自主育智 探寻本质-以“长方形和正方形的面积”为例

自主育智探寻本质—以“长方形和正方形的面积”为例课程改革以来，注重操作活动的设计，让学生在自主操作的过程中体验数学新知的形成过程。张奠宙教授指出面积的教学应该突出数学的本质。“长方形和正方形的面积”是“图形与几何”领域内一节十分典型的“种子课”，本节课的学习对后续其它平面图形面积的学习至关重要。如何在数学本质教学的基础上加强对学生自主学习获取新知显得尤为重要。正如我校特级教师杨良春“自智数学”教学主张中提出构建自助、互助、师助和谐共生的“学习共同体”，引领学生通过深度学习，自主获得知识，形成数学核心素养。下面以“长方形和正方形的面积”教学为例浅谈几点思考。情境创设，抓住本质数学课程标准要求教师根据教学目标及要求与学生现有学习经验和状态创设有效教学情境，激发学生的学习兴趣和求知欲望。面积和长度、体积一样，都是可以度量的，学生在本节课之前已经有了度量长度的经验以及用“数”或“算”小正方形（面积单位）的个数求图形的面积经验。基于此认识，创设“比眼力”情境，为新课的教学打基础，为意义建构作好铺垫。【片断1】师：听说咱们三年2班的同学都很优秀，很会观察，接下来老师要考考你们的眼力（出课件）用手势告诉老师几号图形面积更大呢？师：意见不统一，谁有办法？生：铺小正方形、铺上方格纸。师：好，听你们的。(出课件)现在呢？生：面积一样大，都是6平方厘米。师：诶，形状不同，为什么面积都是6平方厘米？生：因为它们都是由6个1平方厘米小正方形组成。师：是的，我们只要通过摆一摆看看有几个面积单位就可以知道图形的面积是多少。师：这是一个大长方形，如果也像刚刚那样一个一个去摆，你觉得怎样？生：不愿意，太麻烦了。师：那看来一定有更好的办法，对吗？生：可以量出长和宽，相乘。师：那长方形的面积一定是等于长乘宽吗？谁知道其中的数学道理。生：（摇头）不知道。师：那今天，咱们一起来研究研究长方形的面积。你们觉得从大长方形入手还是从小长方形入手？生：小长方形。师：讲道理！生：研究小长方形比较容易。师：简单，有道理！那就听你们的。通过复习用小正方形（面积单位）铺一铺、数一数、算一算，明确要知道一个图形的面积可以通过数出它里面包含有多少个面积单位，也就是单位面积的累积。这样的设计抓住了面积度量的本质，直面数学问题，减少非本质因素的干扰。同时，学生基于课外辅导班或家长告知长方形的面积等于长乘宽，说不出其中的数学道理，有效地激发学生的求知欲和需求，并由此开展本节新课的教学。自主探究，围绕本质课程标准指出：动手实践、自主探索、合作交流师学生学习数学的重要方式。本节课作为面积度量领域的“种子课”，凸显数学本质的教学显得尤其重要，这种需要在课堂上把更多的时间和经历让学生自主探究，利用教具拼一拼、摆一摆、算一算，运用知识的迁移，渐渐优化面积计算方法，逐步勾连长方形的长和宽与每行个数和行数之间的关系，建立起一维到二维的初步感知。【片断2】师：在你们面前的白板上有一个长是5厘米，宽3厘米的小长方形。面积是多少？你是怎么得到？温馨提示：如果有困难可以选择信封里学具帮忙。开始吧！师：谁愿意上来分享你的探究成果？1.全部铺满师：（投影学生作品）他做对了吗？生：做对了。师：我们一起来听听他是怎么想的？生1：一个一个摆上小方片，数出来总共有15个，所以面积是15平方厘米。师：他是铺满一个一个数学出来，有没有铺满但不是数出来的？生2：算出来的，每一行有5个，有3行，总共15个小正方形。师：看来同学们可以通过全部铺满找到长方形的面积。有没有同学不是全铺满？2.部分铺满师：他只用了7个，能解决问题吗？生：能。师：你是怎么看出来的？生：摆出一行有5个，有3行，3乘5等于15，所以面积就是15平方厘米。师：是这样的吗？（是的）师：看来只要找到每行个数，行数就能知道图形里面有多少个小正方形（面积单位）。虽然片数很少，仍然能解决问题，还有更少的吗？3.不铺师：他居然1个方片也没用，就用长乘宽也能等于15，这是巧合吗？充分时间想象、思考，指名学生演示，并适时用小竖线作标记。师：回顾刚才的操作过程，虽然一个小方片都没有铺，但是我们都在想办法先量出什么？生1：量出了一行小正方形的个数和行数生2：也就是长方形的长和宽师：那现在谁能来解释解释为什么长方形的面积等于长乘宽？生：一行的个数对应着长，行数对应着宽，小正方形的个数等于长方形的面积，所以长方形的面积等于长乘宽。师：那看来长方形的面积等于长乘宽是有它的数学道理的。师：如果用字母S、a和b分别表示长方形的面积、长和宽，计算公式可以怎样表示？生：S=a×b计算长方形的面积，从“算面积单位的个数”到“算长乘宽”是学生认知上的一个跨越。通过用一个面积单位度量长方形时留下的小竖线与直尺刻度建立起联系，学生在对比中形象的理解力“长方形的面积=长×宽”的数学道理。【片断3】师：当长方形的长逐渐缩短和宽相等时，那正方形的面积又该怎么计算呢？生1：当长方形的长和宽相等时，长方形的长和宽也就变成了正方形的边长和边长。生2：正方形四条边都相等，每行的个数和行数是相等的，所以正方形的面积是边长乘边长。师：如果用字母S、a分别表示正方形的面积、边长，计算公式可以怎样写？生：S=a×a对于正方形面积计算公式的推导，将其纳入“正方形是特殊的长方形”的范畴，通过推理和说理实现意义建构。学生通过类比推理归纳，得到正方形的面积计算公式，知其然还能知其所以然。过程反思，突出本质有效的教学必须设计有效的练习，在考虑基础性和针对性的同时，还应在练习中渗透知识本质的应用，有利于学生深化理解、形成技能。【片断4】师：现在这里大长方形，我们要知道面积，可以怎样做？生：测量出长和宽。师：好，听你们的。那面积怎么算？生：80乘35。师：想象一下，这个80除了表示长还可以想到什么呢？生：这个80还可以表示每行有80个1平方厘米的小正方形。师：宽呢？生：宽35可以表示有这样的35行。师：同学们真会想象！师：现在想象继续，这是分别长方形的一条边，猜猜看几号长方形的面积会更大一些呢？生1:1号长方形，因为1号长方形的长8厘米比2号长方形的长5厘米长。生2：不一定，因为还不知道两个长方形的宽。师：看来同学都考虑的很全面，谜底揭晓。生：2号长方形面积更大一些。师：看来长方形的面积不仅和长有关系还有宽有关。习题充分凸显数学本质的教学，加深学生对长方形面积数学本质的深层次理解与应用，同时，习题环节充分体现“图形与几何”领域想象的味道，充分勾起学生的想象空间，想象的同时回顾整节课的学习环节，数学的简约简便就在此体现。数学的道理渐渐清晰明了，走出课堂学生能有所得有所获，获得充足的满足感和自主感。本节课围