位似图形（讲义）-华东师大版九年级数学上册

专题23.7位似图形(举一反三讲义)

【华东师大版】

题型归纳

【题型1位似图形的概念】.............................................................................2

【题型2画位似图形】..................................................................................5

【题型3求两个位似图形的相似比】...................................................................10

【题型4求位似图形的线段长度】.....................................................................13

【题型5求两个位似图形的周长比】...................................................................17

【题型6求两个位似图形的面枳比】...................................................................20

【题型7求位似图形的对应坐标】.....................................................................22

【题型8找位似中心】.................................................................................25

【题型9与位似有关的规律探究】.....................................................................28

举一反三

知识点1位似图形的有关概念

1.一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有ozi，=□-

□□(□*0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形.点0叫做位似中心,2就是这两个相似多边形的相

似比.位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边

上，还可能在两个位似图形的内部.

2.位似与相似的关系

位似相似

形状完全相同完全相同

对应角相等相等

对应边成比例成比例

位置关系对应点所在直线都经过同一点任意摆放

联系位似是相似的特殊情况

知识点2位似图形的性质

1.位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似空心.

2.位似图形任意•组对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

3.位似图形的对•应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等.

4.如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

知识点3位似图形的画法

1.利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换.

2.画位似图形的步骤

（1）确定位似中心0；

（2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点；

（3）按相似比找出所作位似图形的对应点；

（4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形.

知识点4平面直角坐标系中的位似变换

1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数M攵工0）,所对应的图形与

原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似L匕为|k|,即若原图形的某一顶点坐标为（均，为），则其位

似图形对应顶点的坐标为（k%o，Ay。）或（-依0,-/cy0）.

2.平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律

名称规律

平移变换对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度

若以X轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若

轴对称变换

以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横1标互为相反数

将一个图形绕原点旋转180。，则旋转前后两个图形对应点的横坐标

旋转变换

与纵坐标都互为相反数

当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标

位似变换

之比的绝对值都等于相似比

【题型1位似图形的概念】

【例1】（2425九年级上•山东日照•阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（）

B.

【分析】本题考查/位似变换，位似与相似既有联系又有区别，用似仅要求两个图形形状完全相同，而位似

是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点.

【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形.

据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形;

而D的对应点的连线不能相较广一点，故不是位似图形,

故选:D.

【变式11］如图，以点。为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△4B7T,下列说法中，错误的是（）

B.C,0,C'三点在同一条直线上

C.AB||A'B1D.A0:AAf=1:2

【答案】D

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质直接判断即可，解题的关键是熟练掌握位似的定义及

性质.

【详解】解：团以点。为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC

I3MBC〜"B'C,C,0,C'三点在同一条直线上，ABIIA'B\A0:0Ar=1:2,

回选项D不符合题意,

故选：D.

【变式12】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的"E"均是相似图形，其中不

是位似图形的是（）

进而判断得出答案.

【详解】解：A、△力8c与△A'8'C：是位似关系，故此选项不合题意；

B、△ABC与△4/C'是位似关系，故此选项不合题意；

C、△48C与△A8'C'是位似关系，故此选项不合题意；

D、△ABC与△AB'C'对应边8c和9C'不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；

故选：D.

【题型2画位似图形】

【例2】(2425九年级上•河南南阳•期中)在如图方格纸中,△048的顶点坐标分别为0(0,0),4(-2,-1),

3(-1,-3),△。14%与4048是关于点。为位似中心的位似图形.

⑴在图中标出位似中心户的位置，直接写出点P的坐标」

(2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出40AB的一个位似A0A2B2,使它与△048的位似比为2:1；

(3)在404B的内部取一点M(机,n)，则点加在4。4治中的对应点时2的坐标为二

⑷判断△。4282能否看作是由4。/181经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否

则，说明理由.

【答案】(1)(一5,-1),图见解析

(2)见解析

⑶(2m,2n)

(4)是，将△。1力1当向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到△。力2々

【分析】本题主要考查作图，位似变换，几何变换等，熟练掌握画图技巧是解题的关键.

(1)对应点的连线的交点即为位似中心，再写出坐标即可；

(2)根据位似变换的知识，找到变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可;

（3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点股在△。力2々中的对应点g的坐标;

（4）根据点的坐标变化求解即可.

