湖南省涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数的相反数是（

）A． B． C． D．2．氧气是人类赖以生存的物质，一个氧原子的直径是，这个数用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．长沙窑创始于唐代，窑址首选发现于今湖南省长沙市郊铜官镇瓦渣坪，故而又称铜官窑，晚唐至五代是其盛期，而衰于五代，产品以青釉为主，器物为家用寻常品，壶和罐的造型多样，其突出成就是创烧了釉下彩绘装饰新工艺．图为一长沙瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（

）

A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同C．主视图和左视图相同 D．三视图各不相同5．的平方根是（

）A．8 B． C． D．6．下列说法中，假命题的个数为（

）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等②如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行③过一点有且只有一条直线与这条直线平行④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米8．某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（

）A． B． C． D．9．如图，等边中，，D是BC上一个动点（不与点B，C重合），交AC于点E．设，的面积是y，则y与x的函数图象大致为（

）A． B．C． D．10．定义一种新运算：m※n＝，下列说法：①若※，则；②若※，则※的解集为；③代数式|2※|＋|3※||9※|取得最小值时，；④函数|※x|的图象与直线※（k为常数）有且仅有两个交点，则．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．分解因式：＝．13．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是．14．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为．15．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当x＝y时，称“整点”P为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则a＝．16．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是．17．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点．若该圆半径是，，则的长是．18．已知平行四边形ABCD中，为边CD上的一动点，则的最小值等于.

三、解答题19．计算：20．先化简，再求值：，其中．21．某调查小组采用随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下不完整的统计图．(1)填空：本次调查的中位数为______小时；(2)通过计算补全条形统计图；（写出求解过程）(3)请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，在点E的运动过程中，当时，请问四边形是什么图形？并说明理由．23．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，，，坐垫E与点B的距离BE为15cm．

(1)求坐垫E到地面的距离；(2)小明的腿长为80cm，根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）（参考数据：，，）24．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元而不超过12万元，应该购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少？25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，是⊙O的直径，是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．【认识图形】（1）求证：直线AB是⊙O的切线；【探索关系】（2）若，探求BC与CD的数量关系；【解决问题】（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求PA和PE的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ABCCCCBCDA1．A【分析】根据给定条件，利用相反数的定义求解.【详解】实数的相反数是.故选：A2．B【分析】根据科学记数法表示即可.【详解】因为.故选：B.3．C【分析】结合幂的运算法则，通过举反例判断A，B，D，结合同底数幂的乘法法则判断C．【详解】对于A，当时，，，，A错误，对于B，当时，，，，B错误，对于D，当时，，，，D错误，对于C，，C正确，故选：C.4．C【分析】根据给定条件，利用几何体的特征判断即得.【详解】观察几何体，知该几何体绕竖直的轴线任意旋转，图形不变，因此该几何体主视图和左视图相同，而俯视图是几个同心圆构成，与主视图、左视图都不相同，ABD错误，C正确.故选：C5．C【分析】利用平方根的定义求解即可.【详解】的平方根是.故选：C.6．C【分析】根据平行线、垂线的性质，平行线公理判断命题真假即可.【详解】①两条直线被第三条直线所截，只有这两条直线相互平行时，同位角才相等，故①是假命题；②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是假命题；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题；综上①②③是假命题，故选：C7．B【分析】根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，在应用勾股定理求得，即得答案.【详解】根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，则，在中，，∴，∴，即点到弦所在直线的距离是米，故选：8．C【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率.【详解】由题意知，祖冲之、刘徽、赵爽是中国数学家，欧几里得不是中国数学家，从4位数学家中随机选取2位是中国数学家的情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽)，共3种，从4位数学家中随机选取2位数学家的总情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽)、(祖冲之,欧几里得)、(刘徽,欧几里得)、(赵爽,欧几里得)，共6种，所以从4位数学家中随机选取2位，2位都是中国数学家的概率.故选：C9．D【分析】根据给定条件，求出函数关系，进而确定函数的图象.【详解】在等边中，，则是等边三角形，，作交于点，则边上的高，因此的面积是，所以y与x的函数图象是开口向下，对称轴为的抛物线的一部分，D正确.故选：D10．A【分析】对①，根据新定义运算判断；对②，根据新定义运算判断；对③，根据新定义分，，，讨论求解；对④，根据新定义分，，讨论，数形结合求解判断.【详解】对于①，由新定义※，即，解得，故①正确；对于②，当时，则，所以※，解得，所以不等式的解集为，故②错误；对于③，|2※|＋|3※|++|9※|，当时，，当时，，当时，，当时，，所以代数式|2※|＋|3※|++|9※|取得最小值时，，故③错误；对于④，|※|，※，当时，，令，则，所以与在第二象限必有一个交点，则在第一象限只有一个交点，联立得，则，，解得，且此时交点为，

