高考数学一轮复习（新高考版）空间直线平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以记明.2.

掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

【知识梳理】

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外i条直线与此迤'

--------a

判定定理平面内的一条直线平行,=a〃a

那么该直线与此平面平行a//b

一条直线与一个平面平

a//a}

行，如果过该直线的平面

性质定理aUB}=>〃〃/,

与此平面相交,那么该直

线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

aS、

如果一个平面内的两条相buB

判定定理交亘线与另一个平面平行，aCb=P

那么这两个平面平行口

b"a>

两个平面平行，如果另一个/r^7a"6'

性质定理平面与这两个平面相交,那仪■—=〃,=>a//b

么两条交线平行有8a.

【常用结论】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若小山，则a〃瓜

2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃小则a〃/

3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即〃_La,/?±«,则a〃A

4.若a〃少，“Ua,则

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.(X)

(2)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a〃a.(X)

⑶若直线平面a,直线bu平面a//b,则”/£.(X)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(X)

【教材改编题】

1.平面a〃平面厅的一个充分条件是()

A.存在一条直线a//G,a"B

B.存在一条直线a,QUQ,a//p

C.存在两条平行直线a,h,力U夕，a//p,b//«

D.存在两条异面直线a,b,aUa,力u/?,a//fi,b//a

答案D

解析若an£=/,a//l,ada,时则〃〃a,a//p,排除A；若00夕=/,aU*〃〃/,则

a//^排除B；若。口尸=1,aUa,〃〃/,bu£,b//l,则〃〃人b//a,排除C.

2.(多选)已知a,夕是两个不重合的平面，/,小是两条不同的直线，则下列说法正确的是()

A.若/〃加，l//p,则〃防尸或夕

B.若a〃/?，机Ua,lC.pf则〃?〃/

C.若/_!_〃?，则/〃a

D.若山〃a,〃?u夕，aC\p=l,则机〃/

答案AD

解析对于A,若/〃加，！〃万，则〃1〃夕或小U0,A正确；

对于B,若a〃夕，/up,则加〃/或/,机异面，B错误；

对于C,若〃?_La,/_!_〃?，则/〃a或/Ua,C错误；

对于D,由线面平行的性质知正确.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状

为.

H

答案平行四边形

解析平面ABFE//平面DCGH,

又平面EbG”n平面ABFE=EF,

平面EFGHC平面DCGH=HG,

广〃”G.同理EH〃/G,

・•・四边形EFGH是平行四边形.

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点I直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥P—ABCO中，底面A8CO为梯形，AB//CD,PD=AD=AB=2,CD

=4,£为PC的中点.

求证：8E〃平面PAD.

证明方法一如图，取PD的中点F,连接七凡FA.

由题意知E/为△POC的中位线,

：.EF//CDt且EF=；CD=2.

大,：AB//CD,AB=2,C£>=4,：.ABEF,

・•・四边形A3EV为平行四边形，：.BE//AF.

又A户U平面以。，BEQ平面力。，

・・・8E〃平面PAD.

方法二如图，延长。A,C8相交于从连接

■:AB=2,CO=4,

•••黑=综=1即8为"C的中点，

/7CDZ

又E为户。的中点，:.BEUPH、

又BEtZ平面PAD,PHU平面PAD,〃平面PAD.

方法三如图，取C。的中点上连接BH,HE,

A

•・•£为PC的中点，:.EH；/PD,

③利用面面平行的性质(a〃从aUa=o〃0.

④利用面面平行的性质a邛,a//a=^a//fi).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图，四边形A3C。为长方形，PD=AB=2,AQ=4,点、E,尸分别为A。，PC

的中点.设平面POCG平面PBE=/.证明：

(1)。尸〃平面PBE；

(2)DF//L

证明(1)取P8中点G,连接尸G,EG,

因为点尸为PC的中点，

所以FG//RC,FG=^RC,

因为四边形ABCD为长方形，所以8C〃AD,且BC=AD,

所以。£〃尸G,DE=FG,所以四边形OEG/为平行四边形，

所以。?〃GE,因为。内平面08E,GEU平面PBE,所以Q”〃平面P8E；

⑵由⑴知DF〃平面PBE,

又。/u平面PDC,平面POCD平面PBE=l,

所以DF//L

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图，四楂柱ABCQ—AdiG。］的底面ABCO是正方形.

