高中数学概率统计讲义+练习：条件概率（含答案解析）

条件概率

知识与方法

1.条件概率的概念

条件概率揭示了P(A),P(AB),P(8|A)三者之间“知二求一”的关系

一般地，设A,8为两个防机事件，目尸(A)>0,我们称A)=£翳为在事件A发

生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

2.条件概率的性质

设P(A)>0,则

⑴P(Q|A)=1；

(2)如果〃与。是两个互斥事件，则P((BuC)|A)=P(8|A)+P(C|A)；

(3)设事件A和8互为对立事件，则P(BlA)=\-P(0A).

典型例题

1.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是。60.7和05,

且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级

的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为()

A15c7-5c17

A.—B.-C.-D.—

298829

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.

【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件ASC,三人中恰有两人没有达到优

秀等级为事件D,

P(A)=0.6,P(3)=0.7,P(C)=0.5,

P(D)=P(ABCuABCuABC)=P(ABC)+P(ABC]+P[ABC)

=0.4x0.3x0.5+0.4x0,7x0.54-O.6xO.3xO.5=0.29,

P网)=P(ABC)+P(ABC)=0.3x0.4x0.5+0.3x0.5x0.6=0.15,

故选：A.

2.我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分

别从“太湖建头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖〃这

6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖建头

渚”，事件8为“两位游客选择的景点相同〃，则P（3|A）等于（）

12I2

A.—B.—C.—D.

II1199

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求得P（8|A）的值.

【详解】由题意，知P（A）=华等=整/（48）=，=上，

6x6366：＜636

所以"四）=需壬

故选：A.

3.湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓

郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州“绿色生态研学，现有甲，乙两所学

校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选

择•条线路去研学，记事件4为“甲和乙至少有•所学校选择万华岩中小学生研学实践基

地"，事件8为“甲和乙选择研学线路不同”，则尸（研4）=（）

1431

A•—B.-C.-D.一

5544

【答案】B

【分析】利用古典概率求出事件AA〃的概率，再利用条件概率公式计算即得.

【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有32个基本事件，

事件A含有的基本事件数是2x2+1=5,则P（A）=|,

4

事件A4含有的基本事件数为2x2=4,则P（A8）="

所"⑻鬻咚

故选：B

4.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加

一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件"甲参加跳高比赛"，事件8="乙参加跳

高比赛"，事件C="乙参加跳远比赛”，则()

A.事件A与8相互独立B.事件A与。为互斥事件

C.P(C\A)=^D.P(B\A)=L

【答案】C

【分析】根据条件求出尸(A)，P(/3)，P(A4),P(4C),由互亲事件的定义、相互独立事件的判

定和条件概率公式进行逐一判断即可

里C.A；=36不同的安排方法,

【详解】对于A,每项比赛至少一位同学参加，则有

事件4="甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有A；=6种方法；

若跳高比赛安排1人，则有C；C；A；=6种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法

121121

共有6+6=12种，则==同理2(8)=*=：；,

363363

若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安

71

排1人，有A；=2种不同的安排方法，所以P(A8)=W=5，

3618

因为P(AB)工P(A)P(B),事件4与8不相互独立故A错误；

对于B,在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时

发生，故事件人与C不是互斥事件，故B错误；

对于C,在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有C；+C；=5

5

种，所以P(AC)=V，所以尸([4)=萼?=孕=2,故C正确；

36尸(A)_12

3

1

「1

P(AB)18-故D

一-

对于D,16

咿同=P(A)

3-

故选：C

5.标有数字1,234,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两

次，每次抽取一张，A表示事件”第一次取出的数字是3"，A表示事件“第二次取出的数字

强化训练

1.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是0.5,小智连续两盘都获胜的概率

是0.4,那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.5

【解析】解：设事件A表示“小智第一盘获胜”，则尸：A）=0.5,

设事件8表示“小智第二盘获胜”,则尸（A5）=0.4,

.••小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是:

还="=08

P(B|4)=

P(A)0.5

故选：A.

2.某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85,超过2500小时的概率为0.35,若某个

灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（）

A,巴D-焉

20

【解析】解：记灯泡的使用寿命为2000小时为事件4,超过2500小时为事件“,

则w）二需嘿得

故选：B.

3.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛

中获胜的概率均为|,且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三

局的概率为（)

?2D.±

AB.-C.

-I535

2I2I2220

【解析】解:由题意,甲获得冠军的概率为+—X-X—+—X—X—=-----,

33333327

?I0I7?

其中比赛进行了3局的概率为』+8

33333327

.・.所求概率为导9|,

故选：B.

4.盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1

个.已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（）

A.\

B-?D-5

【解析】解：第一次抽出的是合格品，则还有9个零件，其中7个为合格品，

故第二次抽出的是合格品的概率是？，

9

故选：C.

5.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两

名医生性别相同”，8表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(A|4)=()

A.-B.-C.-D.-

3734

【解析】解：由题意可得：事件力基本事件数，仁+。；=9；

事件8的基本事件数，C；=3；

71

所以P(8|A)=j=

故选：A.

6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件4为“4个人去

的景点不完全相同”，事作8为“小赵独自去一个景点”，则P(4|A)=()

A3R45D6

7777

【解析】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景

点中选择,可能性为3x3x3=为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为4x27=108种，

因为4个人去的景点不相同的可能性4,-4=252种,

所以。⑹㈤二受4

故选：A.

7.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球,

已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为-.

