高中数学概率统计讲义+练习：决策问题（含答案解析）

决策问题

知识与方法

均值与方差在决策中的应用

(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的

程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依

据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

(2)两种应用策略

①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.

②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散

程度或者稳定程度，进而进行决策.

典型例题

1.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环

节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独

立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为;，若该考生报考乙大学，每门

科目达到优秀的概率依次为:，4，“，其中

65

(I)若〃=g，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的

概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数I向期

望为依据作出决策，该考生.更希望进入甲大学的面试环节，求〃的范围.

【解析】(1)设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A,则

P(A)=C>

该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件8,M

P(fi)=lx3x2+5x2x2+5x3xl=41

',65365365390

(2)该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X,

依题意，X~8m则E(X)=3x：=1,

该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为y,随机变量y的可能取值为：o,1,2,3.

0(y=0)=’x](l-〃)=?,p(y=l)=lx1(l-n)+|x|(l-n)+jx|n=^i^

O□2O□O3OD3U

2+11〃122/in

p(y=3)=—x—n=一

30653()15

随机变量y的分布列:

Y0123

\-n13+2〃2+11〃n

P

23030L5

r八八八1一〃113+2〃2+11/!,n17+30/:

E(y)=0x----+lx-------+2x-------+3x—=--------,

v7230301530

因为该考生更希望进入甲大学的面试，则E(y)<E(X),即解得

30

13

所以〃的范围为：0<7?<—.

2.2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好

者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行

比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有

决出胜负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲

与乙比赛，甲赢的概率为:，甲与丙比赛，甲赢的概率为〃，其中不

(I)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别

计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该

安排乙还是丙与甲进行比赛？

⑵为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖

金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元.在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优

决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望夕(了)

的取值范围.

【解析】(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为:

1/、2/、IS

"丁(1_〃)+尸1_〃)亍§(1_〃)

第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：

B=(l-p)x1+px|x(l-p)=1(l-/r)

i71/2、

因为［<〃<.，所以6_6=,乂(1_〃)鼻_〃>0,P.>P2

NDD\J/

所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.

(2)由已知X=9万元，或X=7.2万元

由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.

此时，业余队获胜的概率为：

?1?8

专业队获胜的概率为A=,P+QX〃X鼻=3〃

所以，非平局的概率为口X=9)=《+A=g+g〃

41

平局的概率为0(、=7.2)=1_《_鸟=§_5〃

X的分布列为：

X97.2

5141

P(x)―+―n-------p

9393

X的期望为£(X)=9X6+»+7.2X(6T〃)=8.2+0.6〃

由:<〃<：，所以数学期望/(>)的取值范围为(858.6)(单位：万元)

3.2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大.某商家决定借助线上平台开展销售

活动.现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为。(300《。<500)元时，从该商

品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，

商品日销售量(单位：件)678910

甲平台的天数1426262410

乙平台的天数1025352010

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日俏售量的频率相等，且每天的俏售

量互不影响，

⑴求“甲平台Id销售量不低于8件”的概率，并计算“从中平台所有销售数据中随机抽取3天

的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

⑵已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平

台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部

分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元.某商家决定在两个平台中选择一

4.某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明

和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题

回答正确，王华对•其中任意一个问题回答正确的概率均为由李明和王华各自从中随机抽

4

取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.

(I)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率：

(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为x和y,求x,y的期望E(x)、E(y)和方差

o(x)、n(r),并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.

C231

【解析】(1)•.•李明回答诃题正确的个数为2的概率Pi=U=Z=7；

C；o2

王华回答问题正确的个数为2的概率=(£]=A；

二.李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率〃=PiP，=;x3=5.

21632

(2)由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1,2,

••,(X=」)普河,尸22)鲁河

C4oZC4o2

.•.E（X）=lxl+2xl=|.D（X）=[l-^xi=l；

・・・王华回答问题正确的个数2,5

33

••・E（y）=2x（《D（r）=2xr（,8

VE(x)=E(r),D(x)<D(y),.•.派李明代表该班参加竞赛更好.

5.根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25,有大

洪水的概率为0.05.今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000

元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以下3种方案：

方案1：修建保护闱墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水：

方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；

方案3：不采取措施

工地的领导该如何决策呢？

【解析】用x-X2,X?分别表示方案1,2,3的损失,

第一方案，建保护墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水,

无大洪水有大洪水

损失300063000

概率0.950.05

平均损失均放)=3000x0.95+63000x().05=6000.

第二方案：建保护大坝，建设费为700()元，能够防大洪水,

E(X2)=7OOO.