⑴证明：平面4BD〃平面CDiBi.

⑵若平面Ascon平面CDB产/,证明：B\D\〃L

证明(1)由题设知BB\〃DD\且BB】=DDi,

所以四边形是平行四边形，

所以BD〃BD.

又BW平面CDS,平面CDIBI,

所以4。〃平面CDiBi.

因为4Oi〃BiG〃8C且ANi=BiG=8C,

所以四边形A山CG是平台四边形，

所以4i3〃DC

又4用平面。。闰，OCU平面C。由1.

所以4B〃平面CDB.

又因为8。门48=8,BD,48U平面A山Q,

所以平面A由。〃平面CD,Z?i.

(2)由(1)知平面A田如〃平面CDB,

又平面4BCOG平面CD\B\=l,

平面A6CQA平面AiBD=BD,

所以/〃BO,

又BiD、〃BD,所以8。"//.

思维升华(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,/JL夕=>。〃份.

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃夕/〃y

=>a//y).

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的

交线.

跟踪训练2如图所示，在三楂柱A8C-A|8iG中，过3c的平面与上底面交于GH(GH

与BiG不重合).

(1)求证：BC//GH,

(2)若七，F,G分别是A8,AC,A1B1的中点，求证：平面切■A〃平面8C〃G.

证明⑴•・•在三棱柱ABC—4SG中，

・,・平面ABC//平面A\B\C\f

又•・•平面BCHGC平面ABC=BC,

且平面BC〃Gn平面AIS尸HG,

・•・由面面平行的性质定理得BC//GH.

(2)VE,F分别为A&AC的中点，:.EF//BC,

TEN平面BCHG,BCU平面BCHG,

・•・)〃平面BCHG.

又G,E分别为ABi,AB的中点，AiBi-AB,

：・AiG统EB,

・•・四边形AxEBG是平行四边形，

：.A}E//GB.

•・兄政平面BCHG,G4U平面BCHG,

・•・AE〃平面BCHG.

又・・・AiEn£：/=£：,4E,EFU平面£7%],

；・平面£/4〃平面BCHG

题型三平行关系的综合应用

例4如图所示，四棱锥P-A8CD的底面是边长为。的正方形，侧棱以J_底面ABCD,在

侧面P3C内，有BEUC于E,且跳：=幸〃，试在"上找一点凡使EF〃平面出D

解如图，在平面PCO内，过点E作fG〃CO交P。于点G,连接AG,

在A8上取点P,使4"=EG,

因为EG〃CD〃人凡EG=AFf

所以四边形尸EG4为平行四边形，所以Er〃AG.

又4GU平面以。，£加平面以。，所以£尸〃平面以D

所以点尸即为所求的点.

又以_L平面A8CO,所以以_L3C,

XBCLAB,所以BC_L平面%B.所以尸BJ.BC

所以PC2=BC2+PB2=fiC2+4fi2+fi42.

设PA=x,则PC=y/2a^-h?,由PBBC=PCBE,得11=d2a?+£当a,

所以x=a,即以=a,所以尸。=小口

会2GEpE

所以

所以---

p.r39

3JCD

222

即GE=gCO=gq,所以4/=学/.

故点尸是A8上靠近B点的一个三等分点.

思维升华解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面

平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具

体条件而定，绝不可过于“模式化”.

(2)解答探索性问题的基本装略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思

想方法.

跟踪训练3如图，在斜三棱柱ABC—481G中，。，。|分别为AC,4G上的点.

(I)当W君等于何值时，〃平面4以小？

(2)若平面BG。〃平面48。”求黑的值.

解(1)当段*=1时，8G〃平面AB。.

□1L1

如图，连接4B交A以于点0,连接。。.

B

由棱柱的性质知，四边形4ABs为平行四边形，

・•.点。为A|8的中点.

在8G中，。，d分别为4仇41G的中点，

：.OD\//BC\,

又。DC平面8GQ平面AB。［，平面ABQ1.

，当时，3cl〃平面461。1.

（2）由已知，平面8GO〃立面/W。，且平面A由GG平面BCiD=BCi,平面ABCE平面

AB\D\=OD\.

因此8G〃0D|,同理AD/DG.

