人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 单元检测卷（含解析）

第二十一章一元二次方程检测卷数学九年级上册人教版

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.用配方法解方程6x=3时，配方结果正确的是（）

A.（x+3y=3B.（x+3）2=12C.（x-3）2=3D.（x-3）2=12

2.若x=3是关于x的一元二次方程炉_如+3=。的一个根，则〃?的值为（）

A.1B.4C.-1D.-4

3.在一次同学聚会时，大家相互握手问候.如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么

参加这次聚会的同学共有（）人

A.9B.10C.45D.46

4.一元二次方程9/=5-4x亿为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）.

A.9,5,-4B.9,4,-5C.9,-5,4D.9,-4,5

5.关于x的一元二次方程f+3xr〃2=O根的情况，下列说法正确的是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.根的个数与小的取值有关

6.以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹

路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱.某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品,

3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为「根据题意，下列方

程正确的是（）

A.100（1+x）2=144B.100（1+/）=144

C.1（X）（1+2x）=144D.KX）（l+x）=144

7.为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地.若

长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70川的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设

置两个开口宽为1m的进出门（如图）.设垂直于墙的长方形边长为.vm,则下列方程正确的是（）.

A.x（72-2x）=480B.x（68-2x）=480

C.x（72-x）=480D.x（68-x）=480

8.对于一元二次方程如2+6+。=0（。/0）,和以下结论:

①若a+b+c=O,则82_4ac20;

②若方程o?+c=0有两个不相等的实根，则方程依2+法+c=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程渡+bx+c=O的一个根，则一定有ac+8+l=0成立；

④若方程aP+法+c=0的两个实数根分别为4、一3,则方程小一（2〃一〃）工+。一8+。=0的两根为3,

-4.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

9.把方程Y+2x-3=0变形为（4+〃『=攵的形式，其中介，攵为常数，则攵的值为.

10.设机，〃分别为方程2025=0的两个实数根，贝力/-3/〃-5〃=.

11.已知关于x的方程（Z-2）f-x+l=0（%为常数）有两个实数根，则左取值范围为一.

12.若f是方程-2程+x+9=0的一个根,则。-1）（2，+1）的值为.

13.已知+J15+X2=8,则式子J19-1一J15+f的值为.

14.“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也

是证明勾股定理的一种思想方法，如图所示,在矩形43。。中（AB>AD）,以A。为边作正方形ADEF,

在庄的延长线上取一点G,使得ZDGC=RtN,过点。作DH_LDG交48于点儿过点〃作，K_LGC

于点K.若AF=2,BF=3FH,则之〃的长为.

AHFB

15.《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图.想要在一幅长为50cm,宽为30cm的《兰亭集

序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图.设金色纸边的宽为“cm,若要使

整个挂图的长与宽之比为3：2,则可列关于x的方程为.

16.定义：对于任意实数a,b，c,d,有[。，句*[c,d]=ac-bd.其中等式右边是通常的乘法和减

法运算,如：[3,2]*[5,l]=3x5-2x|=l对已知类于]的方程上间*卜+5,5]=0有两个不相等的实数

根，则制的取值范围是.

三、解答题

17.解下列方程:

(l)4?-4r+l=0：

(2)2X2-5X-7=0.

18.解方程：

(1)2X2-5X+2=0(配方法);

(2)-31=1一/(用公式法).

19.今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额

是前六天总营业额的12%.

⑴求该商店这七天总营业额；

⑵今年，该商店3月份的营业额为35力元，4、5月份营业额的月增长率相同.六月份这七天的总营

业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率.

22.今年11月份，某商场购法了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买7恤，12000元购买衬衣，

每件r恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进r恤的数量是衬衣的2倍.