-5-

【解析】解：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，

甲从中不放回的逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件8表示“第二次取得红

球”,

212II

P(A)=—=—»P(AB)=—x—=—,

636515

.••在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为:

P(8|A)=^^=¥=L

P(A)15

3

故答案为：

5

I33

8.已知P(8|4)=5，P(AB)=记，则。(A)=_-

17

【解析】解：・・P(8M)=—，P(A8)=—,

210

3

P(A8)二1。二3

：.P(A)

2

故答案为：--

5

9.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=

“取出的两个球颜色不同"，事件"=“取出一个红球，一个白球”，则P(8|A)=_2_.

【解析】解i(A”「空野端,

尸(他=等;

C96

P(A8)=3

P(6|A)=

P(A)-T3

故答案为：

13

10.某种疾病的患病率为0.50,患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49,则已知在患该种疾

病的条件下血检呈阳性的概率为0.98.

【解析】解：设事件A表示“患某种疾病”，设事件8表示“血检呈阳性”，

贝I」?(A)=0.5,P(AB)=049,

二.在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为：

P⑷e还="=0.98.

P(A)0.5

故答案为：0.98.

11.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.

(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；

(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第•次取出红球的条件下，第二次取出的是

红球的概率.

【解析】解：（1）放回抽取，每次取得白球的概率均为47=上1，

63

所以两次都取得白球的概率P=」.

339

（2）记“第一次取出的是红球“为事件A,“第二次取出的是红球”为事件8,

则P（A）="=2,P{AB）=—=-,

6x536x55

利用条件概率的计算公式，可得p（0A）=£幽=2x2=3.

P（A）525

12.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

（1）求男生甲被选中的概率；

（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

【解析】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中'’为事

件A,事件A所包含的基本事件数为5种，故P（A）=」.

3

（2）记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件3,则P（/W）=七，由（1）

知P（A）=1,故P（B|A）=^^=L.

3P（A）5

（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C,贝l」P（C）=V，"女生乙被选中”为事件8,

13.某保险公司开设的某险种的基本保费为I万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险

种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下:

本年度出险01234..5

次数

下一次保费0.8511.25L51.752

（单

位：万

元）

设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率

分布列如下:

一年内出险01234..5

次数

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求此续保人来年的保费高于基本保费的概率.

(2)若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.

(3)求该续保人末年的平均保费与基本保费的比值.

【解析】解：(1)设出险次数为事件X,一续保人本年度的保费为事件A,

则续保人本年度保费高于基本保费为事件C,

则2(C)=P(A>a),P(C)=P(x=2)+P{x=3)+P(x=4)+P(x..5)

=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.

(2)设保费比基本保费高出60%为事件B,

小〃-P(BC)P(x=4)+P(x=5)0.1+0.053

P(C)P(C)0.55II

(3)平均保费=0.85x0.30+0.15+1.25+5x0.20+1.5x0.20+1.75x0.10+24x0.05

=0.255+0.15+0.25+0.3-0.175+0.1=1.23,

・•・平均保费与基本保费比道为1.23.

14.某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教.

(I)设所选3人中女教师的人数为X,求X的分布歹J及数学期望；

(H)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女

教师的概率.

【解析】解：(【)X的所有可能取值为0,1,2,3,

且尸(X=0)=痔=4，P(X=1)=警嗡"X=2)=警考,P-3吟

DO

所以X的分布列为:

X0123

P418121

35353535

口…、八4।18、12rl9

故E(X)=0x—+1x----1-2x-----F3x—=一…(6分)

353535357

(II)设事件A为“甲地是男教师”，事件3为“乙地是女教师”,

eClA24CCC2

则P(A)=，^=一，P(AB)=45=-

C7耳7

所以P(8|A)=±辿」.…(12分)

P(A)2

15.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一

道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分

别为3,2」，乙队每人答对的概率都是2.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用

4323

4表示中队总得分.

(I)求g=2概率：

(II)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

【解析】解：(I)P((^=2)=—x—x—+—x—x—+—x-x—=—；...(4分)

43243243224

(II)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件8则

尸(A)=(xC；f|)3+^xC；c|)2xg+；xC；(令X(；)2=；.

ioI1

P(AB)=-XC«(-)X(-)2=_,

1

二.P(8|A)=^^=毕,…(12分)

P(A)16

3

16.甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道

必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得。分，已知甲队3人每人答对的概率分别为

弓，3,乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，儿€表

示甲队总得分.

(I)求随机变量J的分布列及其数学期望4G；

(II)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

【解析】解：(I)由题设知g的可能取值为0,1,2,3,

3211

=0)=(1--)(1--)(1--)=—，

43274

32132I30II

P(^=l)=^(l--)(l--)+(l-^)x-x(l--)+(l-^)(l-^)x-=-

4324324324

321321321II

P(^=2)=-x-x(l--)-x(l--)x-(l--)x-x-=—,

432+432+43224

P(<J=3)=2x-xl=l,

4324

••.随机变量J的分布列为：

00123

P1\_II]_

244244

数学期望E(g)=Ox-!-+l，+2xU+3xL^

24424412

(II)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件8,

则P(A)=-jxC^x(-|)3+^-xCjx(^)2x(l-^)+ix(^x^x(l-^)2,

I221

尸(AB)=±xC；x-x(l--r=—,

433318

1

P⑷止还=乎」

P(A)16

3

17.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,

乙厂产品的合格率是80%,若用事件A、Z分别表示甲、乙两厂的产品，用3表示产品为

合格品.

(1)试写出有关事件的概率；

(2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率.

【解析】解：(1)依题意，P(A)=70%,P(Q=30%,

P(8|A)=95%,P(B|A)=80%