【详解】（1）解：连接。01与交于点P,点P位置如图，点尸的坐标为（一5,-1）；

（2）解：根据位似比画出图形,得

（3）解：•••△。4为与AOAB的位似比为2:1,

故在AOAB的内部取一点则点M在△O&B?中的对应点的坐标为（2m,2九）；

（4）解：将△0i48i向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到△04B2.

【变式21】（2425九年级上•河北石家庄•期中）如图，在正方形网格中，△4&G与△4BC的顶点都在格点

上，并且这两个三角形是以点。为位似中心的位似图形.

⑴在正方形网格中画出点0；（大写作法，保留作图痕迹）

⑵以点4为位似中心,在点A的左侧直接画出与△48c位似的△482c2,使4师与4力为。2的位似比为1：?,

【答案】（1）图见解析

⑵图见解析

【分析】本题考查了位似图形、找位似中心，熟练掌握位似图形的画法是解题关键.

<1）根据位似中心。是每一组对应点所连直线的交点解答即可；

（2）先分别画出对应点为,C2,再顺次连接4B2，C2即可得.

【详解】（1）解：如图，点。即为所求.

（2）解：如图，△人扬。?即为所求.

【变式22］（2425九年级上河南新乡•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，AAOB的三个顶点坐标分别

为4(6,3),0(0,0),8(0,6).

⑴以原点。为位似中心，在第一象限内画△&0当，使与△/1OB位似，且相似比为1:2；

⑵写出点4、%的坐标.

【答案】（1）见解析

⑵%（3,|）,81（0,3）

【分析】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的关

键.

（1）根据△力。^的三个顶点，位似比的值，可算出点位,4的坐标，连接即可求解；

（2）根据相似比即可求解.

【详解】（1）解：团4（6,3）,。（0,0）,8（0,6）,以原点。为位似中心，相似比为5

（3OB=6.

嘿=：,畔i=5

回0瓦=3,则8式0,3）

同理，4（31），连接力1当，如图所示,

回△408］即为所求图形.

(2)解：由(1)得4(3身，%(0,3).

【变式23】(2425九年级上•江苏无锡•期中)如图在平面直角坐标系中，△0A8的顶点坐标分别是。(0,0),

⑴以原点。为位似中心，请画出A。4B的位似图形△O4B1，使它与△。48的相似比是1:2；

⑵写出点儿、&的坐标；

(3)若4O/B关于点。的位似图形△。力2%中，点A的对应点42的坐标为(一3,—6),贝必。必/与^。力B的相

似比为;△。42%的面积为.

【答案】(1)见解析

(2)力1(-1,一2),当(一3,0)或4(1,2),8式3,0)；

(3)3:2；27

【分析】此题考查了作图位似变换，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键.

(1)由以原点。为位似中心，画出AOAB的位似图形△。为当，使它与△O/B的相似比是1:2,可求得各对

应点的坐标，继而画出位似图形；

(2)由(1),可求得点为、丛的坐标；

(3)根据位似图形的性质，即可求得△O/B2与△。力B的相似比，再进一步计算即可求解.

【详解】(1)解：如图，△04®的位似图形△。&名即为所求；

(2)解：由图形知&(一1,一2),比(一3,0)或4(1,2),当(3,0)；

(3)解：财(2,4),点A的对应点A2的坐标为(-3,-6),

回△042^2与AOAB的相彳以比为：3:2；

△082%与△0力8的面积比为：9:4,

0A。48的面积为；x6x4=12,

团AOAz%的面积为27,

故答案为：3:2；27.

【题型3求两个位似图形的相似比】

【例3】(2425九年级上•重庆•阶段练习)如图，△/18C与位似，点。为位似中心，且△DEF的面积是

△48C面积的9倍，则OC:OF=：)

A.i:2B.1:3C.1:4D.1:9

【答案】B

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得

至”(篇Mg，△04CQ0M,则意=(再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可.

【详解】解：团△4BC与ADE尸位似，点。为位似中心，且ADE"的面积是AABC面积的9倍，

2

闰借）=1,AOAC-AODF

又叵△OACODF,

WC'.OF=AC:DF=1:3,

故选；B.

【变式31］（2025•广东•中考真题）如图，把△力。8放大后得到△COD,则△力。8与△COD的相似比是

【答案】|/1：3

【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把aAOB放大后得到△COD,则AAOB与△COD位

似，从而得到△AOB与△COD的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即黑=：=：,从而得到答案，掌

OD63

握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键.