⑴求商场购买7恤和衬衣的进货单价；

(2)商场在销售过程中发现，当丁恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件12()元时，平均

每天可卖出50件7恤，30件衬衣，据统计，衬衣的俏售单价每降低5元,平均每天可以多卖出5件.为

减少库存，商家在保证7恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使7恤和衬衣平均每天

的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？

23.我国古代数学家赵爽(公元3〜4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的

几何解法.以方程Y+2x-35=0即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方

形，其面积可以表示为(x+x+2『，同时其面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即

4x(x+2)+22,故得到(x+x+21=4.r(x+2)+22,HP(x+x+2)2=4x35+4=144,进而求出方程的

请利用此法解方程V—4犬-12=0

《第二十一章一元二次方程检测卷-数学九年级上册人教版》参考答案

题号12345678

答案DBBBCAAB

1.D

【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键.

将方程左边配成完全平方形式即可求解.

【详解】解:原方程为x2-6x=3,

两边同时加上9,得：X2-6X-9=3+9

左边写成完全平方形式：*-3）2=12.

故选：D.

2.B

【分析［本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，将已知根代入方程，解关于加的一

元一次方程即可.

【详解】解：将工=3代入方程/—心+3=0,得：32-/«-3+3=0,

解得：m=4,

因此，机的值为4,

故选：B.

3.B

【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可.

【详解】设有“名同学参加聚会.每人与其他〃-1人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次,

因此总握手次数为由二D.根据题意，总握手次数为45次，列方程：

2

——^=45,

2

整理得：

tr一”-90=0

解得〃।=10,〃2=-9（舍去）

故选B.

4.B

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键.元

二次方程的一般形式为d+bx+c=。（〃、b、c为常数，。工0）,其中〃叫做二次项系数，。叫做一

次项系数，。叫做常数项，由此解答即可.

【详解】解：由9K2.5-4”得9/+4彳-5-0，

所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9,4,-5,

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关

键.根据判别式的公式A=〃2—4ac,找到题目中相应的数据a=l,h=3,c=-nr,代入判断即可.

【详解】VAT+3x-nf=0，

a=\yb=3>c=-m2,

/.A=^2-4ac=32-4x1x(一切：)=9+4m2

*/m2>0，

**•△=9+4m2>9>0

•••该方程有两个不相等的实数根.

故选C.

6.A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款

饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x,进行列方程，即可作答.

【详解】解：vl月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量

的平均增长率设为3

，100(1+x)2=144,

故选：A

7.A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解

题的关键.

【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为皿，

由题意得，x(70+2-2x)=480,

即x(72-2x)=480,

故选：A.

8.B

【分析】本题考杳了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程等知

识，掌握一元二次方程的相关知识是解题关键.

【详解】解：①若a+〃+c=O,则x=l是方程的根，故判别式之0，正确；

②方程ai"+。=0有不相等实根，则-4〃c>0,贝I方程ax?+Z?<+c=0的判别式从一4ic>0，则必有两

个不相等实根，正确；

③将x=c代入方程得4c2+Z?c+c=0，因式分解为c(ac+〃+l)=。，当c=()时，《c+》+l不一定为0,

故不一定成立，错误；

④原方程根为4和-3,则」=1,-=-12,得b=-a,c=-l勿，新方程化简为f-3x-10=0,根

aa

为5和-2,与题目所述3和-4不符，错误：

综上，正确结论为①和②，共2个，

故选:B.

9.4

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)

把二次项的系数化为1：(3)等式两边同时加卜一次项系数一半的平方

根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可.

【详解】解：X2+2A-3=0

X2+2X=3

X2+2X+1=3+1

(X+1)2=4,

，女=4,

故答案为：4.

10.2035

【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出〃/+2〃?-2025=0,求

出1=2025-2加，根据根与系数的关系得出，〃+八=-2,变形后代入，即可求出答案.

【详解】解：，〃、〃分别为方程V+2x-2025=0的两个实数根，

nr+2m-2025=0,

/.nr+2nt=2025»

m2=2025-2m

〃?、〃分别为方程x2+2x-2025=0的两个实数根，

/./?/+n=-2,

:.m2-3m-5n=2025-2m-3m-5〃=2025-5(/〃+〃)=2025+10=2035,

故答案为：2035.

9

11.kW—且攵工2

4

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程o?+笈+c=OlZ，O）,

当△=〃?—4函>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=〃-4a=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=〃2-4枇・<0时，方程没有实数根是解题的关键.

