高考数学一轮复习（新高考版）空间点、直线、平面之间的位置关系

§7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

【考试要求】1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

主干梳理基础落实

知识梳理

1.四个公理

公理1：如果一条直线.匕的西点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只个一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2.空间中直线与直线的位置关系

(I)位置关系的分类

(［平行直线

共面直线工7.加

<［相交直线

、异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线屋//a,//〃儿把/与3

所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与〃所成的角(或夹角).

②范围：(0,J.

3.空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.

4.空间中平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

【微思考】

1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？

提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可

能平行或相交或异面.

2.平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？

提示平行或相交.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）有三个公共点的两个平面必重合.（X）

（2）三条两两相交的直线确定一个平面.（X）

（3）若B0,且A£“，BWa,贝lj/Ua.（J）

（4）如果两个不重合的平面a邛有一条公共直线a,就说平面a,p相交，记作aA少=〃.（J）

题组二教材改编

2.如图所示，在正方体48s—48CQ］中，E,尸分别是A8,A。的中点，则异面直线8。

与EF所成角的大小为（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

答案C

解析连接Bid,QC（图珞），则与故NOiSC即为所求的角.又&D尸&C=DC

•••△BiDiC为等边三角形，・・・NA8C=60。.

3.如果直线au平面a,直线人仁平面及且a〃夕，则。与"）

A.共面B.平行

C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

答案D

解析a〃人说明。与力无公共点，

・•・〃与h可能平行也可能是异面直线.

4.两两平行的三条直线可确定个平面.

答案1或3

解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面.若三条直线不共面，则确定3个平面.

题组三易错自纠

5.若直线。，江且直线。〃平面a,则直线。与平面a的位置关系是（）

A.bUaB.h//a

C.或。〃aD.〃与a相交或/?Ua或〃〃a

答案D

解析由题意知，。与a的位置关系可能是〃与。相交或〃Ua.

6.下列关于异面直线的说法正确的是.(填序号)①若。U%bup,则。与。是异面

直线：

②若。与异面，。与C异面，则〃与C异面；

③若〃，。不同在平面a内，则。与》异面；

④若a,人不同在任何一个平面内，则。与〃异面.

答案④

解析①aUa,Z?u〃，则。与。可能平行，异面或相交.

②〃与〃异面，〃与c异面，则。与c平行、相交或异面.

③〃，人不同在a内，则〃与〃异面或平行.

④由异面直线的定义可知正确.

题型突破核心探究

e题型一平面基本性质的应用师生共研

例1如图所示，已知在正方体A8CO—A而GOi中，E,产分别为。Ci，G8的中点，ACA8。

=P,AiGn£/=Q.求证：

(1)Q,B,F,E四点共面；

(2)若AC交平面7)8尸E于R点，则P,Q,R三点共线.

证明(1)・・・七/是△。1|。1的中位线，・・・石尸〃夕。|.

在正方体AG中，B\D\〃BD,：,EF//BD.

；・EF,81)确定一个平面，即。，8,凡七四点共面.

(2)在正方体AG中，设平面AiACG为a,

平面BDEF为p.

•.•Q£4G,:.QGa.

又QWEF,:.Q",

则。是。与夕的公共点，同理，尸是。与夕的公共点，

:・aCB=PQ.

又4Cn£=R,.,.RGA1C

:・RRa、且RW0,

则R£P。，故P,Q,R三点共线.

的中点，所以直线MN与直线48平行，所以A错误；

因为直线MN经过平面BBQD内一点M,且点M不在直线。。上，

所以直线与直线是异面直线，所以B错误；

因为直线经过平面A8G内一点N,且点N不在直线AG上，

所以直线MN与直线AG是异面直线，所以C正确；

因为直线MN经过平面ACG内一点M,且点M不在直埃4c上，所以直线与直线AC

是异面直线，所以D错误.

思维升华（1）点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常

借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.

（2）对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过

点B的直线是异而直线.

跟踪训练2（1）空间中有三条线段A8,BC,CD,且NA8C=N8CO,那么直线A8与。。的

位置关系是（）

A.平行

B.异面

C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能

答案D

解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，

如图可知4B,CO有相交：平行，异面三种情况.

（2汝口图所示，正方体ABCD-ASCn中，M,N分别为棱G。，GC的中点，有以下四个

结论：

①直线AM与CG是相交直线；

②直线人M与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与。。是异面直线.

其中正确的结论为.（注：把你认为正确的结论序号都填上）

答案③④

解析因为点A在平面CQQiG外，点M在平面CDDiG内，直线CG在平面CQQiG内，

CCi不过点M,所以AM与CG是异面直线，故①错；取中点£连接AE（图略）,则BNVAE,

但4E与AM相交，故②错；因为当与8N都在平面8CGS内，M在平面BCGB1外，BN

不过点所，所以8N与是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.