【详解】解：把A/1OB放大后得到AC。。，则△408与△C。。位似，

二△408与△C00的相似比为啜=;二3

OD63

故答案为：

【变式32］如图，在边长为1的正方形网格中，财BC与回。所是位似图形，则（MBC与团DEr的相似比为（）.

A1clV2cc

A.—B.—C.—D.2

232

【答案】D

【分析】048。与团。E尸是位似图形，所以048020。"，根据勾股定理求出A8和。E即可解答.

【详解】解•：能1AB。与回DE厂是位似图形，

^ABC^DEF,

由图可知+22=2V2,DEZW+12=V2,

胖=笨=2

DE\[2

能L48c与团OE尸的相似比为2,

故选：D.

【点睛】本题考查位似图形的性质.

【变式33]如图，止方形48C。中，对角线AC,BD交于点0,分别延长BD,CD到点E,F,连接EF.若£7邛8C,

且A0E尸与△040的相似比为5则在图中，以点。为位似中心.△/)£•/和它位似的三角形的位似比为()

【答案】D

【分析】设。尸=7人利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到0C=2鱼m,由题意，以点。为位似中

心，AOEF与△CBC位似，进而可求解.

【详解】解：国四边形，是正方形，

^AOD=乙BCD=90°,Z.AD0=乙BDC=Z.EDF=45°,

0FFHBC,

0ZEFD=Z.AOD=乙BCD=90°,

0ADEF与△。力。的相似比闿，

设。尸=m,则D0=2m,

•••AD=y/2D0=2y/2m,

•••DC=2y/2m,

^EFWBC,

回以点。为位似中心，△/)£1?与△DSC位似，

.竺—m_V2

"DC~2>/2m~4'

故选:D.

【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义，得

到ADEF与ADBC位似是解答的关键.

【题型4求位似图形的线段长度】

【例4】如图，△ABC与△4?位似，点。为位似中心，若△48C的周长等于周长的;.4。=2,则

4

。4的长度为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出△48C〜△4"。，结合AABC的周

长等于△A'8'C'周长的;，得出相似比为1:4,计算即可得出答案.

4

【详解】解：•・•△/BC与△4B'C'位似，

团△力BC-LA'B'C,

（?!△4BC的周长等于△4夕。'周长的L

4

回相似比为1:4,

团40=2,

0A'=nr-=8,

4

故选：C.

【变式41］在平面直角坐标系中，ATlBC的顶点坐标分别是力（1,2）,8（1,1）,C（3,1）,以原点为位似中

心画△DEF,使ADEF与△/18C成位似图形，且ADE尸与A4BC的相似比为2:1,则线段的长度

为•

【答案】2V5

【分析】先根据位似图形的性质得到点D、F的坐标，再根据两点间的距离公式计算出OF的长即可得到答案.

【详解】解：••似原点为位似中心画使与△A8C成位似图形，且与△A8C的相似比为2:1,

而4（1,2）,C（3,1）,

•••D（2,4）,F（6,2）或。（-2,-4）,F（一6,-2）,

22

ADF=J(2-6J+(4-2产=2遮或OF=7[-2-(-6)]+[-4-(-2)]=2眄,

:.DF=2后，

故答案为：2瓜.

【点睛】本题考杳了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,还考查了两点间的距离公式.

【变式42】(2025•河北保定•一模)如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板MN上的小孔抽象

成点。，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD,△/B。和△DC。成位似图形，位似中心为点

。，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm,AB=6,此时:像CD的长为12,为了使像CD的长度变成48的

3倍，在物体4B和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN()

A.水平向右移动lcmB.水平向左移动1cm

C.水平向右移动1.5cmD.水平向左移动1.5cm

【答案】B

【分析】本题考查位似图形的应用，过点0作0E148于点E,延长£0交CD于点Q,根据位似图形的性质推

出各=络分别求出遮挡板MN水平移动前后OE的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关

键.

【详解】解：过点。作。E于点E,延长E。交CD于点Q,

团△480和4OC。成位似图形，位似中心为点0,

0/1FHCD,

团OF1CD,

团0E、OF分别为△480和△DCO对应边AB、CD上的高，

团0F=8,

[^△/80和4DCO成位彳以图形，AB=6,CD=12,

樱=竺，即2=竺，

CDOF128

团OE=4,

因£7=OE+。/=4+8=12,

因像CD的长度变成力8的3倍，在物体4B和屏幕PQ位置不变的情况下，设0E=%,则0F=12-x,CD=

34B=3x6=18,

又淤^=丝，即2=上_,

CDOF1812-x

0%=3,

此时。K=3(cm),

团4・3=l(cm),

团可以将遮挡板MN水平向左移动lcm.