利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解.

【详解】解：•••关于x的方程快-2卜2一.丫+1=0«为常数）有两个实数根，

•••△=（-1『-4伏-2）20且左-2工0,

9

解得：kW;且女工2

4

9

故答案为：上且人工2

4

12.8

【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得-2/+/+9=0,

整理得2『-/=9,再运算（/-1）（力+1）=2?-/-1,最后代入数值进行计算，即可作答.

【详解】解：是方程-2/十力9=0的一个根，

:.-2r+/+9=0，

,,—lt~+t=—9，

，2r-t=9,

则（/一1）（2/+1）=2?+/-2/-1=2/——1=9-1=8,

故答案为：8

13.-2

【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，利用换元法解方程是解答的关键.设

a=Vl9-x2b=J15,则a+〃=8,则力=8-a，〃2+从=34,进而转化为解方程〃2一84+15=0,

得。=3或。=5,分别求解即可得出答案.

【详解】解：设a=\/19-x2»b=>1\5+X2»

,**yj\9-x2+V15+X2=8，

/.a+b=S,则〃=8-a,

又/+Z,2=19-/+15+/=34，

a2I（8-a），=34,整理，得cJ一8。十15三0,

解得a=3或。=5,

当。=3时，V19-x2=3*则/=10，此时〃=5,

V19-X2-V15+X2=3-5=-2:

当a=5时，V19-x2=5»则f=-6v0不成立，舍去，

2

工V19-x-J15+Y=_2,

古答案为：-2.

14.5/-历+5

【分析】由/加6=皿七=/凡=90°,证明四边形DGK”是矩形，再证明3瓦足,以〃，得DG=DH,

则四边形ZX7K”是正方形，所以。，2=。，・。6=256〃，而A。=CZ)-A。=，则

DH'ABAD，所以心+A〃2=O42=A8AO，由加'=3FH,设/7/=X,MBF=3x,整理得

AH=2-x,A8=3x+2,代入数值至11仍+人〃2=£>"2=八8八0，进行化简得/-10x+4=0再运用

公式法进行解方程.干是得到词题的答案.

【详解】解：*/DHLDG,HK1GC,

：./HDG=ZDGC=/K=*F,

J四边形DGK”是矩形，

•・•四边形A8CO是矩形，四边形ADE尸是正方形，

/.ZDAB=ZDAF=9O°,ZADC=ZADE=90°,

.•.点尸在人〃边上，点石在CO边上，

*：CD//AB,

，ZDEG=ZAFE=90°,

；・/DEG=NDAH,

,/ED=AD,^EDG=ZADH=90°-ZCDH,

•••DEGaDAH(ASA)

:.DG=DH,

，四边形DGK〃是正方形，

2

・,•DH=DHDG=2SCDfi

,/AB=CD,

AB-AD=CD-AD=2SCDH

DH~=ABADy

*,•心+6=DH2=ABAD，

,:BF=3FH

，设则"=3x

AF=AD=DE,

：.AH=AF-FH=2-x,AB=AF+BF=3x+2.

A22+（2-x）2=DH2=2（3x+2）

:.4+4-4x+x2=6x+4

Ax2-10x4-4=0

•••△=（-10）2-4x1x4=84

/A.=10±^4=5±^

2

贝Ux=5—⑨，或x=5+历＞4尸=2（舍去）

解得X=5-\/^T，

故答案为：5-V21.

【点睛】此题重点考充矩形的性质、公式法解一元二次方程，正方形的性质、仝等三角形的判定与性

质、勾股定理等知识，证明.史8.AM”是解题的关键.

50+2x

15.=1或2（50+2力=3（30+2力

30+2x

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程.设金色纸边的宽为xcm,则整个挂图的长为

（50+2A）cm,宽为（30+2x）cm,再根据整个挂图的长与宽之比为3:2列出方程即可.

【详解】解：设金色纸边的宽为则整个挂图的长为（50+2x）cm,宽为（3O+2x）cm,

依题意得：薨I+,或2（50+2x）=3（30+2x）.

