函数的极值与最大（小）值（第二课时）学案-2025-2026学年高二数学上册（人教A版选择性必修第二册）

第五章一元函数的导数及其应用

532•函数的极值与最大(小)值(第二课时)

学习指导

课标要求核心素养重难分析

1、理解房数最值的概

念，明确最值与极值函数最值的概念

的区别与联系

重点

、掌握利用导数求闭

2最值与极值的区别与

区间上连续函数最值

联系

的方法与步骤通过学习函数的最值，培养

数学抽象、逻辑推理素养：

3、能运用函数的最值

利用导数求函数最值，提升

解决实际生活中的优利用导数求闭区间上

数学运算、数学建模素养

化问题连续函数最值的步骤

难点

能将复杂的实际问题

转化为函数的最值问

题

新知导入

在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大,

哪个值最小.如果%0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么/(%0)不小(大)

于函数y=/(x)在此区间上的所有函数值.

在下图中左图、右图中，观察［a,b］上的函数y=/'(%)和y=g(%)的图象，它们在

［a.b］上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

最大值和最小值.

结合上图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=/(%)的所有极值连同端点

的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

知识清单

知识点一函数的最值

1.函数的最值:一般地，如果在区间上函数y=/（x）的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数），=/（©的所有连同端点的函

数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

2.一般地，求函数），=/"）在区间m力1上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数），=/（©在区间上的极值；

（2）将函数），=/a）的各极值与端点处的函数值/（〃），/（〃）比较，其中最大的一个是

,最小的一个是_____________.

3.可以按如下步骤画出函数/lx）的大致图象：

（1）求出函数/（九）的定义域；

（2）求导数广。）及函数（⑶的;

（3）用/'（X）的零点将/a）的定义域划分为若干个区间，列表给出了'（X）在各区间上的正负，

并得出了（x）的单调性与极值；

（4）确定了（x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出了（%）的大致图象.

例题讲解

例1求函数f（x）=\x3-4x+4在区间［0,3］上的最大值与最小值.

小结：

一般地，求函数y=/(x)在区间［Q,句上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在区间(Q,b)内的极值；

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值/(a)J(b)比较，其中最大的一个是最大

值，最小的一个是最小值.

例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是0.8兀丁2分，其中r(单

位：cm)是瓶子的半径.已知每出借1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制

作的瓶子的最大半径为6cm.

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

思考.

“‘换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象(如图)上观察，你有什

么发现？

从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0,即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与

饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值.

A.2B.-C.-D.5

22

3.(多选)已知/〃>(),w>0,且〃?+〃=1,则下列结论正确的是()

A.2阳+2M+I的最小值是4；B./z+sinm<I恒成立；

C.k)gy〃+log2〃4-2恒成立；D.:祈+2〃-的最大值是挛+1-

4.已知函数/(x)=2sin汇+sin2、，则/(力的最小值是___________.

5.已知函数f(x)=—,则f(x)的最大值为.

er

6.若关于x的不等式InxWor+l恒成立，则a的最小值是.

7.若存在x£(0,+oo),使得xe，Wlnx+x+2a成立，则实数。的最小值为.

8.已知函数=xlnx.

(1)求/(x)在(/>0)上的最小值；

(2)当1>2时，/(x)>A(x-2)恒成立，求正整数2的最大值.

答案以及解析

知设清单

1.口，例连续不断极值

2.3/)最大值最小值

3.零点

例题讲解

解：由上一节课例题可知，在区间［0,3］上，当x=2时，函数/(X)=1X3-4X+4有极

小道，并且极小值为/2)=-?.

«3

又由于/(0)=4J(3)=1,所以，函数/(x)=i%3-4%+4在区间［0,3］上的最大值是4,

最小值是一：.

解：由题意可知，每瓶饮料的利润是

4/r3\

y=f(r)=0.2x,nr3—0.8nr2=0.8TTI——r2L0<r<6.

所以尸(r)=0.8zr(r2—2r).令f，(r)=0,解得r=2.当r6(0,2)时尸(丁)<0；当r6

(2,6)时，/z(r)>0.因此，当半径r>2时，//(r)>0,/(r)单调递增，即半径越大，利

润越高；当半径丁<2时，/Xr)<0,/(r)单调递减，即半径越大，利润越低.

(1)半径为6cm时，利润最大.

(2)半径为2cm时，利润最小，这时/(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的

成本，此时利润是负值.

课堂练习

1.B

【分析】根据最值与极值的关系直接判断.

【解析】解：函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；

函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；

函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；

函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误.

故选:B.

2.答案：B

解析：由题/'(X)=X2-2X=MX-2),

所以当x«T0)时，./(力>0,单调递增；当x«0,l］时，r(x)<0,〃”单调递减,

所以“X)四

故选：B.

3.答案：A

解析：函数/*)的定义域为0+8),广(幻二工-二=一，

XXX

当〃工0时，尸(x)>0在(0,十8)内恒成立，

所以函数f(x)在(0,+8)内为增函数，此时f(x)无最小值，

当4>0时，由尸(M>o,得了>。，由,f'(x)vo,得0cx<a,

所以函数/(x)在(0,编内为减函数，在(。，+8)内为增函数，

故当时,/(x)取最小值，即/(0向=/(a)=ln〃+l=l,故。=1.

故选：A.

4.答案：C

解析：因为/'⑴=cosx-1W0在区间［0,可上恒成立，

当且仅当x=0时，取等号，

所以/(力在区间［0,兀］上单调递减，

则f(力在［0,兀］上的最小值是/⑺=sin7i-7i=-7i,

故选：C.

