圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题 专项训练（解析版）-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线:椭圆的定点,定值•定直线,向量问题专项训练

目录

考点一桶国的定点问题......................................................1

考点二楠国的定值问题……..........................................................12

考点三楠国的定直线问题…..........................................................19

考点四楠园的向M问题.............................................................31

考点一椭国的定点问题

1.（24-25高二上•四川达州•期末）已知椭圆方程为手+号=1,A（2,0）,6（1,告）,过点P{2,1）的直线交

椭圆于E、9两点，过点E且平行于g轴的直线与线段人石交于点Q,点E关于点Q的对称点为N,则直

线NF一定过点、（）

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,3—佝D.(2,0)

【答案】。

【详解】因为42,0）归（1,'），所以-2）,

①假设过点P⑵1）的直线过原点，则代入与+等=1,

可得E（-V3,q）,F（V3,），代入方程AB,y=--1-（2-2）,可得

Q（-V3,y（-V3+2）J,由EQ=QN得至U'（一右一寻+6）.求得FN方程:

?尸（x-2）,过点（2,0）.

②分析知过点尸（2,1）的直线斜率一定存在，

设kc-y-2k+1=0,E（%i，Ui）,尸（如物）.

kx—y—2k+l=0

联立《

+4=i

得(4我+3)d+8fc(l-2k)x+16£2-16k-8=0,

_-12fc4-6

初十例―4V+3

的则—12k+3

可得_16k2-16攵一8'」宵田2=4炉+3

存一共23—24k

।改+如%=可节

因为点Q的横坐标与点£的横坐标相等为为,且点E与点N关于点Q对称，所以点N的横坐标也为电,

又AB:y=—|-（x—2）,则Q（Ci，—/吃+3）,根据中点坐标公式计算得、（勺,-3的+6—%）,

直线N7的斜率kNF=.+'+3①L6，鱼线NF的方程为y-y,=仍+\+3cL6一，

X-2—Xi-X2—Xi

佻+%+3为-6

假设直线经过定点（2,0）,代入为-y2=（2一①2）验证,

X-2~X\

即验证一(2。2+为然=(g+%+377,-6)(2—g),

即脸证x\y2+x2y2=-3X\X2+6（Xi4-x2）+2（劭+：及）—12,

即验证一（力四2+c2y2）—3①必2+6（为+①2）+2（幼+仍）—12=0,

将韦达定理及得出的式子代入，得24k—48k2+48k+24+9佻2-48k—2以+12—4弘2—36=0恒成

所以直线NF过点（2,0）.

故选：D

2.（24—25高三上・河北衡水・阶段练习）如图，已知椭圆。：冬+工=1（G>90）的上顶点为4（0,1）,离心

a20~

率为空，若过点A作圆M：（x+l）2+y2=r2（0<r<l）的两条切线分别与椭圆C相交于点H。（不同

于点A）.则直线过定点（）

C.（0,1）D.（2,0）

【答案】4

【详解】•.•椭圆+《=l（a>b>0）的上顶点为力（0,1）,离心率为坐,

a~b~2

5=1

卑解得a=2,6=1,.•.椭圆。的方程为孝■+才=1.

QN4

。2=〃+。2

设切线方程为夕=kr+1,则,网=/，即（1—产）上2—2/c+l—产=0,

Vl+fc2

设两切线ABf4。的斜率分别为阮#式卜1于后）,

财团氏是上述方程的两根，根据韦达定理可得：-I,

y=kx-^-l

22

由，孑+才=1，消掉y得（1+4fc）x+8fcx=0,

8kl=1一端

设6（孙功）,。（了2，的）"・0=1+4熠以-1+4好

8居8kl1—4姨好一4

同理可得的=

1+4版优+4%1+4好好+4

一一41一4好

,_炭+41+4看_后+1

*'DD=8fc,8fc,一_UT

信+41+4好

=-熠+1q1的）

・♦,直线BD方程为j一；；黑3履I1+4好1

...........»