故选:B.

【变式43］如图，△408三个顶点的坐标分别为4(8,0),。(0,0),3(8,-6).以点。为位似中心，把△4。8

缩小为原来的：，得到△H0夕，点M为。配的中点，则OAT的长为.

【答案】|

【分析】根据坐标，得出。力=8,43=6,再根据勾股定理，得出08=10,然后分两种情况：当△40配在

第二象限时和当A4。夕在第四象限时，根据位似图形的性质，得出。夕=5,再根据点AT为0B，的中点，即

可得出0M，的长.

【详解】解：团4(8,0),0(0,0);8(8,-6),

004=8,AB=6,

12OB=阴2+62=10,

回以点。为位似中心，把△力。8缩小为原来的%得到△H08',

囹。丁=5,

又任点M'为。8'的中点，

0。W=

2

团OW的长为*

如图，当△4OB'在第四象限时,

团以点。为位似中心，把△AOB缩小为原来的沙得到△40*,

团08'=5,

又叵点M'为。夕的中点，

回OW=|,

团OW的长为|,

综上可得：OM，的长为"

故答案为：I

【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、位似图形的性质，解本题的关键在熟练掌握位似图形的性质.

【题型5求两个位似图形的周长比】

【例5】如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE,则△04B与△。产E的周长比为（）

A.3:1B.2:1C.1:1D.1:2

【答案】B

【分析】根据位似图形的周长比等于位似比即可求解.

【详解】解：由图可知，△OAB与AOFE的位似比为：。&0E=6:3=2:1,

故A。力8与4。rE的周长比为2:1.

故选B.

【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的周长比等于也似比是解题的关键.

【变式51】（2025•浙江宁波•二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形48co与四边形AB'C'D'是位似图形，

位似中心为点。.若点4（3,9）的对应点为4（1,3）,四边形48。。的周长为27,则四边形片夕广。的周长为（）

【答案】A

【分析】本题考杳位似图形，根据对应坐标得出位似比，位似图形的周长比等于位似比，由此可解.

【详解】解：•••点力(3,9)的对应点为4(1,3),

.•・四边形MCD与四边形AB'C'D'的位似比为3,

.••四边形力8CD与四边形AB'C'D'的周长比为3,

•••四边形力BCD的周长为27,

二四边形AB'C'D'的周长为:27+3=9,

故选A.

【变式52】如图,四边形4CD和4BCD是以点。为位似中心的位似图形.若04。〃=1:3,四边形HBCD

的周长是3,则四边形AB'C'。'的周长是()

A.1B.3C.9D.27

【答案】C

【分析】本题考杳的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相

似比是解题的关键.

根据位似图形的概念得到四边形48AB'UD',AB||AfB\得到△。4夕，求出篇二瞿二g

/■D(z/iJ

再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可.

【详解】解：团四边形力BCD和AB'C'D'是以点。为位似中心的位似图形，

13四边形ABCDsAB'C'D',ABIIAB',

._0A__1

"一不一3’

同四边形力BC0的周长:四边形A‘B'C'D'周长=1：3,

回四边形力BCD的周长是3,

回四边形ABO的周长9,

故选：C.

【变式53］如图，正六边形。48CDE与正六边形。480。是关于原点。的位似图形，相似比为3:2,若

点CTdO),则正六边形0A3CDE的周长为

【分析】连接EC,由题意易得。。二,0C',则有。C'=6,0C=9,进而可得(3DEC=(3DCE=30。，0OEC=9O°,然

后可求。最后问题可求解.

团正六边形0A8CDE与正六边形。A'BOE'是关于原点O的位似图形，相似比为3:2,

回0C=,0小，

回点C'(6,0),

WC=6,

0OC=9,

田六边形OABCDE是正六边形，

00OED=0EDC=12O°,OA=AB=BC=CD=DE=OE,

酿DEC=®DCE=30°,0OEC=9O°,

团0C=20E,

团OE=

2

团正六边形OABCDE的周长为3X6=27；

故答案为27.

