ZXPFiB的周长为12

C.|PQ|的最小值为3

DJPFiHPFd的最大值为16

答案BD

解析椭圆C：1十4=1,则a=4,b=26,c=Va2-b2=l.

1612

对于A,e=-=；，故A错误；

a2

对于B,△PQB的周长为|尸川+上川+/正2|=2〃+2c=12，故B正确；

对于C,|PQ|的最小值为〃-c=2，故C错误；

对于D,|P尸小|P尸2区更耻瞥2=。2=16,当且仅当|PA|=|PR|=4时等号成立，故D正确.

8.已知圆O：f+产3经过椭圆C5+总=1（〃泌＞0）的两个焦点R，B，且P为圆O与椭圆C在第一象

限内的公共点，且的面积为1,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2

B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的离心率为

D.点P的坐标为停，苧）

答案BD

解析因为圆0：f+），=3经过椭圆C：3+冒=1（公功＞0）的两个焦点Fi,F：,所以c=6，又P为圆O

与椭圆。在第一象限内的公共点，贝瓦「/2=：/同*="2怎*=1,故o=今，代入圆的方程可得;+

必=3,所以％=手，故点P的坐标为伴，手），故D正确；

将点P的坐标俘，手）代入椭圆方程可得盘++=1,又〃2=〃2+c2f2+3,解得。=2,〃=1,故椭圆

C的长轴长为4,短轴长为2,故A不正确，B正确；

则椭圆C的离心率6=£=4，故C不正确.

a2

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知椭圆C的焦点外都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6,且|PB|，IBBI，|P6|

成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

答案?+?=1

解析设椭圆的长半轴长为。，半焦距为c,

依题意得产什明+正局=6

1|PFI|+|P6|=2|FIF2|,

（2a+2c=6,曰（a=2,

即，解得

（2a—4c,{c—1,

则椭圆的短半轴长b=后二亚=再，

所以椭圆C的标准方程为。+。=1.

43

10.设Q，6分别是椭圆氏9+捺=1（公＞/»0）的左、右焦点，过B的直线交椭圆E于P，。两点，且

■LP。，|PBI=2|QBI，则椭圆E的离心率为.

答宰当

解析设|QF2|=〃K〃》0）,

则甲同=2m,\PQ\=3m,

根据椭圆定义,\PFi\=2a-2m,\QF\\=2a-m,

又因为PF」PQ,

所以在RtZiPQ。中,|PFI|2+|PQ2=|QF/2,

即（2。-2M2+（3m）2=（2〃一用）2,解得,〃=）

贝也刊引=|〃，伊川=》,

则在Rt△尸产国中,|PF2『十|PFI|2=|FIF21,

即(|a)2+(»2=(2。)2,

所以/=底=:-6=当

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图所示，已知椭圆芍+]=1（4＞。＞0）,R,尸2分别为椭圆的左、右焦点，A为柄圆的上顶点,

直线4F2交椭圆于另〜点及

（1）若/BAB=90。,求椭圆的离心率：（6分）

（2）若椭圆的焦距为2,且丽=2用，求椭圆的方程.（7分）

解⑴若/~"=90。，则△A0B为等腰直角三角形，所以有|0川=|0月|,即b=c.

所以u=y/2c,故e=-=—.

a2

（2）由题意知4（0,b），尸2（1,0）,设3（x,y）,

,—，—►㈤（2。-1）=1,皿4[=|，

^AF=2FB，得I）解得《2

22hy=-b.[y=-^

代入式+z!=i得+工=1

、人Q2十/1,付4a2十41'

解得/=3.所以b2=a2—c2=3—\=2,

所以椭圆方程为兰+乃=1.

32

12.（15分）已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上，长轴长是4,离心率是条

（1）求椭圆的标准方程；（6分）

（2）若点尸在该椭圆上，F,,尸2分别为椭圆的左、右焦点，且NPMF2=120。，求△PFIB的面积.（9分）

2a=4,(a=2,

：=解得卜=V5,

)a2=b2^c2,(c=l,

所以椭圆的标准方程是?+?=1.

⑵由⑴知

|居Bl=2c=2,

在△户QB中，由余弦定理得

12=IPFj|221200,

\PF2+|FIF2|-2|PFI|.|FIF2|-COS

即俨项2=俨臼F+4+2|P/R.