l-4/cf,好+1一84_一5-20好5

令①=0,得g=-----7+X=---------=---

1+瑞3kl1+4优3(1+4的3

・・・故直线BO过定点

故选：A

3.(23—24高二上•云南玉溪•期末)已知椭圆C：M+Yr=l(a>b>0)的禺心率为，且椭圆C过点A

相bl2

(2,0),点尸为椭圆。的左焦点.垂直于c轴的动直线Z与椭圆。相交于不同两点P,Q,直线尸F与椭圆

C的另一个交点为M(异于点Q),直线QM恒过定点0,则点0的坐标为

【答案】(一2®0)

j/=4,

【详解】因为楠圆。:4+石=1(。>6>0)的离心率为容，椭圆。过点4(2,0),〈〃=2,

a-b-2U2=2,

椭圆C的标准方程为斗+苧=1,由题可知直线总的斜率存在,

设直线PF:y=k[x+V2),P(x,?/1),M3,劭)，则Q(孙一功).

g=k(2+2)，

联立直线与椭圆方程7+靖_]得(1+2肥)炉十4，^小。+4记2—4=0,

4V2k24k2—4

则①1+电=",X\XQ~~

1+2k21+2号

的」/1-幼/、放而徨_xy+xyi

所以IQM-V一例=-——3—g),整理得v=-——(x---}—2——2

X2-X\X2-Xx\仍+仍

X\y+xy\_kx{x--\--kx-{x-\-42)_2kxx>4-V2k(x+x-)

又22x22xlI2

l/i+2/2kQi+i2)+2，kA:(XI4-X2)+2A/2A;

2fc(4fc2-4),e一帛五记

1+2产+\"XI+2M=T访

kx^^+2囱

所以直线QM的方程为g=3迫(i+2/),故直线QM过定点3(—2/,0).

X-2—X\

故答案为：仇一2/^,0)

4.(24—25高三上・山东枣庄・阶段练习)设椭圆。的上顶点为。(0,1),且长轴长为2万,过。任作两条互相

垂直的直线分别交椭圆。于4B两点，则直线46过定点.

【答案】(0,一g)

【详解】根据题意椭圆的焦点在c轴上，设精圆的方程为W+M=l(a>b>0),

Q2b~

,：上顶点为D(0,l),r.6=1,

又长轴长为2/5,r.a=V2,

如椭圆。的方程为《+姬=i,

故椭圆C的标准方程为—F~~=1:

(2)(i)由题意可知，直线43斜率存在且不为0,则设AB:x=my+l(m^0),

故DE'.x=--—v+1,

771

联立c=my+1,号+今=1得，(3m2+4)g2+67ng—9=0,

设4(小幼)出32，纳)，。33曲)，石(国必),

则V\+V-2=---粤'-，电+必=m(?/i+仍)+2=----—+2=-------—

3m2+43y37n2+43m2+4

6x(T)

6m.2

则例+%=88m

3X(T)2

+4…一3(T『+44川+3

则M(43m.W3?TI)，

3m2+43m2+4W47n2+3*4m2+3

am?4

4m2+33m2+412(m'—1)_4(m2—1)

则直线A/V的斜率的倒数为

37r2——3m21m(Tn2+1)7m

4m2+33m24-4

4(rrr—1),3m4(m2—1)

则直线AM的方科为。="+37n2+4+

7mWTI7rn7m3m2+4

4

3m2+4

4(m2-l)4

沙+不,

7m

则直线MN恒过定点(毋,0);

\_97n.4m2+3+3馆2+4

⑻由⑴可得,SMMN=-7x(1-3m3m

7)x22

乙47n2+33mH4'14(4m4-3)(3m4-4)

_9m(m2+l)

-2(4*+3)(362+4)

9N£(I+1)

令①=rn2>0,则h(x)=

2(4①+3)(3z+4)

/x±L+心)(42+3)(31+4)—(24c+25)右(4+1)

求导得〃Q)=?X、运

(44+3)2(3%+4)24

(12炉+11炉一112―12)

班(4%+3)2(34+4)2

令—=12"+llx2—llx—12,/>0,

则f(c)=36/+22^—11

对称轴为x二一出，/(0)=-11<0,

oO

故存在X()E(0,+8)使得r(c(j=o,

员—)>0得C>R;/'(C)V0得OVrrVco；

；则/(x)在(0,的)上单调递减，在(的,4-00)上单调递增，

：因/(0)=-12,〃1)=0,

；则当OVrrVl时/(a?)V0,〃(:r)>0;当c>l时/3)>0,〃3)V0;

：故砥*)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

Q................