【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.

【题型6求两个位似图形的面积比】

【例6】(2025•浙江金华•二模)如图在平面直角坐标系中，AZlBC与是位似图形，位似中心为点。,

若点力(3,1)的对应点。(6,2),则ZiABC的面积与ADEF的面积之比是()

【答案】C

【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式

是解题关键.先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解

题.

【详解】解：团点4(3,1),0(6,2),

WA=V324-I2=710,OD=V624-22=2V10,

团△48。与^DEF位似,位似中心为点。，

0AABCs△DEF,

OA_屈_1

OD-2>/TO-2'

回△ABC的面积与仆DEF积之比=偿I=@)2=、

故选:C.

【变式61】(2025•浙江宁波•模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，△4BC和位似，位似中心

为原点O.已知点4(一1,1.5),点4(2,-3),若的面积为2,则△AML的面积是()

【答案】C

【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键.直接利用位似图形对

应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案.

【详解】解：团△718C和△位似，位似中心为点。，点力(-1,1.5)，点4(2,-3),

团△ABC和△力'8'C'的相似比为1:2,

团△力8C和△AB'C'的面积比为1:4,

的面积为2,

团△力'?。的面积是8.

故选：C.

【变式62］如图，正方形/18C0和正方形EFOG是位似图形，其中点4与点E对应，点4的坐标为(-4,2),点E的

坐标为(-1,1)，则这两个正方形的面积之比为()

y-

A,---

Er—G

CF~O~^x

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9

【答案】C

【分析】由点4点E的坐标可知OF=1,0B=4,EF=1,AB=2,进而求得两个正方形的面积即可求得

面积之比.

【详解】解：(3点4的坐标为(-4,2),点E的坐标为(一1,1)，四边形/WCD和四边形“0G均是正方形，

团OF=1>0B=4,EF=1»AB=2,

2

则正方形48。。的面积为：SABCD=AB=4

2

正方形EFOG的面积为：SEF0G=EF=1,

团两个正方形的面积之比为1:4,

故选：c.

【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键.

【变式63］如图，平行于地面的三角形纸片A8C上方有一-灯泡（看作一个点，灯泡发出的光线照射△力8。

后，在地面上形成阴影△/）££已知灯泡距离地面2m,灯泡距离纸片1m,若△ABC的面积为4,则阴影部

分的面积为.

O

【答案】16

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与△0£1?是位似图形，且位似比为1：2,再

根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可.

【详解】解:由题意得，aABC与2。£尸是位似图形，且位似比为1：2,

同△4BC的面积为4,

回阴影部分的面积为16,

故答案为：16.

【题型7求位似图形的对应坐标】

【例7】（2425八年级下•山东淄博•期末）如图，矩形04BC的顶点O在坐标原点，A点坐标为（一4,0）,C点

坐标为（0,6）,若矩形。4夕与矩形。力3c关于点。位似，且矩形。4夕广的面积等于矩形6MBe面积的;,

4

则点B'的坐标是（）

B.(-2,3)

C.(3,-2)或(-2,3)D.(一2,3)或(2,-3)

【答案】D

【分析】此题考查了位似图形的性质.此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角

形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用.由矩形。AB'C'与矩形0A8C关于点

0位似，且矩形。48'。'的面积等于矩形。力8C面积的：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可

求得矩形04B'C'与矩形0ABe的位似比为1:2,又由点B的坐标为(一4,6),即可求得答案.

【详解】解：•.•矩形04BC的顶点O在坐标原点,4(-4,0),C(0,6),

二可得:B(—4,6),

•.•矩形04B('与矩形04BC关于点。位似，且矩形。力的面积等于矩形。4BC面积的;，

4

团矩形与矩形OABC的位似比为1:2,

.••点6的对应点夕的坐标是：(一2,3)或(2,-3).

故选：D

【变式71]如图，已知矩形ABCO与矩形0。"■是位似图形，M是位似中心，若点8的坐标为(4,3),点E的

坐标为(-21)，则图中点M的坐标为.

产

C--------7^5

/尸。[

MF\OAX

【答案】(一4,0)

【分析】根据位似变换的性质得黑=警=母=：,则M0=04=4,然后写出M点坐标.

MAAB32

【详解】解：团点8的坐标为(4,3),点E的坐标为

圆月8=3,。力=4,。。=右

(3矩形/8C0与矩形ODE/是位似匡形，M是位似中心，

胆=*—,

MAAB32

团M0=。力=4,

团M点坐标为(一4,0),

故答案为：(-4,0).