故答案为：|^|^二W或2（50+2x）=3（30+2x）.

JUI/r人4

【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为f+5.”5〃i=0,

然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可.

（详解】V[a,b\*[ctd]=ac-bd,

[x,m]*[x+5,5]=0可变为x(x+5)-5〃z=0,

:.x2+5x-5/??=0•

•••方程[工，间*1+5,5]=0有两个不相等的实数根,

:.A=52-4X1X(-5AZ?)>0,

.5

••m>—.

4

故答案为：

4

17.(i)/,=r2=l；

7

⑵苔=5，-V2=-I.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、

公式法、分解因式法.

(1)利用完全平方公式分解因式，可得：=0,从而可得方程的解为4=/2=3；

(2)用十字相乘法分解因式，可得：(2工-7)(x+l)=(),因为两个数的乘积为0,所以这两个因数中致

少有一个为0,可得：2工-7=0或X+1=0,分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解.

【详解】(1)解:4/一4/+1=0,

分解因式可得：(2/-1)2=0,

解得：/|=，2=g；

(2)解：2X2-5X-1=0,

分解因式可得：(2x-7)(x+l)=0,

.•.2x-7=0或x+l=0,

7

解得：X=5，x2=-1.

18.(1)内=2,.tj=—

0、3+V133-V13

⑵菁=­；—，w=—3—

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键.

(1)用配方法解一元二次方程即可；

(2)用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：2x2-5x+2=0

两边同除以2,^-x2-|x+l=0,

移项，得人沁一

5

配方，得x——

41=3

53

开平方，得X--=±7,

44

所以：芭=2,七二g；

(2)解：-3x=1-x2,

变为一般形式：x2-3x-i=0,

贝必=(-3)2-4xlx(-l)=13>0,

3±V13

X=---------!

2

3+A3-屈

X=，X?=

2-2

19.(1)50.4万元

(2)20%

【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确埋解题意是解题的关键.

（1）该商店这七天总营业额为前六天的营业额加上第七天的营业额，即可求解;

（2）设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x,根据增长率计算公式即可列出方程求解.

【详解】(1)解：45+45xl2%=50.4(万元);

答：该商店这七天总营业额为50.4万元.

（2）解:设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为羽

依题意，得：35（1+x）-=50.4,

解得：百=0.2=20%,x2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：该商店今年4、5月份营业额的月增长率为20%.

20.(1)②

(2)〃？=3或m=1

【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键.

（1）分别求山方程的解即可判断;

（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差1方程”的定义即可求解.

【详解】⑴解：①”=。,

4，马不是整数根，故①不是‘差1方程”：

②/+9工+20=(),

(x+5)(x+4)=0,

.r1=-5,x2=-4,

••・k—七|=1,故②是“差1方程”；

③Y+石工+]=0,

a=l,b=5/5,c=1,

A=b2-Aac=1>0.

.-b±yjb1-4ac-V5±1

••x=-----------------=-----------♦

2a2

・••方程无整数根，故③不是“差1方程”；

故答案为：②：

(2)解:x2-G〃+2)X+2〃7=0

(x-2)(x-/z/)=0,

解得：X=2,X,=阳.

•・•方程为“差1方程”，m为整数,

/.|w-2|=1,

解得：〃?=3或〃?=1.

21.(l);rz>-—

4

⑵"?=-3

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，与股定理的

应用；

(1)根据△之()，再建立不等式求解即可；

(2)设方程的两根分别为。、b,由根与系数的关系得：。+6=-2〃?-1,他=〃/-3,结合菱形的边

长为J万，两条对角线的长为%.如,满足/+〃2=(旧丫，即：(〃+〃)2_久活=13,再建立方程求

解并检验即可.

【详解】(1)解:方程/+(2根+l)x+〃『―3=o有两个实数根，

/.△=(2m+1)2-43)=4〃『+4〃?+1-4/?z2+12=4/??+13>0,

解之得：2-;.

4

.•.当〃后-1与3时，方程有两个实数根；

4