河南省洛阳市2024-2025学年高二年级下册6月期末质量检测数学试题（含答案解析）

河南省洛阳市2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.（x-iyu的展开式的第6项的系数是（）

A.-C；。B.Cf0C.-C：oD.

2.变量x与），的成对样本数据的散点图如卜图所示，据此可以推断变量工与），之间（）

y八

8-•

6-

4-*

2--■

11111・»

O1~~2~~3~~4~~5X

A.很可能存在负相关B.一定存在负相关

C.很可能存在正相关D.一定不存在正相关

3.已知等差数列｛4｝的前〃项和为力，若q+%+%=15,%+&+牝=21,则兀=（）

A.72B.100C.144D.156

4.设随机变量X~N（（）,22）,随机变量y〜N（0.32）,则以下结论错误的是（）

A.尸（|X|G）vP（|y|Ml）B.P（X<0）=P（Y<0）

C.P（-2<X<2）=Pi-3<r<3）D.P（X<-2）+P（X<2）=l

5.若直线y="是曲线y=mx+i的一条切线，则人（）

A.-B.1C.eD.e2

e

6.函数=加+以+1的图象如图所示，则（）

7]\r

A.a<0B.b>0C.c<0D.d<0

7.已知圆C:(x+2『+)；=4,直线/:("7+l)x+2)，-l+m=O(〃zwR),则下列结论错误的是

()

A.直线/与圆C不可能相切

B.当〃7=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.恰有三条直线与圆C和圆V+),2_2x+8〉+8=0都相切

D.直线/与直线2工-(〃?+1))，=()垂直

8.如图，在正方体中，过点A作一平面a,使得正方体的各个顶点都在a

的同一侧，且A，B,。三个点到。的距离分别为3,4,5,则该正方体的棱长为()

&

/"/

A.4x/2B.572C.40D.12

二、多选题

9.(多选题)已知点4一3,—4),8(6,3)到直线/：ar+y+l=0的距离相等，则实数。的值

等于()

A.-B.

9~3

\_

C.—D.

93

10.在一个抽奖游戏中，有四个编号为1,2,3,4的外观相同的箱子，其中只有一个箱子

试卷第2页，共6页

里有奖品（只有主持人知道哪个箱子有奖品）.游戏规则是主持人请抽奖人在四个箱子中选

择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人首次随机选择了一个箱子，在抽

奖人打开之前，主持人先打开了剩下的三个箱子中的一个空箱子，此时抽奖入有一次重新选

择的机会，则以下说法正确的有（）

A.抽奖人在初始选择中，每个箱子中奖的概率均为:

4

B.主持人打开一个空箱子后，每个箱子中奖的概率均为g,抽奖人不必换选箱子

C.主持人打开一个空箱子后，抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率升至?

O

D.每个箱子中奖的概率始终为;，主持人打开一个空箱子后，抽奖人不必换选箱子

11.如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C：y2=2px（p>0）绕其顶点分别

逆时针旋转90。，180。，270。后所得的三条曲线及C围成的，若P=l,则下列说法正确的是

（）

A.开口向上的抛物线的方程为y=

B.四叶图上两点间距离的最大值为2夜

C.动直线x+），=/（代R）被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为当

D.四叶图的面积大于4且小于8

三、填空题

12.与椭圆工+《=1有公共焦点，且渐近线方程为），=？["的双曲线的标准方程为___.

49244

13.从4名男生和3名女生中选出3人参加一项创新大赛，要求选出的3人中必须有女生,

且男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则有种不同选法（用数字作答）.

14.如图，两条异面直线〃、力所成的角为?在直线a”上分别取点4,七和点A,F,使

AA

(1)求A;

(2)若Z?=c=3,点DE,F分别在边AC,BC,A3上，6=1,将△用步沿着线段对

折后，恰好使得点B与点。重合，求.QEE的面积.

17.已知数列｛4｝的前〃顶和为S。，且《=1,5”=《勺”(〃£产).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵在数列｛2｝中，包=4+1。83工，求数列色｝的前〃项和

18.如图，在四棱锥2ABe。中，平面A4O_L平面ABCO,底面ABCO是边长为2的菱形,

NB4O=60。，PA=PD=42,£是BC的中点，点Q在侧棱PC上.