因此，当m：2=i时，△nv/N面积有最大值盘.

6.（25-26高三上♦安徽•开学考试）已知离心率为空的椭圆。三+鸟=13>90）过点/2,1）.

2a~b~

（1）求椭圆。的方程；

（2）不过点P的直线2与椭圆。交于AB两点，且向•方=0,求证:直线Z过定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下，是否存在直线/，使得"月台是等腰三角形？若存在，请问这样的直线Z有几条？若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴咛+4=1

O乙

（2）证明见解析，定点坐标为（£一4）

（3）1条，理由见解析

卜=&=逅

ca2(a=2V2

【详解】（1）依题意，<冬+2=1,解得lb=V2,

arb~[c=V6

Q2=〃+C2

所以椭圆。的方程为《■+耳=1.

o2

⑵当直线2的斜率存在时，设直线2:沙=kc+7n,幺31,小）,_8（42,沙2）,由题意，2k+?7iW1,

由，消去U得（4取+1）〃+8kmx+4m2—8=0,

则A=64k2m2-4(4炉+1)(4m2-8)=0,即加2V蝴+2,

—'而⑸=3L2期-1),而二(g-2,纺-1),

X1+X-2

由芬•方=0,得(为-2)(附-2)+(仇一1)(纳-1)=0,

即(多一2)(42—2)+(kx[+m—1)(kxi+m—1)=0,

22

整理得(fc4-1)X[X2+[k(m—l)—2](x\+x2)+(m-l)+4=0,

.(A;24-1)(4m2-8)8/v2m(m-l)-16km,,

贝----------------------------------------F(m—1)2+4=0,

仅2+1狄2+1

化简整理得12k2+16km+5mJ-2m—3=0,

所以(2Zc+m—l)(6/c+5m+3)=0,

因为2k+mW1,所以6k+5m+3=0,即竺+m=―2，

55

所以直线Z过定点、（,—卜

22

当直线/的斜率不存在时，设直线丘=34%2/0）,8（%-物），于是萼+等=1,

o2

由西•屈=0,得（◎）-2）3厂2）+（物—1）（一协-1）=0,即或-4&+5-*=0,

结合萼+普■二1得，54一16①o+12=0,解得①o=£或窃=2（舍去），

o2O

此时直线/的方程为£=§,也过定点

5'55，

综上，直线Z恒过定点传，一日）.

\551

⑶假设存在直线2满足条件，因为N4PB=90°,所以|以|=俨用，

当直线/的斜率不存在时，显然不符合；

当直线Z的斜率存在时，由⑵可知，3L2『+(%—1)2=3-2)2+(1)2,

又%=kxx+m,y2—kx2+m,代入展开整理得xx+x2=一从"\"~~—,

好+1

又为+@=--阴1-，所以-2hn：2\-4=-_呼_所以3km+4k3+8奴+k+2=0,

■缺2+1-I4/C2+1

又6k+5M+3=0,所以10/?+11好—2k+5=0,

构造函数/(⑼=10炉+11〃-2①+5,。£兄则/(z)=30x2+221—2,

令/'(c)=0得电=T1；尸e(-1.0).g=一叱产e(0,1),

于是当。w(—8,为)时,rQ)>o,函数/(①)单调递增，

当①€(g,g)时，/'(c)V0,函数/(c)单调递减，

当6W(如+8)时,r⑺>0,函数f(x)单调递增，

所以/(皿)>/(x2)=10谴+11•电―2电+5=10谴+11必+(-2物+5)>0,

又f(-2)=-80+44+4+5=-27(0,/(-1)=-10+11+2+5=8)0,

根据零点存在定理可知函数/(乃在(-2,-1)内有唯一零点，

于是函数/(⑼在衣上只有一个零点，即方程10依+11奴―2卜+5=0有唯一的实数根,

所以存在直线Z,使得△TAB是等腰三角形，这样的直线Z只有1条.