5.答案：C

解析：设f(X)=g(X2)=l，则X|=e'，x2=2t-2f

所以$一七=e'一2，+2,令〃(r)=e'-2r+2,

则"Q)=e'-2,

令/(/)<0=/<ln2,函数力⑴单调递减，

令%?)>0=f>ln2,函数〃⑴单调递增，

所以力⑺min=如n2)=eln2-21n2+2=4-21n2,

即再一吃的最小值为4-21n2.

故选：C.

6.答案：C

解析：由/(力二m我+1求导，得/(力=1m+1一二(X>0),

XX

当冗w(o,i)时,r(x)<o,/(力单调递减；

当XG(I,")时，r(x)>o,单调递增，

所以/⑶湎=/⑴=1，

"A1』一11e2+le2+le2+le2-l

又/-=e--=----,f(e)=e+-=-----，----->1,----->-----,

(ejeeeeeee

所以函数〃力在%e上的最大值为?，

「1]「e2+T

因此函数在-，e.卜的值域是1.—.

故选：C.

7.答案：一;

y22

解析：f(x)=x--x+at则/⑴=3x-3x=3x(x-1),

令;(x)=。，得x=0或x=l.

当-lvx<0时，/(x)>0,则/(4为增函数;

当o<x<i时，ra)〈o,则/(力为减函数.

・・・当x=0时，/(x)取得最大值为。，得。=2,

X/(-l)=-l--+2=--,/(1)=1--+2=-.

.•.在［一覃］上，/(力的最小值为一；.

故答案为：一；.

课后练习

1.B

【解析】求出导函数/'(幻，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最

小值.

【解析】解：因为八x)=3f—12=3(x+2)(x-2),于是函数/⑶=云_⑵在(-3,-2)上单调递增,

在1-2,1)上单调递减，

/(1)=1-12=-11,〃-3)=-27+36=9,得函数八幻=工3-⑵在区间上的最小值是f(l)=Tl.

故选：B.

2.答案：C

解析：•；〃>()，〃>0，〃+1=1，/.b=>0，则

b\-a

L上△+^=-4--,设/(〃)=，+上，其中0<"1，

aab+2a1+？a2-aa2-a

\-a

・，A"二号竽令解得：。二g.

当ovovg时，/'m)<o；当|<〃<1时，rm)>o；

(2]34,39

当4=2时，取到极小值，也是最小值为:

3

3.BCD

【分析】A.利用基本不等式求解判断;B.令y=〃+sin〃I,得到/(〃7)=sin〃?-相机日0,1),用导

数法判断；C.利用基本不等式结合对数运算求解判断；D.由

含+&=韶+高==吊，令〃加品,'0°」),用导数法求解判断

【解析】A.2'"十2""=2>/2'"2=4,当且仅当2"=2"",即"?="卜1,即，?-。,而-1等号成

立，而〃>0,故错误；

B.令y=〃+sin/〃-1,因为">0,〃>0,口/〃+〃=1,所以/W)=sin〃Lm,/?ZG(0,1),贝lj

f(m)=cosm-\<0f所以/(加)在(0,1)上递减，则/("?)</⑼=0,即〃+sinm<l,故正确；

C.因为心0,〃>(),且+〃=所以生产=：,当且仅当机=机=；时，等号成立，则

IZ，4L

log”％+log2n=log2mn<log2^=-2,故正确；

2mn_2(1-/?)n_2-n

D,因为1+加〃/+〃++〃

令/(〃)=,〃e(0,1),则/'(〃)=7-7~-一审,«€(0,l),

ffJ+lJ-n(/+]_〃)

令/(〃)=0,解得〃=2-员(01).〃=2+百任(0.1)

当0<〃<2-6时，r(〃)>o,当2-石时，r(〃)<o,

所以当〃=2-旧时，当+―取得最大值挛+1,故正确.

n+mm+〃3

故选：BCD

4.答案：一巫

2

向军听：f\x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2

I/\

=2(cos/+1>(2COSN-1).令/'(x)>0,得cosx〉一，即/3)在区间2kn—,2kn+—(ZEZ)内

213T

单调递增;令/'(x)<0,得cosx<4，即/(x)在区间++/EZ)内单调递减.则

2v33>

r/(^)imin=f2A兀一1=一一---

5答.案：4

e

解析：函数/“)=上的定义域为R,求导得/(()="(3-x),当x<3时，,(x)>0；当X>3

e'e'

时，f(x)<0,函数/(x)在(-oo,3)上单调递增，在(3,y)上单调递减，所以当工=3时，f{x)

取得最大值"3)=与.

e

6.答案：4

e~

解析：由于x>0，则原不等式可化为生土口工〃，设/3=12口,则

XX

(Inx-l)=2_]nx,当X£((),/)时,/。)〉0,“力递增;yo),广⑺<o,

'X2X2

/(“递减，可得〃力在工入2处取得极大值，

且为最大值二.所以cd，则。的最小值为

e~e~e~

7.答案：1

2

解析：由题知xe”In(疣、)+2〃，令屁'=/>0，即2〃Nr-ln，，因为存在xe(O,y)，使得

_reYlnx+x+2a成立，所以2心上一1nqm,令g(/)=/—hV,">0),g'(/)=1—;=()n/=1，

所以g(/)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)单调递增，所以=即2〃21，a>^

所以实数。的最小值

2

/l।nr,r>-1

.答案：(f(x).二e

81)J\/minII.(2)2

—,0<r<-

ee

解析:(1)由题意,x>0，在〃x)=xlnx中,/,(x)=lnx+x—=lnx+l，

当/'(冗)=0时,解得x=e"=L若则当+时，/

e

函数/⑴在［