⑴求证：AIUPB；

(2)是否存在点Q,使。。与平面。EQ所成角的正弦值为更，若存在，求瞿的值；若不存

5iC

在，请说明理由.

已知椭圆C:/+/=lg"O)的离心率为当

19.，且点A(百」)在椭圆上

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵椭圆。的左焦点为F，若T为直线人=-3上一点，过点尸且与"'垂直的直线交椭圆。丁

P，Q两点，线段PQ的中点为M

(i)证明：点M在宜线07上(0为原点)；

(ii)求AOP。的面积的最大值，以及此时点7的坐标.

20.已知函数/(x)=er-e-v+ax(aeR).

⑴当〃=-2时，讨论/(X)的单调性;

⑵若/(X)存在两个极值点演，与，

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：＞〃+2.

司一9

试卷第6页，共6页

《河南省洛阳市2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CACABCBBBCAC

题号11

答案ACD

1.C

【分析】先写出二项式展开式的通项,通过通项即可求解.

【详解】由题得乙二£。产r(-l)«=OJ2,10),

令r=5,所以7；=C：OX5(T)5=—C：OX5,

所以3-1尸的展开式的第6项的系数是-C1

故选：C.

2.A

【分析】根据散点图以及相关关系的定义判断即可.

【详解】从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势,

所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关.

故选：A.

3.C

【分析】根据等差数列的性质及通项公式、求和公式”算得解.

【详解】由41+%+%=3%=15,解得%=5,

由42+%+%=3%=21,解得%=7,

所以d=〃4一/=7-5=2,q=6-2〃=5-4=1,

所以工=124+^^x1=12+132=144,

故选：C

4.A

【分析】根据正态曲线的性质一一判断即可.

【详解】因为X~N(O,22),则〃=0,5=2,y~Mo3),则〃=0,%=3,

对于A：因为?<%，所以随机变量X所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，

答案第1页，共14页

所以尸(|x|wi)>p(|y|wi),故A错误；

对于B：由于两个随机变量的均值都为0,所以p(x«o)=p(y«o)=g,故B正确；

对于C：P(-2<X<2)=P(//-cr1<X<z/+cr1),P(-3<r<3)=P(x/-cr2<X<//+cF2),

所以尸(―2KX42)=P(—34丫43),故C正确；

对于D：由正态曲线的对称性可知，P(X<-2)=P(X>2),

所以尸(XW-2)+P(X<2)=尸(X<2)+P(X22)=1,故D正确.

故选：A.

5.B

【分析】设切点为(41na+l),由斜率得出&=5,乂切点在切线上，则lna+l=①，解方

程组即0J.

【详解】设切点为(a』na+l),因丁=一，则切线斜率为一,即攵=/

又点(c/Jna+l)在切线y=丘上，则hi〃+l=hr,解得々=1.

故选：B.

6.C

【分析】先求解出了'(X)，再根据/(X)的图象分析4/Md的取值情况，由此判断出结果.

【详解】因为/(力=«1+匕/+以+d,所以/'(力=3加+2/2K+C,

由图象可知：/(%)先增后减再增，所以广(力先为正，再为负，最后又为正，所以。>0,

因为%，9为/("的两个极值点，且%9<0,所以以〈°，所以cvO，

又因为〃0)>0,所以d>0.

由结合图象可知3ap+2历+c=0的一正一负两根中，正根的绝对值大于负根的绝对值，

故两根之和大于0,即-?>0.

5a

由。>0可知Z>v0.

综上可知：t?>0,〃<(),c<0,〃>().

故选：C.

7.B

答案第2页，共14页

【分析】对于A项，求出直线/经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B

项，代入,〃=0,得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案：对于C项，根

据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆

心、半径，列出方程，求解即可得出答案.

【详解】对于A项，整理直线/:(〃?+l)x+2)，—l+〃?=0Q〃eR)

可得出m(r+1)+.r+2y-l=0,

解方程组|x+2；_]=0可得二;，直线/过定点A(T1).

圆C:(x+2)2+)，2=4的圆心为C(-2,0),半径为〃=2,

则|AC|=J(_2+])2+(0_l)2=正<2,

所以点A在圆内，即直线/过圆内一定点，

所以，直线/与圆。一定用交，不可能相切.故A正确；

对于B项,当〃?=0时，直线/化为x+2)，-l=0.