I题型三求两条异面直线所成的角师生共研

例3（2020•青岛模拟）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABC。一ASGDi中，

AAi=2AB=2,则异面直线48与AQ所成角的余弦值为（）

：必'

A5

答案D

解析连接8G,易证BG〃4则N4BG即为异面直线4B与4d所成的角.连接4G,

由A8=l,AAi=2,易得4G=W，A1B=BCi=小,故cos/A用G=0丫一八/〃，

ZA/I]oAnc|D

4

即异面直线AyB与ADy所成角的余弦值为三

Al^0<^lC.

1/

AB

思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步联

（1）一作：根据定义作平行线，作出异而直线所成的角.

（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

（3）三求：解三角形，求出所作的角.

跟踪训练3（2018・全国II）在长方体4BCD4出GG中，AB=BC=\,A4产小，则异面直线

ADi与。囱所成角的余弦值为（）

A5B.乎C*滤

答案c

解析如图，连接以九交。囱于0,取A8的中点M,连接。M,0M.易知。为8。的中

点，所以ADx//OM,则NMOO为异面直线ADx与。办所成角或其补角.因为在长方体

ABCOAiBiG。中，AB=BC=1,A4=小，

2

ADl=y/AD+DD{=2t

DM=qA»+QA"=^,

DB\=y)AB2-\-AD2+=^5.

所以0M=^AD\=\,OD=3DBi=喙,

于是在△OMO中，由余弦定理,

得cosZMOD=

即异面直线A"与DB1所成角的余弦值为坐.

课时精练

C基础保分练

1.（2020•上海市松江区模秋）给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等;

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.

③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么

这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可口行，可异面，故④错误.

2.已知平面a,P，y两两垂直，直线a,h,c满足：a6,bup,cQ,则直线a,A,c不

可能满足以下哪种关系（）

A.两两垂直B.两两平行

C.两两相交D.两两异面

答案B

解析设夕门6=/,且/与a,b均不重合，

假设a〃b〃c,由。〃〃可得。〃人b//at

又aGQ=/,可知a〃/,b//l,

又4〃。〃。，可得c〃/,

因为a,P，y两两互相垂直，可知，与7相交，

即/与。相交或异面.

若/与〃或方重合，同理可得/与c相交或异面，

可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行.

3.如图所示，平面an平面夕=/,A£a,B®a,ABC\l=D,。£夕，C^l,则平面ABC与平面

6的交线是（）

A.直线AC

B.直线A8

C.直线CO

D.直线

答案C

解析由题意知，D£l,lUp,所以。£夕,

又因为。所以。£平面ABC,

所以点。在平面4BC与平面力的交线上.

又因为CW平面A8C,C",

所以点C在平面尸与平面ABC的交线上，

所以平面ABCA平面B=CD.

4.在如图所示的正四棱柱A8CD4必G9中，E,尸分别是棱BAA。的中点，则直线"与

平面4。£的位置关系是（)

A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.异面

答案A

解析如图，取AOi的中点0,连接0E,0F,贝IO/〃BE,0F=BE,

・•・四边形BF0E是平行四也形，

:.BF//0E,

•・・BR平面ADiE,OEU平面AAE,

・・・6尸〃平面AGE.

5.（多选）（2020•全国H改编）下列四个命题中是真命题的为（）

A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B.过空间中任意三点有且仅有一个平面

C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

D.若直线/U平面a,直线加_|_平面a,则mH

答案AD

解析对于A,可设人与!2相交，这两条直线确定的平面为a；

若A与八相交，则交点A在平面。内，

同理，/3与/2的交点8也在平面a内，

所以，A8U“，即AUa,A为真命题；

对于B,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,

故B为假命题;

对于C,两条直线有可能平行也有可能异面,

故C为假命题;

对于D,若直线w_L平面a,

则机垂直于平面a内所有直线,

因为直线/U平面处

所以直线直线/,

D为真命题.

6.（多选汝口图所示，在正方体48。。一4丛。|。|中，0是小。］的中点，直线AC交平面AS。

于点M,则下列结论正确的是（

A.A,。三点共线

C.4,M,C,。共面D.B,Bi，O,M共面

答案ABC

解析・.・MWAiC,4CU平面AIACG,

...ME平面AiACG,

又•；MW平面4i,

・•・M在平面AS。1与平囱ANCG的交线A。上，

即A,M,。三点共线，

・•・4，〃，0,4共而且A,M,C,O共面，

•・•平面BBiDQn平面ABIDI=BIDI,

・・・M在平面BSOiQ外，

即4,Bi,O,M不共面，故选A,B,C.

7.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线G”,MN是乒面直

线的图形有.（填序号）

答案②④

解析①中GH//MN；

②中，G,H,N三点共面，但M9平面GMV,因此GH,MN是异面直线；

③中连接GM,GM〃HNMGM于HN,所以直线G"与MN必相交；

④中，G,M,N三点共面，但朋平面GMM因此G”，MN是异面直线.

8.如图，已知圆柱的轴截面AH8Ml是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，G是圆柱上底

面弧的中点，那么异面直线AG与3C所成角的正切值为.