7.(25-26高三上•河北衡水•开学考试)关于椭圆有如下结论：“过椭圆月+耳=1(o>90)上一点

a/b~

尸(g,%)作该椭圆的切线,切线方程为也+喈=1”.已知离心率都为岑的椭圆M，M2的对称中

Q”o~2

心都是原点。.焦点都在，轴上，且椭圆M的焦距是椭圆人%的焦距的四倍，椭圆M的长轴长为4.

(1)分别求椭圆M,M2的标准方程；

(2)已知点T是椭圆M上的任意一点，过点T分别作椭圆M的两条切线.切点分别为46,直线24，

7B分别与椭圆M相交于异于点T的C,。两点.

⑴证明:线段AB是△TCD的中位线：

⑻证明：直线CD经过原点O.

【答案】⑴M=

(2)(i)证明见解析；(浦证明见解析

【详解】(1)设椭圆M的方程为三•+*=l(Q]>，>0),焦距为25,

出出

梢圆M的方程为M+4=1(。2>乩>0),焦距为2c2，

a'2bi

由椭圆M的长轴长为4,离心巡都为警，可得内=2,5=四，仇=，5,

又由椭圆M的焦距是楠圆M的焦距的V2倍，可得c2=l,a2=V2,62=l,

故椭圆Mi的标准方程为―：—F-^―=1,椭圆ML2的标准方程为4—Fy2=1•

4ZZ

(2)设7(项,九)，力(l1，/)，6(如%)，。(如佻)，。(岛必)，有詈+登=1,5+玳=1,9+女=1.

（i）证明：直线AT的方程为萼+夕四=1,

二+£=12

联立方程2，消去g有（与+必卜―2叩+2-4研=0,

[号+j以=1'2）

代入。+g：=1,上述方程可化为①2-2cle+2—4忧=0,

又由一元二次方程根与系数的关系，有Tn+g=2cl,可得=Xi,

由中点坐标公式可知X是线段TC的中点，同理可得B是线段TO的中点,

故线段AB是△TCD的中位线.

如）证明：由直线AT的方程为等+%g=l,直线BT的方程为竽+改沙=1,

气2+%71=1

又由点T在直线AT和BT上，有，可得点4,8都在直线等田+打沙=1上,

华+?2n=12

可得直线AB的方程为+收=1,

^1-—],）

，消去方有（华-+77?）炉_27nx+2—2n2=0,

{节i+ny=l'2>

代入华-+冬=1,上述方程可化为X2—mx4-1—n2=0,

42

又由一元二次方程根与系数的关系，有电+g=小，可得巧出=称

L乙

又由71（劭+如）=2_号（0+工2）=2一3-=2_（2_"）=九2,

当h=0时，m=±2,耳也=±1,线段工笈的中点为（±1,0）,即（华,£）,

乙乙乙

当7"0时，有"十%=也，可得吗以■=£,可得线段只3的中点为（■，募），

乙乙乙乙

又由线段OT的中点为（等,蔡），可得四边形OATB为平行四边形,

记平行四边形OATB的对角线的交点为S,

又由AT=AC,ST=OS,TB=BD,可得AS//OC,BS//ODt

又由A,S,B三点共线，故C,。，。三点共线，

故直线CD经过原点O.

8.（25—26高三上•河北邢台♦开学考试）已知椭圆E：，+£■=l（a>6>0）的一个焦点为尸（1,0）,其短轴

长为2.

（1）求椭圆后的方程：

（2）过坐标原点O的直线I与椭圆后交于不同的两点A,B.