此时有圆心。(一2,0)到直线/的距高d=里”=挛，且1<d<2,

VI'+225

因此圆C上只有两个点到直线/的距离等于I.故B错误；

对于C项，圆/+)，2—2x+8y+8=0可化为(x-iy+()，+4)2=9,

圆心为M(LT),半径为R=3.

因为|MC|=5=r+R,所以两圆外切，

即恰有三条直线与圆。和圆V+丁―+8、，+8=0都相切，故C正确:

对于D项，因为(〃?+1)X2-2(〃7+1)=O,

所以直线/与直线2x-(，〃+l)y=0垂直，故D项正确.

答案第3页，共14页

故选：B

8.B

【分析】以A为原点建系，设正方体的棱长为〃，平面。的法向量为〃?=a，yz),根据点到

面的距离公式列出关于％y，ZM的方程组即可求解.

【详解】以A为原点，ADAZAAA所在直线为川*轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为〃，

则4(0,0,0)，4(0,0,4),8(040),£>(40,0),0件0仁，4(4。°),

则A4,=(0,0,a),A3=(0,G,0),AO=(a,0,0),04=(—/a—9，

设平面仪的法向量为〃7=(x,)\z),

M•可|同AD-m

则一3,-5,

|,M|J/+9+z?

则x2+y2+z2

令f=25k,y2=16k.z2=9k,k>(),则50A=a2,

设AQcAA=。，则。为线段A。的中点,

因A，。到。的距离分别为3,5,则0到。的距离分别为4,

因Aea,且。为线段AQ的中点，则R到。的距离分别为8,

•川—|av+«z|_|a¥+«z|_|av+«z|

则=|x+z|=8,

帆y]x2+y2+z2V50la

又B到。的距离为4,则08〃a,PJiJ—^x+ay--|z=0,即2y=x+z,则|),|=4,

贝！j左=1,a=5\/2>

则该正方体的棱长为5&.

故选：B

答案第4页，共14页

【分析】根据A和〃到直线/的距离相等，利用点A和点3到直线的距离公式，由

1-3«-44-11|6〃+3+1|一,

J------[=।/、।求解.

\la2+\

【详解】因为A和3到直线/的距离相等，由点A和点8到直线的距离公式,

|3a4I1|_|6<2I311|

可得

J/+1J/+1

化简得W+3|=|6a+4|,

所以3a+3=±(6a+4),

71

解得a二或一§，

故选：BC.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离，还考杳了运算求解的能力，属于基础题.

10.AC

【分析】根据古典概型判断A,B,D选项，根据条件概率判断选项C.

【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下，每个箱子中奖的概率均

为！,即A正确；

4

对于B选项，主持人打开一个空箱后，抽奖人最初选的箱子中奖的概率仍为;，而非?，剩

43

余未选的箱子中，每个箱子中奖的概率提高了，故抽奖人需要换选箱子，故B错误；

对于c选项，抽奖人刚开始选错的概率为。，换选时在剩余的两箱中选中奖箱的概率为:，

42

所以抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率为］,故C正确；

O

对于D选项，初始选择后每个箱子中奖的概率始终为;，但主持人打开空箱后，未选的箱

4

答案第5页，共14页

子概率变化了，并非始终为；，故抽奖人需要换选箱子，故D错误.

4

故选：AC

11.ACD

【分析】对于A,利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B,

联立抛物线方程，求出点A的坐标，四叶图上两点间距高的最大值为对FC,由图

像对称性，当与0A平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求

切点根据对称性再得到即可求弦长最大值；对于D,第一象限花瓣的

面积大于四边形。MAN的面积且小于以04为长，MN为宽矩形的面积，求得相关面积即可.

【详解】由题知〃开口向右的抛物线方程为2工，焦点

所以开口向上的抛物线方程为/=2），，即），=；/,故A正确；

y2=2xfx=2..