第三方案：不采取措施.

无洪水有小洪水有大洪水

损失02000060000

概率0.70.250.05

平均损失E(X，)=60000x0.05+20000x0.25=8000.

因为£(X3)>E(X；)>E(XJ

综上，采取方案一较好.

6.为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对

新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两

种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为

A，人，人,儿，L,A。，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得1()

分，答错得。分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，

团体赛分预赛和决赛两个阶段.其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参

赛：

方案一：将班级选派的3〃名参赛选手每3人一组，分成〃组，电脑随机分配给同一组的3

名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺

利出线；若这〃个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.

方案二：将班级选派的3〃名参赛选手每〃人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的〃

名选于一道相同的试题，每人均独立答题，若这〃个人都回答正确，则该小组顺利出线；

若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.

(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为每次作答结果

相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；

(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数A班为

使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.

【解析】(1)设郭靖同学答对的题目数为X,得分为匕则y=iox,

4

由题意可知X〜倒1(),?,

4

则£(y)=E(10X)=10£(X)=10xl0x-=80;

44

D(y)=D(10X)=100D(X)=100xl0x-x(l--)=160.

(2)设4班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为匕鸟，

当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为

C沁l-p)+C；p3=3p2-2p3,

故<=(3p2-2p3)"=p2”(3-2p)”；

当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为则小组没有出线的概率为1-〃"，

故鸟=G〃'"(1-P")十C；〃"=3pn-2/尹；

故a-g=优(3—2〃)“一3广+2*=p2n[(3-2pr+2//-3],

令=(3-2〃)"+2〃”-3,〃eN*,

则/(〃+1)-/(〃)=(3-2p户+2〃向一(3-2”一2pn

二(3-2p)”(2—2p)+2p"(p—l)=2(l—p)[(3-2p)”—p[,

因为。所以1-〃>0,3-2p>1,

故(3-2p}'>1,0<pw(3-2〃)"-〃">0,

则+即+

故/(〃)=(3-2〃)"+-3,〃eN♦为单调增函数，

因为/⑴=3-2〃+2〃-3=0,

由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即〃之6,

此时⑹>41）=0n[>£

故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.

强化训练

1.从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项诜择题（第9-12题是四道多诜题，每

题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）.在某次模拟考

试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为〃，正确答案是三个选项的概率为

I-P（其中。<〃<]）.现甲乙两名学生独立解题.

（2）对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正

确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理

想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.

【解析】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：

A：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.

甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.

C：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.

P⑻心出、卜5出

P=P（A）+〃（8）+P（C）=（.

（2）若为甲出方案.

则甲可能的选项个数为：1，2,3.

记A表示选1个选项的得分，则期望为E（A）=2.

记为表示选2个选项的得分，则得分可能为0,2,5,

2I1z

P（A2=0）=px-+（l-p）x-=-（l+p）

、2

P（A2=2）=-（l-p）,

p（A=5）=1p,

此时期望为E（A,）=0xl^+2x型则+5XK=".

J333

记&表示选3个选项的得分，则得分可能为（），5

p（4=（））=〃+（「〃感=^^,

JJ

P（A=5）=（1-〃）x：=¥，

此时期望为£（Aj=0x手+5x—=之券.

•・2心2>口

33

・••甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.

若为乙出方案.

则乙可能的选项个数为：I，2,3.

记4表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则

29

£(8j=0x/;x+2xpx—+(1-p)x1=2一”

3>

记与表示选2个选项的得分，则得分可能为0,2,5,

此时）=0x（px-1j+2x（l-p）xl+5xpx-=2-y.

记昌表示选3个选项的得分，则得分可能为0,5,此时

E(B,)=0x/?+5x(l-/?)xl=5-5/?.

2—/?<2——.

33

2.表（5-5小竽

9

.♦•当3<〃<1时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩.

14

9

当。<〃<三时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩，

14

9

当〃=工时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩.