⑴当直线，的斜率为1时，求A43R的周长；

⑹若直线力R,•分别与椭圆E交于点证明：直线MN过定点、.\

【答案】⑴曰+/=1：

............6

⑵⑴手+2岳㈤得,0）

OO

【详解】（1）依题意可得2b=2,则6=1,因为焦点R（l,0）,则c=l,a2=/+c2=l+l=2,

所以椭圆方程为考■+式=1.

（2）（1）当直线/的斜率为1时，则直线方程为夕=应

与椭圆方程联立1号+才=1,解得夕=±乎，

y=xJ

不妨设点八（哈呼），*哈-夸）,

则以8=J（乎+/丫+（乎+乎）2=竽，

设椭圆的左焦点为E,

由椭圆的性质可得\BF\=|力同,

所以AABF的周长为\AB\+|AF|+\BF\=\AB\+\AF\+|4片|,

又|力尸|十|4用=2@=22,

所以尸的周长为当1+2/5,

<5

所以当直线/的斜率为时，求△斤的周长为峥

1404-2V2.

（夜）依题意可设直线MN:x=my+n,

，整理可得（7浒+2）才+2mny+n2—2=0,

设M（如U1）,N（02，02）,

—2mnn2-2

则劭+的=馆2+2，物•例-7标+2

•f+才=1

设直线AF-.x=kg+1,与椭圆方程联立可得<

x=ky+l

整理可得（好+2）靖+2kg—1=0,

设力（①人,夕八），*（①小仍?），

-1

财V\VA=77777=y八=

用十2（依+2）%

-1一伙

又k=――-，所以yA—

V\［（号仇—优'

同理可得如~音大，

3-1）+2/

由题意4与6关于原点对称，所以入+2/8=0,

~y-2

即—^+=o,

（电-1）2+2研但-11+2新

整理可得仍[此2—1『+2婿]+%[（%-1『+2次]=0,

22

即V\[（W2+n-1）+21/1]+y2[（rnyx+n-1）+2T/?]=0,

（血2+2）幼沙2（%+沙2）+4m（九一1）幼。2+（九一1）2（幼+如）=0,

n2-2

将助+助=-2mn

加」26yL加+2代入上式可得4m=3mn,

又?71不恒为0,故九=,

O

所以直线MN:x=my+n，恒过点、（母,。）.

9.（25—26高三上•北京房山•开学考试）已知椭圆E—+/=l（a>6>0）的一个顶点为4（2,0）,离心率

arb，

为小

⑴求椭圆后的方程；

（2）设直线I与椭圆E相交于M.oN两点,若直线AM与直浅AN的斜率之积为一片，判断直线I是否

4

过定点，若过定点，求出该定点坐标:若不过定点，说明理由.

【答案】⑴耳+¥=i

4J

（2）过定点（0,0）

【详解】（1）由顶点为4（2,0）可知a=2,

又离心率为〈，即9=4,可得c=l,

2a2

因此〃=Q2—c2—3,

所以椭圆E的方程为+百*=1.

⑵当直线2的斜率存在时，设立线2:0=N+M（孙幼）,7（如阴），如下图所示:

（至，4_虻=1

联立｛4十3—1整理可得（4炉+3次2+8祝Z+4±2—12=0,

[y=kx-\-t

显然A>0,即（8H）2-4（4fc2+3）（4t2-12）>0,可得PV4炉+3:

8kt_4廿一12

£电+工2~~4k2+3'"的-瑞+3

虹有线八M与直线八N的斜率分别为kAA/=—^―,k.AN=-^―：

X\—2X2-2

_y\V2=/©+£）（丘+£）

即可得=

g-2-（0|-2）（62—2）一（叫一2）（的一2）

=♦①必2+友（电+电）+产=■京+；+就（-^h~）+，=3^.4k2—廿_3

I必2—2（电+电）+4-4*122（吁）卜4-4・娘2+产+4依-4'

4比2+.3\4k2+3/

所以可得4k2+/+4kt=4k2—f2，所以廿=-2kt;