.4£）1_AOA。1_DC

•，DiCi=市，QQ=而

¥1•I即I

入OB—K•,AD-1,-DC-1.

课时精练

丐基础保分练

I.如图，已知P为四边形人BC。外一点，E,产分别为BO,PD上的点,若EF〃平面PBC,

则（）

A.EF//PA

B.EF//PB

C.EF//PC

D.以上均有可能

答案B

解析由线面平行的性质定理可知EF//PB.

2.已知三条互不相同的直线/,〃?，〃和三个互不相同的平面a,B，步现给出下列三个命题:

①若/与为异面直线，lUa,mU§,则a〃川；

②若a〃4，/Ua,mUp,则/〃〃”

③若aC,=l,yCl尸=〃?，yC\a=n,l//y,则〃z〃〃.

其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.D

答案C

解析对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①

错误；

对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；

对于③，因为/〃％/Ua,an），=〃，所以由线面平行的怛质定理可得/〃小同理/〃，小所以

m//n,故③正确，

因此真命题的个数为1.

3.在如图所示的三棱柱4BC—A山Ci中，过Ai®的平面与平面A3C交于。E,则。E与A3

的位置关系是（）

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析在二棱柱AAC。中，AR/ZAtRi.

•・YBU平面ABC,ABiQ平面ABC,."百〃平面ABC,

•・•过Ai©的平面与平面ABC交于DE.：、DE"A\B\、：.DE"RB.

4.设a,p,y为三个不同的平面，〃?，〃是两条不同的直线，在命题“aG尸=〃?，“Uy,且

，则，〃〃/'中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

①a〃八〃up；②“?〃/，n///}-,③〃〃夕，〃?u/

可以填入的条件有（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

答案C

解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当〃〃.，加Uy时，〃和机在同一平面内，且

没有公共点，所以平行，③正确.

5.（多选）（2022・济宁模拟）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，。，E,F

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A8与平面。£尸平行的是（）

答案AC

解析对于A,AB//DE,AR平面。EF,

QEU平面DEF,

・•・直线48与平面7）E尸平行，故A正确;

对于B,如图1,作平面。E/交正方体的棱于点G,连接/G并延长，交48的延长线于点儿

则AB与平面。后r相交于点”，故B错误；

对于C,AB//DF,ABQ平面DEF,。/U平面。石凡

・•・直线AB与平面OEF平行，故C正确；

对于D,如图2,连接AC,取AC的中点。，连接0。，

又D为BC的中点，:.AB//0D,

•••0。与平面QE尸相交，

・•・直线43与平面。£厂相交，故D错误.

6.（2023广州模拟）如图,在三棱柱人8C-A15G中，AM=2MAlfBN=2NBi，过MN作一平

面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,凡则（）

A.MF//EB

B.A\B\"NE

C.四边形MNEb为平行四边形

D.四边形MNE”为梯形

答案D

解析由于8,E,尸三点共面，广£平面BEE

平面故ME£4为异面直线，

故A错误；

由于N,Z?二点共面，0U平面历N&A百平面3NE,故4小，N£为异面直线，故B

错误；

•・•在平行四边形AAiB山中,AM=2MA\t

BN=2NBi,

:・AM〃BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

:,MN〃AB.

又MNQ平面ABC,A8U平面4BC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFQ平面ABC=EF,

:,MN〃EF,:.EF"AB,

显然在△A8C中，EFWAB,

:.EFWMN,

・•・四边形石尸为梯形，故C错误，D正确.

7.如图，平面a〃平面少〃平面y,两条直线”，“分别与平面a,6y相交于点A,B,C和

点、D,E,E已知A8=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为cm.

答案\

解析过点。作直线A5的平行线分别交平面外与平面丁于点M,N,连接40,BM,CN,

ME,NF,如图所示，所以AD〃8M〃CN,ME〃N「，

43

--

所以衣=砺=而，因为AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以虎=32

37

所以AC=4B+BC=2+1=g(cm).

8.如图所示，CD,48均与平面EFGH平行，E,F,G,”分别在8D,BC,AC,A0上,

且CO_LA8.则四边形EFGH的形状为.

D

答案矩形

解析因为CO〃平面EFGH,COU平面BCD,平面石FG"C平面BCD=EF,所以CO〃石F.