又2.=所以A2,2,

f=2），[y=2

根据对称性可得四叶图上两点间距离的最大值为210Al=4a,故B错误;

且在第一象限的区域关。4对称，直线x+），=/与

直线。4垂直,

所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与04平行的直线分别与抛物线相切时,

设切点为M，N,开口向上的抛物线方程为y=,

又y'=x=i,所以切点由对称可得切点

此时弦长最大值=故c正确;

由图知第一象限花瓣的面积大于四边形OMAN的面积,

且小于以。4为长，MN为宽矩形的面积,

答案第6页，共14页

•・•MN1OA]MN\==2夜，.二SOMAN=1|M/V||OX|=1,

以OA为长，MN为宽矩形的面积S=2五x"=2,

2

所以阴影区域面积大于4且小于8,故D正确；

故选：ACD.

12.--^-=1

169

【分析】通过椭圆表达式求得C?=25,再由渐近线得双曲线4/的关系式，结合双曲线的

。2=/+从即可求解.

【详解】由题知/=49-24=25,焦点落在x轴，

又渐近线方程为丁=±1二则2所以£=2,

又02=42+62=25,解得/=16®=9,故双曲线的方程为二-£=1.

169

故答案为：—-^-=1.

169

13.22

【分析】分甲入选，乙没入选；乙入选，甲没入选和甲乙均入选三种情况，求出不同选法相

加即可.

【详解】若甲入选，乙没入选，则从除甲乙外的5人中至少选择1个女生，有C；C；+C；=7

种情况，

若乙入选，甲没入选，则从除甲乙外的5人中随便选择2人，有C；=10种情况，

若甲乙均入选，则从除甲乙外的5人中随便选择1人，有C；=5种情况，

综上,共有7+10+5=22种情况.

故答案为：22

14.夜或#/#或&

【分析】根据空间向最基本定理，将EF用£4,AAA/；表示出来，借助于相关模长、夹角

条件，利

用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得.

【详解】

答案第7页，共14页

7

则IE万『=(EA，+A4+A尸产WEA『+14*2+14用2+2^.^+2Al.AF+2E4.AF

当E4'-AF=1时，可得1+/+4+2=9，解得：d=&：

当EA-AP=-1时，可得l+/+4-2=9,解得d=娓.

综上可知，即公垂线段AV的长为&或指.

故答案为：母或瓜.

15.(1)能认为不同性别的游客对该活动的评价有差异；

37

⑵分布列见解析，

2o

【分析】(1)根据列联表并应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想得结论；

(2)由题设X所有可能取值为0,1,2,并求出对应概率，写出分布列，进而求期望.

【详解】(I)零假设为不同性别的游客对该活动的评价没有差异.

根据列联表中的数据,计算得到72=150x(30x60-20x40)2/5«5.357>3.841=x005»

50x1()0x70x8014

故依据小概率值。=0.05的独立性检验，我们推断儿不成立，即能认为不同性别的游客对

该活动的评价有差异.

(2)根据题意，用频率估计概率，女性对活动非常满意的概率为王40=亍4，男性对活动非常

满意的概率为崇:.

所以X所有可能取值为0,I,2,MP(X=O)=^-^UI-1J=A,

>

p(X=l)=h-llx-+-Xf|p(x=2)=-x-=-.

、，I7)47I28I7747

故X的分布列为

答案第8页，共14页

X012

3133

P

28287

n3.13337

E(X)=Ox—x1xF2x-=—.

,)2828728

16.⑴A=]

⑵遮

80

【分析】（I）由正弦定理和辅助角公式可得A=《；

（2）设BE=DE=x,则CE=3-x,在.CED中，由余弦定理可求解OE,同理OF,进而求

解-DE尸面积.

【详解】（1）由正弦定理，可得

sirt4cosc+\/3sirL4sinC=sinB+sinC»

sinAcosC+\/3sin4sinC=sin(A+C)+sinC,

sin人cosC+GsinAsinC=sin>4cosC+cos/lsinC+sinC,

，Gsin/l-cosA=I,即sin]=—.

k6)2

在VA4c中0<A<兀A=即4==.

666663

(2)设BE=ED=x,则CE=3-x.

在△CEO中，由余弦定理可得。序=5+CE2_2CD,/.cosg,

J

即x2=I2+(3-Jt)2-2xlx(3-x)x-,解得x=2.