解得力=0或1=-2k;

当±=0时，直线/为此时直线恒过点（0,0）,

当t=-2k时直线，为g=kc+t=M>-2）,恒过（2,0）,与点力（2,。0）重合，不合题意;

当直线/的斜率不存在时，设直线方程为i=a,mW2,

代入椭圆方程可得沙=±J：3（一手）,

不妨取M（m,以1一哈）,N（m,-J：3（l-苧））,

员以4_,30-詈）-詈）30-詈）3（4-m2）_3

贝]卜――—-------__彳

解得772=0,即直线I为1=0,恒过点（0,0）,

当〃,=2时，直线4一2过点4：2,。0）,不合题意；

综上可知，直线Z过定点（0,0）.

10.（2025•安徽•模拟预测）己知离心率为4的椭圆。：与+鸟=l（Q>b>0）的左、右焦点分别为E,£，且

2a~fr

。过点（一代，平），过原点的直线，与。交于PQ两点.

（1）求C的方程；

（2）若点尸在第一象限.过点Q作直线尸E.尸尼的垂线,垂足分别为4丘求讦：4V黑•VI：

JIQ目

（3）若点尸关于I轴的对称点为M，点。的坐标为（4,0）,直线M•。交C于点N,探究:直线尸N是否过定

点，若是,请求出定点，若不是,请说明理由.

【答案】⑴芈+<=1⑵证明见解析⑶是，（1,0）

4o

a~2a=2

【详解】（1）由题意得，W+W=i,解得<6=V3,

ar4b-

c=l

d2=b2-ic2

故椭圆。的方程为——F-^―=1;

43

⑵法一：设P（的,珈）,则Q（f）,一%）,

因为E,E分别为椭圆的左、右晟点，所以S^QR=S"QF'，

则‘网|・|Q4|=》|PE|・|QB|,

所以3=出国=上芷旦=」.I

\QB\同I环I1尸园.

因为|尸园=J（g+iy+湍=、住就+2g+4=[g+2,g€（0,2）,

V42

所以闷|€（2,3）,即黑

IQ均J

法二：设P（劭，期）），则xQE（0,2）,二（一的,一涣）,

易得直线PE的方程为夕=-^（%+1）,

g+1

即伏何一（须）+l）g+g（）=0,

则_|一3协+（%|+1）伏|+%|_2讥_2>

J诵+（—+1）?-+2.+4号+2

同理可得，直线PE的方程为即yM—(m—1加一枷=0,

而一1

则IQ8_|一①09o+(看)-1)珈一伙＞|_2yo_2yo_2yo

J党+Q()—-■研一2.+4-y—22--y

所以3=二=』

8-1.

|QB\2+-4+血4+g

2

因为与€(0,2),且夕=-^——1在(0,2)上单调递减,

4+X

所以JV缶T”即需呜”

o

⑶设M(g,%),N(g,阴)，则尸(如一幼),

由题意得，直线MD斜率不为0,故设直线的方程为:r=mg+4.

但空=1

联立〈4十3一,消去c,整理得(3加2+4)始+24叫+36=0,

<x=?ny+4

由A=(24?n)2-4x36(3m2+4)>0,得加2>4,

_247n_36

则2/i+y2一―3m2+4，”演―3-2+4

工线PN的方程为y—y.2="也3-g),

X2—X\

由对称性令0=0,得

他(为一电)4演=(馍小+4)夕2+(7沱协+4)幼

x=+工2=

ydy2，幼+佻幼+少

36

_n3m24-4

=_c2m---y-M----F!4i=2m-+4=1,

小+324m

3m24-4

所以直线PN过定点，且定点坐标为(1,0).

考点二椭国的定值问题

11.(2025•湖南湘潭•一模)已知椭圆T：与+鸟=l(a>b>0)的离心率为坐，且经过点4(-2,0),

a-b~2

8(2,0).过点A//(L0),斜率为MkWO)的直线与椭圆交于C,D两点，直线4aBD分别与直线啰=1

交于点E,G.