14

2.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出,

以每盒10元的价格全部史理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓

的日销售量(单位：十盒)，获得如下数据：

日销售量/十盒78910

天数812164

假设草莓每日销届相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位：十盒)，求X的分布列和数学期望;

(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中

应选择哪种？

1321

【解析】(1)日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：

根据题意可得：X的所有可能取值为14,15,16,17,18,19,20,

11I133

P(X=14)—x———，P(X=15)=-x—x2=—

552551025

P(X=16)=-x-x2+—x—=111c7

,P(X=17)=AXZX_2+-x—x2=—,

55101041()551025

312211212

P(X=18)=—x-x2+—x—=一,P(X=19)=—x-x2=—

1010555051025

P(X=20)=—x—=—,

1010100

所以X的分布列为:

X14151617181920

131121

P

252545025loo

I3I711?I

所以七(X)=14x—+15x二+16x—+17x—+18x—+19x—+20x——=17.44；

252542550251(X)

i3

(2)当每两天进16十盒时，利润为(14x10-2xl0)Xk+(15xl0-lxl0)Xk

113]

+16x10x=156

2525J

i3

当每两天进17十盒时，利润为(I4X10-3X10)X石+(15xl0-2xl0)x石

,29(1329

+(16xl0-lxl0)x—+17xl0xI=157,

100石一天一丽,

157>156,所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒.

3.甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环

节.已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立,

若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为:；报考乙公司，每门科目通过的概率依次

I3

为不二，加，其中()</〃<1.

35

2

⑴若〃?=g，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环芍恰好通过一门科目的概率；

⑵招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作

决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求加的取值范围.

【解析】(1)设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件4

小明报考乙公司恰好通过一门笔试科FI为事件B,

根据题意可得=，

12323322232

P⑻=-X—X-+—X-X-+—X-X—=一

35535535575

(2)设小明报考甲公司通过的科目数为X,报考乙公司通过的科目数为八

(1A13

根据题意可知，X-B3,-,则E(X)=3xq=9，

I2)22

224

P(y=O)=x(1—〃?)=不(1一〃?)，

3513

…I、12八、23“、228-4/n

P(Y=1)=—xy(1-m)+'Jx_,n^+5xy=~-，

c、1、12233+5〃z

P(y=2)=-x—(1--x-"2+-x-"7=-----,

35353515

131

P(Y=3)=-x-m=-m,

355

则随机变量y的分布列为

Y0123

48-4m3+57〃1

P——(1—tri)-m

1515155

厂八八8-4加3+5根,1,14+15〃?

E(y)=-----+----x24■一〃2x3=-------

若E(y)>E(X),则此例>3,

152

17(17、

故<加<1,即川的取值范围是—J

30U0

4.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进

机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个20()元，在机器使用期间，如果备件不足

再购买，则每个50()元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整

理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图(如图所

示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易

损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台

机器的同时购买的易损零件数.

八频数

40.......|—I

30--1—r—

8910更换的易损零件数

(1)求X的分布；

⑵以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=17与〃=18之中选其一，应选用

哪个？并说明理由.

【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为

8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3,

则P(X=16)=0.3x0.3=0.09,P(X=17)=2x0.3x0.4=0.24,

p(X=18)=0.4x0.4+2x0.3x03=0.34,P(X=19)=2x0.3x0.4=0.24,

P(X=20)=0.3x0.3=0.05,

所以随机变量X的分布列为

X1617181920

P0.090.240.340.240.09

(2)记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元),

当〃=17时，可得£；(y)=17x200x0.33+(17x200+500)x0.34

+(17x200+2x500)x0.24+(17x200+3x500)x0.09=3945

当〃=18时，可得七位)=18x200x0.67+(18x200+500)x0.24

+(18x200+2x500)x0.09=3810

因为3945>3810,所以当〃=18时所需费用的期望值小于〃=17时所需费用的期望值，

故应选〃=18.

4.人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端

科技之一，其理论和技术正在FI益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本

原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再

根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相

同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和I个

白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸

出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或

乙袋的概率均为g(先验概率).

(I)求首次试验结束的概率；

⑵在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.

①求选到的袋子为甲袋的概率，

②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如卜两种方案；方案

一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案

第二次试验结束的概率更大.

【解析】(I)设试验一次，“取到甲袋”为事件A，“取到乙袋”为事件试验结果为红

球”为事件修，“试验结果为白球”为事件打,

⑴P(BJ=P(A)尸⑻A)+P(4)?⑻4

所以试验一次结果为红球的概率为3.

(2)①因为九4是对立事件，P(与)=1-P⑻=挤，

11

所以尸山)一(一),⑶A)P(A)_1r5」

所以⑷2)-p⑻-P电)一2一9'

20

所以选到的袋子为甲袋的概率为压.

1Q

②由①得。区忸2)=1-P(A隹)=1-5=5，

所以方案一中取到红球的概率为：

IQQ7S

/?=P(A|B2)P(B1|A)+^|^)^1h)=-x-+-x-=-,

方案二中取到红球的概率为：

g=P⑷必(4|A)+P⑷必⑻4)=。导小*=噂

因为£>工，所以方案二中取到红球的概率更大•

5.强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知

甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生

报考甲大学，每门科目通过的概率均为该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次

Io

为一，-»m,其中()</〃<1.