当时，，则与有且只有两个交点，

当时，，对称轴为，开口向上，如图，必有两个交点，

综上，函数|※|的图象与※有且仅有两个交点，则或，故④错误.综上，正确的个数有1个.故选：A.11．【分析】二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】根据被开方数非负可得，即，所以代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是.故答案为：.12．【分析】利用提公因式法及公式法分解因式.【详解】.故答案为：13．【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果.【详解】从8个卦中任取一卦，基本事件总数，其中由2根和1根构成的基本事件个数，所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是.故答案为：.14．【分析】根据给定条件，求出点横坐标的关系，进出求出三角形面积.【详解】设，由轴，得，解得，，而边上的高，所以的面积.故答案为：15．【分析】根据平衡整点的定义，列方程即可求解.【详解】由题意可得,化简可得，解得或，当时，点不是整点，舍去，故，故答案为：16．【分析】求出圆锥的底面圆的周长，再求圆锥的侧面展开图的圆心角的大小，结合展开图求结论.【详解】由已知，圆锥的底面圆的半径为，所以底面圆的周长为，设圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，解得：，所以展开图中，由勾股定理可得，所以该蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点的最短路径长是，故答案为：17．【分析】设圆心为，连接,先由相切得，再由四边形内角和求出，则优弧对应的圆心角为，进而求得优弧的长.【详解】如图，设圆心为，连接,因为分别与所在圆相切于点．所以,因为，所以,优弧对应的圆心角为，所以优弧的长是故答案为：18．【分析】过作，交的延长线于，利用三点共线时直线最短即可求解.【详解】过作，交的延长线于，

，四边形ABCD为平行四边形，，又，所以，当三点共线时取得最小值，此时，所以得最小值为.故答案为：.19．【分析】根据绝对值运算和指数运算即可求解.【详解】原式.20．；【分析】根据多项式的运算法则，化简原式为，再将代入计算，即可求解.【详解】解：由＝，当时，原式．21．(1)1(2)作图见解析(3)小时．【分析】（1）先由扇形统计图和条形统计图得到运动0.5小时的人数及所占比例，求出总人数；再根据中位数定义求解即得；（2）由（1）中的总人数求出1.5小时的人数即得对应的条形的高；（3）由总时间除以总人数即得.【详解】（1）由题意可得：小时的人数为：100人，所占比例为：，，∴本次调查共抽样了500名学生；由条形统计图得：第250名、第251名学生的运动时间均为1小时，∴中位数小时，故答案为：1；（2）阳光体育运动时间为1.5小时的人数为：（人）.补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：，则可估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约小时．22．(1)证明见解析；(2)四边形是菱形，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用全等三角形性质、平行四边形的判定推理得证.（2）由（1）的结论，利用等边三角形性质、菱形的判定判断即可.【详解】（1）由点F是的中点，得，由，得，则，因此，又，所以四边形是平行四边形.（2）由，得，由，得是等边三角形，则，又四边形是平行四边形，则四边形是菱形，所以当时，四边形是菱形.23．(1)(2)【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出E到地面的距离.（2）利用直角三角形边角关系求出，进而求出的长.【详解】（1）如图，过点作，垂足为，

依题意，，，在中，，所以坐垫到地面的距离为.（2）如图，过作于，当时，人骑行最舒服，在中，，所以.24．(1)购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元．(2)答案见解析(3)购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是万元．【分析】（1）根据题意，设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元，列方程组求解即可.（2）根据题意，设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，列不等式组求解即可.（3）根据题意，设需要的资金为w万元，列出资金w关于农机具件数m的函数，根据函数性质分析即可求解.【详解】（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．根据题意得，解得答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元.（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，根据题意得，解得．因为m为整数，所以m可取5、6、7．故有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件.（3）设需要的资金为w万元．则，因为，所以w随m的增大而增大，所以时，w最小，此时．答：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是5.5万元．25．(1)(2)最大值为