【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于•点，对应边互

相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意；两个图形必须是相似图形；对

应点的连线都经过同一点；对应边平行.

【变式721（2425八年级下•山东威海・期末）如图，在平面直角坐标系中，△4B。为等腰直角三角形，乙1=90。,

点B坐标（一2注,0）.以点O为位似中心，作AOCD与AAB。位似，点C坐标（四,0）,则点。坐标为（）

A.（1,1）B.（1,-1）C.（A/2,V2）D.俘，-当）

【答案】D

【分析】本题考杳的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为七，那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-k.根据位似变换的性质计算，得到答案.

【详解】解：过点4作力Elx轴于点E,

D

回点8坐标（一2企,0）,aAB。为等腰直角三角形，

团OB=2V2,

团AE=OE=BE=V2,

西（一戊,企）

团以点O为位似中心，作△OC。与△48。位似，点C坐标（企,0）,

且卜2/x（-）0x（-3即点〈的坐标,

团相似比为:，

团点D的坐标为卜&x（—3，&X（-：）卜即（4，一日）

故选D.

【变式73］（2025•辽宁沈阳•三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形048的顶点。（0,0）,3（2,0）,

已知△。小夕与△O/IB位似，位似中心是原点。，位似比是2,则点力对应点4的坐标为（）

A・G帝或㈠,-?)B.(2,2於)或(-2,-2百)

C.(4,4⑹或(-4,-4何D.(4,4遮)或(一46，一4)

【答案】B

【分析】本题考查的是等边三角形的性质，位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于3或-k,根据位似变换的性质计算即可，熟

练掌握位似变换的性质是解此题的关键.

【详解】解：•••等边三角形04B的顶点。(0,0),B(2,0),

0A=OB=2,

如图：过A作4cl乃轴于C,

为A

5]CB4。8是等边三角形，

=AC=?A=g,

•••4(1,⑹，

•••△049与△048位似，位似中心是原点。，位似比是2,

•••点4的对应点A的坐标是(1x2,乃x2)或(1x(-2),^x(-2)),即(2,2百)或(一2,-2⑹,

故选：B.

【题型8找位似中心】

【例8】如图，△48c与团4'"。'是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是

【答案】（9,0）

【分析】根据位似中心的概念解答即可.

【详解】解：连接AA和*8并延长相交于点。，则点。即为位似中心，作图如下:

即位似中心的坐标为（9,0）,

故答案为：（9,0）.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心.

【变式81】（2025♦辽宁铁岭•二模）如图8X6的方格中，点4B,C,。是格点，线段CD是由线段48位似放

大得到的，则它们的位似中心是〔）

C

D

A.点、PiB.点P?C.点P3D.点”

【答案】B

【分析】本题考查了找位似中心，连接。4、DB并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解.

【详解】解：如图：连接C4并延长，则交点即为它们的位似中心，

回它们的位似中心为「2，

故选：B.

【变式82］如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间,

则位似中心的坐标为.

【答案】（2,1）

【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可.

【详解】解：如图，点P为位似中心，P（2,1）.

故答案为：（2,1）.

【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互

相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键.

【变式83］如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位

似图形，点。和点。也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点—.

【答案】P.

【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.

【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P.

故答案为：P.

【点睛】本题考行的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似

中心.

【题型9与位似有关的规律探究】

【例9】(2025•山东烟台•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6,|),△48C的顶点4的坐

标为(4,3).以点P为位似中心作△4SG与A48C位似，相似比为2,且与△ABC位于点P同侧；以点P为位

似中心作△力2%。2与△48iG位似，相似比为2,且与位于点P同侧……按照以上规律作图，点43的

坐标为.

【答案】(-10.y)/(-10,13.5)

【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得

出HP=:进而得出42P=2Alp=10,4P=242P=20,求得直线8P的解析式，根据小。=20,即可求解.

【详解】解：依题意，A.P=2AP=2J(6-4)2+-3)2=5,

团力2P=2&P=10,&P=242P=20,

设直线AP的解析式为y=/cx+b(kH0),代入(6,m，(4,3)

"k+b

13=4k+b

解得：卜7

(b=6

3

（3y=--x+6

设小+6）

团（TH—6）2+（-：