63

9

(I)若〃?=5,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望

为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求用的取值范围.

【解析】(1)设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A,该考生报考乙大学恰

好通过一门笔试科FI为事件8,

根据题意可得尸⑷=CQ百=|,P(B)=X升滑手2得得

(2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X,报考乙大学通过的科目数为y,

(1Ai3

根据题意可知，X~83$,则E(X)=3x：=;，

p(r=0)=|xl(i-w)=A(i_/zz),

…I、11八'52〃、51111

P(Y=1)=—x-(l-〃?)+-x—(1-〃?)+-x-〃？=-----m,

636363183

ic、12八、1152I1

63636392

I?1

P(Y=3)=—x—fn=­ni,

639

则随机变量y的分布列为

Y0123

111111

P—(1-in)--------m—+—m—m

18183929

E（Y）=-------m+—+m+-m=—+m,

183936

若E（y）＞E（x）,则35+m39故;即〃?的取值范围是（-2JA.

6.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进

机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足

再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整

理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.

若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为I台机器在三年内更换的易损零

件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器

的同时购买的易损零件数求X的期望；

【解析】由柱状图并以频率代替概率可得，

一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为020.4,0.202,

X可取16,17,18,19,20,21,22,

p(X=16)=0.2x0.2=0.04,

P(Xf7)=2x().2x0.4=0.16,

网X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24,

p(X=19)=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24,

p(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2,

p(X=21)=2x0.2x0.2=0.08,

P(X=22)=02x0.2=0X4,

所以X的分布列为

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

期望E(X)=16x().04+17x().16+18x().24+19x().24+2()x().2+21x().()8

+22x0.04=40.68.

7.为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有

一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图(示意图)所示的虚线处，手持

沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同、编号不

同的沙包.规定：每次沙包投进1号、2号、3号箱分别可得3分、4分、5分，没有投中计0分.

每名选手将累计得分作为最终成绩.

1号2号3号

(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；

⑵赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手A每次投中I号、2号、3号箱的概率依次为

0.7,050.3.已知选手A每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假

设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.

(i)若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手A选择儿号箱？

(ii)假设选手〃得了23分，请你帮A设计一种可能嬴B的投掷方案，并计算该方案A获

胜的概率.

【解析】(1)设5次投掷投中I号X次，2号y次，3号z次，未投中，次，

x+y+z+t=5

3x+4y+5z=17

则《',

x,)，,z"wZ

x=4x=2x=\x=()

)=0­y=3

解得',或《A或«

z=1z=0z=2z=1

/=0t=0r=lr=l

不同的方法数N=c；c；+c；c；+Cc；c；c；+C；C；G=95.

（2）（i）设选手A选择1号、2号、3号箱作为目标箱，5次投中的次数依次为X1、X”X3，

最终的得分分别为x、x、x.则

X]〜*5,0.7）,X2~4（5,05）,X?~4（5,03）

R=E（3X,）=3E（X,）=3x5x0.7=10.5

EK=E（4X2）=4E（X,）=4x5x0.5=10

））（）

EYy=E（5X5=5E（XI=5X5X.3=7.5

g>阳>EYy

•••建议选手A选择1号箱.

（ii）方案一：A连续5次选择投掷3号箱

A最终获胜的概率为P=（上）=:^_=Q00243.

UoJ100000

方案二：A前4次均选择投掷3号箱，第5次投2号箱

A最终获胜的概率为P=（—Yxl=-^―=0.00405

UoJ220000

8.某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：

甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方

案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市

场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还

是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含

一次性设备改进投资费用）.

（I）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数工（同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表）：

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售最用该组区间的中点值作年销量的

估计值，并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方

案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）

【解析】（1）年销量的平均数天=0.05x12+0.35x16+0.3x20+0.2x24+0.1x28=19.8（万

件）.

（2）①该产品的销售利润为15元/件,

由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，

所以年销售利润不低于270万的概率P=（）.3+0.2+0.1=0.6.

②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望E（X）=19.8,

所以甲方案6年的净利润的期望值为19.8x15x6-1000=782（万元）.

设乙方案的年俏售量为丫万件，则乙方案的年销售量的分布列为

Y121620

P0.050.350.6

所以乙方案的年销售量期望反丫）=0.05x12+0.35x16+0.6x20=18.2（万件）,

所以乙方案6年的净利润的期望值为18.2x15x6-7（X）=938（万元），

因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，

所以企业应该选择乙方案.