25

7

同理，在△AH)中，由余弦定理可得。〃=:.

4

又ZEDF=NB=5,

・c_1._177>/3_49>/3

••Scc——DE•DnFr•sinN/ErZn)/r一一x—x—x——-------・

阻n2254280

[1,(〃=1)，

",⑴"”=：2.3/(,?>2).

2

(2)7；=3”T+gl,neN\

答案第9页，共14页

【分析】(1)利用，结合等比数列的通项公式即可求得勺.

[Sn-Sn_rn>2

(2)先由(1)得二=2-31+〃一1,再利用分组求和法求解即可.

【详解】(1)当〃时，可得：&=2S|=24=2；

当〃22时，Sn=1crfl+1,$“_|=我，

两式相减，得即%=3(,

所以当2时，｛4｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以%=2-3-々,

因为卬=1不满足上式，

所以叫[12,.3\(72=1),

(2)当〃=1时,4=1；

当〃之2时，5,=323小，所以"=23-+〃_1,

0,2

A7；1=14-2(3+3+3++3"-2)+口+2+3+-1)]

〃=1时，3^+，!•=】，上式也成立.

••r=3+--------,〃eN.

“2

18.(1)证明见解析

⑵存在,震=;或土

【分析】(1)取AO中点。，连接OP,0B,结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定

理得4。3_平面PBO,进而利用线面垂直的性质定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，设PQ=/PC,则。卜2/,后,1一)，求出平面。EQ的

法向量，利用线面角的向量公式列方程求出匕即可得解.

【详解】(I)证明：取4。中点0,连接OP,OB.

VPA=PD,/.HOA.AD,

答案第10页，共14页

在菱形ABC。中，NBCD=60°,可得一阴。为等边三角形,

ABO1AD,又・・・P0,BOu平面P80,且P0c80=0,

)

，")_1_平面/8。，・・・出?(=平面。8。，・・.4)，心.

(2)解：VPOVAD,平面Q4DJL平面ABCO,平面BAQc平面A8C£)=AD,

且POu平面处。，，PO_L平面A8CQ,

以。为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,2轴建立如图所示空间直角坐标系,

MD(-l,0,0),E(TGO),P(0,0,l),c(—2,6,0),

假设存在点。满足题意，设PQ=fPC,/«05，

则OQ=O尸+PQ=OP+f尸C=(0.0,l)+/(一2,6,-1)=卜2r,®』T),

.\C(-2r,V3M-r),DE=(0.V3.0),OQ=(「2f,G，T,DC=(-1,73,0),

设平面DEQ的法向量为n=(x,)，,z),

nDE=y/3y=0,

/iDC=(l-2/)x+x/3ry+(l-/)z=0,

t-\

令z=l,则y=。,x=----

1—2/

13

设0c与平面所成角为。，则，解得f=g或/=1.

JJ

••・存在点Q,使得。。与平面。£Q所成角的正弦值为更，此时黑=；或"

5/(,J3

19.(1)—+^=1

62

(2)(i)证明见解析；(ii)面积最大值为白，点T的坐标(-3,±1).

【分析】(1)利用离心率和椭圆过的点列方程求解即可;

答案第11页，共14页

（2）（i）设PQ,y）,Q（w，M，易知直线PQ的斜率不为O,设。。的方程为1=/号-2,

代入椭圆方程，韦达定理，求出PQ的中点M坐标，进而有心”=女”，即可证明；

（ii）由（i）可得s.二巫晅亘,利用基本不等式求得△OPQ的面积最大值及此时

O,Q〃/+3

点T的坐标.

222

【详解】（1）由题知£=@，:…-旦a，Ah=a-^=^t

a333

a=

又（"）+—=1***•R»b=>/2»

・•・椭圆c的标准方程为E+f=1.

62

（2）（i）由题可设P（x，y）,。（9,丁2），PQ的中点为M（Xo，）b），

若青线PQ的斜率为0,不存在满足"_LPQ的点。故设PQ的方程为x=〃?y-2,

代入椭圆方程得（>+3*一4⑺-2=0,

4〃?2m6

则)1+%=2,')'l')'2=-2"7，＞0=2।M=2-T

m+3m+3m+3m+3

的方程为）」0=T〃（X+2）,令K