答案V2

解析取圆柱下底面弧A8的另一中点。，连接G。，AD,

因为C是圆柱下底面瓠A8的中点，

所以AO〃8C,所以直线AG与A。所成的角即为异面直线AG与8c所成的角，因为G是

圆柱上底面弧4&的中点，所以CQ垂直于圆柱下底面，所以GQJ_AD

因为圆柱的轴截面4B8|Ai是正方形，

所以CiD=y12AD,

所以直线AG与A。所成角的正切值为镜，

所以异面直线AG与8C所成角的正切值为也.

9.（2020.西安模拟）如图是正四面体的平面展开图，G,“，M,N济别为DE,BE,EF,EC的

中点，在这个正四面体中，①G”与E/平行；②8。与MN为异面直线；③GH与MN成60。

角；④OE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是.

答案②③④

解析还原成正四面体八。EE其中”与N重合，八，B,。三点重合.

A

易知G”与后尸异面，BD与MN异面.

又△GMH为等边三角形,

:,GH与MN成60。角,

易证。七_1_4凡MN〃AF,：,MNVDE.

因此正确的序号是②©④.

10.已知下列说法:

①若两个平面a〃小〃ua,bu»,则a//b；

②若两个平面a//P，aUa,bu°,则。与〃是异面直线:

③若两个平面a〃成，“Ua,bu。,则a与b一定不相交:

④若两个平面a〃0，aUa,则〃与〃平行或异面:

⑤若两个平面an/?=〃，aUa,则。与夕一定相交.

其中正确的序号是(将你认为正确的序号都填上).

答案③④

解析①错.。与。也可能异面.

②错.。与〃也可能平行.

③对.Ta〃人・・・a与万无公共点，

又•."ua,bc.fi,•••♦与力无公共点.

④对.由已知及③知，。与〃无公共点,

那么。〃力或。与〃异面.

⑤错.。与万也可能平行.

11.如图，平面ABEF,平面48CO,四边形A8E/与四边形48co都是直角梯形，ZBAD=

/胡8=90°,8C〃A。且BC=%。，BE//AF^BE=^AF,G,”分别为四，bD的中点.

(1)证明：四边形8C/7G是平行四边形：

(2)C,D,F,七四点是否共面？为什么？

⑴证明由已知R7=G4,FH=HD,

可得GH级%。.又BC然）。，I.GH瞅BC.

J四边形BCHG为平行四边形.

⑵解・・・4£%1凡G是雨的中点，

工BE^FG,，四边形8EFG为平行四边形，：.EF//BG.

由（1）知BG飙C",:・EF"CH,

与CH共面.

又DGFH,AC,D,F,E四点共面.

12.一知空间四边形ABC。的对角线AC=20,BD=\9,异面直线AC与所成角的余弦值

IQ

为百，点P，Q，M，N分别是A8,BC,CD,D4的中点.

（1）求证：四边形PQMN是平行四边形：

（2）求四边形PQMN的面积.

⑴证明因为P,Q分别是AB,的中点，

所以PQ〃AC,且尸Q=%C,

同理MNZMC,且MV斗C,

所以PQ〃MN,PQ=MN,

所以四边形PQMN是平行四边形.

⑵解因为P,N分别是A8,A。的中点，

所以PN//BD,PN=3BD=?

又因为PQ//AC,

所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC,3D所成的隹,

所以sinNQPN=\I1-cos?NQPN=yJ1一借》

所以四边形PQMN的面积为S=PQ/Msin/QPN=10xSx噜=5病.

小技能提升练

13.（2019•全国III）如图，点N为正方形ABC。的中心，AfC。为正三角形，平面ECDJ■平

面A8CQ,M是线段七。的中点，则（）

E

A.BM=EN,且直线8M.EN是相交直线

B.BM¥EN,目.直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线8M,EN是异面直线

D.BMWEN,且直线8M.EN是异面直线

答案B

解析如图，取CO的中总。，连接0ME0,因为△EC。为正三角形，所以EO_LC。，又

平面ECQ_L平面ABCQ,平面£CQA平面43co=。£>,所以EO_L平面/WCD设正方形A6co

的边长为2,则叩=小，ON=T,所以EN2=EU+ON2=4,得£N=2.过"作C。的垂线，

垂足为P,连接BP,则MP=坐,CP=|,所以用炉="+3/=6郸+（|>+22=7,得

BM=币,所以BMKEN.连接BD,BE,因为四边形A/3CO为正方形，所以N为区。的中点，

即EN,M8均在平面BDE内，所以直线BM,EN是相交直线.

14.已知球。是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接

球，BC=3,4B=2小，点E在线段8D上，且BD=38E,过点E作球。的截面，则所得的

截面中面积最小的截面圆的面枳是.

答案27r

解析如图，设△B。。的中心为。|,球。的半径为R,

连接4。1,OiD,0D,。£OE,

2

则（9iD=3sin60°X§=#,

八。=、心一附=3,

在RtAOOiD中，

R2=3+(3-H)2,解得R=2,

,:BD=3BE,DE=2,在△OE。中，OIE=A/3+4-2XV3X2COS30°=I,

JOE=^O\E?+OO\=^2,

过点£作球。的截面，当截面与