9.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4s店进行连续30天的

试销，定价为1000元/件.

(1)设日销售40个零件的概率为双0<〃v1),记5天中恰有2天销售40个零件的概率为

z,写出z关于p的函数关系式.

(2)试销结束后统计得至1该4s店这30内的H销售量(单位：件)的数据如下表：

日销售量406080100

频数912

其中，有两个数据未给出.试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但

生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元

/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试

销后各日销售量发生的概率.

该4s店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公

司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4s店，假设日销售量

为80件的概率为

5

(i)设该4s店批发两大箱,当天这款零件的利润为随机变量M批发两小箱,当天这款零

件的利润为随机变量匕求石X和石匕

(ii)以日利润的数学期望作为决策依据，该4s店每天应该按什么方案批发零件？

【解析】(1)由题意可得z=C；p2(l-p)3=10/(i0</7<1,

(2)由题意口销售量为8()件的概率为工，

5

日销售量为100的概率为1一3一2__!_=J-,

105510

(i)批发两大箱，则批发成本为60500元，

当日销售量为40件时，利润为：40x1000-60500+70x550x90%=1.415(万元)，

当日销售量为60件时，利润为：60x1000-60500+50x550x90%=2.425(万元)，

当日销售量为80件时，利润为：80x1000-60500+30x550x90%=3.435(万元)，

当日销售量为100件时，利润为：100x1000-60500+10x550x90%=4.445(万元)，

EX=1.415x^-+2.425x^+3.435x1+4.445x-1-=2.526（万元）•

105510

若批发两小箱，则批发成本为48000元，

当日销售量为40件时，利润为：40xl（XX）-48（）00+40x600x90%=1.36（万元），

当日销售量为60件时，利润为：60x1000-48000+20x600x90%=2.28（万元），

当日销售量为80件或100件时，利润为：80x1000-48000=3.2（万元），

:.EY=1.36x2+2.28x2+3.2x2=2.28（万元）•

10510

（ii）当4s店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量

当日销售量为40件时，利润为：40x1000-54250+55x550x90%=1.2975（万元），

当日销售量为60件时，利润为：60x1000-54250+35x550x90%=2.3075（万元），

当日销售量为80件时，利润为：80x1000-54250+15x550x90%=3.3175（万元），

当日销售量为100件时，利润为：95x1000-54250=4.075（万元），

.•.Eg=1.2975+2.3075x2+3.3175x^+4.075=2.38325（万元）•

105510

:.EY<EX，

二以日利润的数学期望作为决策依据，该4s店每天应该按批发两大箱.

10.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：

方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，

若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元.

（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为1,试写出两种方案中y与x的函数关系式;

（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该

统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更

合适？请说明理由.

【解析】解：（1）由题可知，方案一中的日收费），与X的函数关系式为），=18+60,xeN.

方案二中的日收费y与*的函数关系式为”俄蓝-

（2）设方案一中的日收费为X,由条形图可得X的分布列为

X190200210220230

P0.10.40.10.20.2

所以E（X）=190x0.1+203x0.4+210x0.1+220x0.2+230x0.2=210（元）.

方案二中的日收费为y,由条形图可得y的分布列为

Y200220240

P0.60.20.2

E（y）=200x0.64-220x0.2+240x0.2=212（元）.

所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.

11.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名

工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为二.

3

（1）若出现故障的机器台数为X,求X的分布列；

（2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概

率不小于90%?

（3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，

每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利涧，若

该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望.

【解析】解：（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障

的概率为L

3

4台机器相当于4次独立试验，设出现故障的机器台数为X,则*~4（4,》，

P（X=O）=C：04=?

5o1

P(X=I)=C；.l.(|)3=g,

A。=3）=61）3（令=',

J3ol

则X的分布列为：

X01234

16322481

8181818181

（2）设该厂有〃名工人，则每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修为X,,〃，

则X=0,X=1,X=2,...»X=n,这〃+1个互斥事件的和事件，则：

n01234

P(X<n)16487280

1

818?8?8?

Q&9。％0，

8181

至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不

小于90%.

（3）设该厂获利为丫万元，则y的所有可能取值为18,13,8,

P(y=18)=P(X=0)+PiX=1)+P(X=2)=—,

81

Q

P(Y=13)=P(X=3)=—,

P(Y=8)=P(X=4)=—,

:.Y的分布列为：

Y18