同理”G〃C。，所以E/〃“G同理”E〃GF,所以四边形EFGH为平行四边形.

又因为CO_LAB,所以“E_LE£所以平行四边形EFG”为矩形.

9.如图，四边形ABC。与四边形人。E尸均为平行四边形，M,N,G分别是八8,AD,E产的

中点.求证：

(1)BE〃平面DMF；

⑵平面8QE〃平面MNG.

证明(1)如图，设。”与GN的交点为。，连接A£,则AE必过点O,

连接MO,则M0为△A8E的中位线，所以BE//MO,

又平面。MF,M0U平面。MF,所以BE〃平面。MF.

(2)因为N,G分别为平行四边形4DE尸的边A。，E广的中点，所以。E〃GN,

又0期平面MNG,GNU平面MNG,

所以OE〃平面MNG.

又M为的中点，

所以MN为△A8。的中位线，

所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,平面MNG,

所以80〃平面MNG、

又。£,4OU平面30七，DEC\BD=D,

所以平面8。七〃平面MNG.

10.如图所示，在等腰梯形A8CQ中，已知8C〃A。，BP1AD,垂足为P,将AAB尸沿BP

折起，使平面A3P_L平面。8c。，连接A。，AC,M为梭A。的中点，连接CM.

试分别在8P,CO上确定点E,F,使平面ME广〃平面A8C

解E,F分别为8P,CO的中点时，可使平面加£尸〃平面ABC,证明如下:

如图，取8。的中点E,CD的中点F,连接ME,MF,EF.

•・M,尸分别为AO,C。的中点，

:,MF〃AC.

•••MRZ平面ABC,ACU平面A3C,・・・加产〃平面48C,

又三为的中点，且四边形尸BC。为梯形，

J.EF//BC.

「后用平面A4C,BCU平而ABC,「.Er〃平面A3C,

MFCEF=F,MF,EFU平面MEF,

工平面ME/7〃平面ABC.

过综合提升练

11.（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABC。-48Gd内灌进一些水，固定容器底

面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFG”所在四边形的面积为定值

C.棱Ai。始终与水面所在的平面平行

D.当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值

答案ACD

解析由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C,因为AiA〃8C,BC//FG,

所以A\D\//FG且/GU平面EFGH,4。巡平面EFGH,所以4。〃平面七『G"（水面），所

以C是正确的；

因为水是定量的（定体积口.所以S&B/沪8C=匕即尹EBF-8C=V,所以座・斯=虎（定值），

即D是正确的.

12.如图所示，在四棱锥P—A4co中，ABA-AD,BC//AD,PA=AD=4,AB=BC=2,PAL

平面4BCQ,点E是线段A8的中点，点尸在线段以上，且E/〃平面0CQ,直线PQ与平

面CEF交于点H,则线段CH的长度为（）

C.2gD.2小

答案C

解析•:PD与平面CEF交于点H,；・平面CE尸n平面PCD=CHIEF〃平面PCD,

：.EF//CH,过点〃作〃以交A。于点M,连接CM,如图所示.

'：EFDAP=FfCHC\HM=H,

・•・平面AEF〃平面CHM.

•.•平面AEFC平面ABO）=AE,平面C"MC平面A8C0=CM,:.AE"CM.灭BC//AM、

四边形人BCM为平行四边形，・・・AM=BC=2.又人。=4,・・・M是八。的中点，则，为P/）的

中点，/.CH=y）CM2+MH2=^22+22=2^2.

13.如图，在正方体ABCD-AiSG。中，4S与截面ADC的位置关系是,48与

平面。功GC的位置关系是.

答案相交平行

解析与截面AQC相交，

由题意得人用〃。C,而平面。QCC,OCU平面。"GC,

所以48〃平面DDiCiC.

14.如图，在四面体A8CD中，M,N分别是平面△AC。，△8CO的重心，则四面体的四个

面中与MN平行的是________.

A

答案平面ABC,平面A8。

解析如图，连接AM并延长交CQ于E,连接4N并延长交C。于F,由重心性质可知，E,

EMEN1

产重合为一点，且该点为CD的中点，由砺=丽=］，得MN〃/1B,又ABU平面ABC,AB

u平面48。，MNQ平面ABC,MM1平面ABD,因此，MN〃平面ABC且MN〃平面48D

拓展冲刺练

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