(1)求椭圆T的方程；

⑵求制的值•

【答案】⑴苧+娟=1(2)1

c_73

a-2Q=2

【详解】(1)由题意：•Q=2=-c=V3,

U2=l

a2=62+c2

所以椭圆T的标准方程为：岑■+娟=1.

4

(2)如图：

国

直线8的方程为：g=k(c-l),代入手+必=1得:

X2+4k2Q—1)2=4,

整理得：(1+442)〃-8收r+4(炉-1)=0.

4(fc2-1)

设。(曲,仇),D(x,y),则为+①2=叱,xx=

221+4版}21+4/c2

3"3/c(X1—1)

又直线4C：里=匹士2，令0；=1得夕E=

V\4i+2Xi+2①1+2

直线皿泼=会’令g得叱-y-2—Zc(x2-1)

g—2X-2~2

"EM_|夕£|=310rLi)(①2-2)①巡2一2为一C2+2

所以1----7二3

\GM\IVGII(电+2)(g—1)XiX^—x^2x2—2

4(川D8k-叔院1)T8/Ic

-2^-(一皿)+2f一而巨+2

1+4^1+4收1+4炉

=3=3

4(V-1)f+2(含L卜2431)f什提-2

l+4fc21+4炉

4(fc2—1)—(1+4心2)£1—8妒+2(1+4妒)4K2-2-(1+4收)/[

=3

4(fc2—1)—3(1+4的电+16k2—2(1+4k'2)12A:2—6—3(1+4fc2)xi

3x4=1.

12.(25—26高三上•广西桂林•开学考试)已知椭圆C：芸+与=13>90)的离心率为春•，且。过点

a~ly

(2,V2).

(1)求。的方程；

(2)直线Z：g=k(c—l)(k>0)与。交于力，B两点，过。上的点P(与A,B不重合且不在坐标轴上)作工

轴的平行线交线段A6于点Q(与A,6不重合)，直线OP的斜率为kf(O为坐标原点)，△针Q的面积为

S，Z^PQ的面积为S?,若|/「|$=|6P|・巴,直线AP,6尸的斜率都存在，分别记为或，品我

(i)求证：kAP+如尸=0；

(曲判断和我是否为定值？并说明理由.

【答案】⑴(+£=1

(2)⑴证明见解析(ii)k•k'=]■,理由见解析

e=&=返

ea2

【详解】⑴由题意，得4+/=1,解得。2=8,62=4,。2=4,

a2-b2=c2

所以椭圆C的方程为-3—F—1.

o4

（2）⑴因为|”|・S2=|BF|・S1,

nl\AP\S^\AP\-\PQ\-sm^APQ\AP\sin^APQ

贝]----=---=----------------------=--------------

\BP\S2||BF|-|PQ|-sinZBPQ\BP\sinABPQ

因此sinZ.APQ=sinZ.BPQ,

而AAPQ+4BPQ=AAPB6（0,兀）,有/APQ=/6PQ,即PQ平分ZAPS,

故直线AP,BP的斜率kAP,kBP互为相反数，则kAP+kBP=0.

⑻设P（XQ,yj,

虻=1

由484，得（2k2+1）炉-4/玛；+2k2—8=0,

［g=k（£-l）

因A=16k4-4（2奴+1）（2d-8）=56k2+32>0,设A（孙加,8（羯物）,

4k2

的+g=2股+1_5-n0,y-2-yo_n

则有《2，而k.Ap+%p=：;^—―+-——=0,

々•12=今言为一四）X-X

Z片।12Q

化筒得（幼一珈乂久?一的）+（0一%）（为一的）=0,

即4（为-1）一讥］（g—m）+［k（，2-1）-gu］（®i-g）

=2kx{x2—（g（）+ka;（）+k）（ci+g）+2c（）（y（）+k）=0,

2E2—84&2

于是2小一版+如+^许+2M冽+田=。,

2k'Ui

故2k（2村一8）—4A?Q