双曲线及其标准方程（高效培优讲义）原卷版

专题2.1双曲线及其标准方程

教学目标、教学重难点

「双曲线的定义

知识清单双曲线的标准方程

椭圆与双曲线定义及方程的比较

待定系数法求双曲线的标准方程

定义法求双曲线的标准方程

由方程表示双曲线的条件求参

点与双曲线位置关系的判新

双曲线的标准方程

利用定义求双曲线的焦半径

题型精讲

与双曲线有关的轨迹问题

双曲线的隹点三角形问题

双曲线中的距离最值问题

双曲线的买际应用

双曲线与向量、复数模长交汇问题

「练基础

强化训练练提升

j练创新

k教学目标、教学重难点\

1.理解双曲线的定义；

教学目标2.掌握双曲线标准方程推导过程；

3通.过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美，培养学习数学的兴趣.

1.重点：理解和掌握双曲线的定义、图形和标准方程及其求法.

教学重难点

2难.点：双曲线方程的推导.

知识清单

知识点01双曲线的定义(重点)

1.定义

平面内与两个定点Fi，B(r五2|=2c>0)的为非零常数2a(2a〈2c)的点的轨迹叫做双曲线.这

两个定点叫做双曲线的，叫做双曲线的焦距.

2.集合语言表达式

集合:尸={加|||肛|-也£||=220<2a<|即|}.

⑴当时，M点的轨迹是：

(2)当2a=四&|时，M点的轨迹是；

(3)当2a>|HB|时，河点.

【茹世前法】..........................................................

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点〃的轨迹为双曲线的•支，具体是哪一支,取决于

L|与|的大小.

(1)若|MF,|>|MF21,则|一|"6|>0，点〃的轨迹是靠近定点F2的那一支；

(2)若|MF}|<|MF21,则|*|一||>0，点M的轨迹是靠近定点F、的那一支.

【前季斯缥】.............................................................

1.己知两定点以(-3,0)、F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是()

A.||PF,|-|PF2||=5B.||PF||一四2||=6

C.||PHL|PF2||=7D.||PFI|-|PF2||=0

知识点02双曲线的标准方程(重点)

1.标准方程

。力,。间的关系

【知识剖析】

探究双曲线的标准方程中的“标准”

连接双曲线两焦点所得线段的中点在原点，且平面直角坐标系是以两定点所在直线和两定点所连

线段的垂直平分线为坐标轴建立的，不符合上述特征的双曲线的方程都不是双曲线的标准方程.

……2：…擦秃双曲线的标泳芳程.....................................................................

(1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,a〈b,a=b均有可能，这不同于椭圆中的限制条

件a>b>0.

(2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件.

(3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点1，鸟的位置是双曲线的定位条件，焦点的位置决定了双曲线标

准方程的类型:焦点在x轴上=标准方程中含—的系数为正;焦点在y轴上。标准方程中的系数

为正.

3双曲线的一般方程

若不能确定双曲线焦点的位置,常可设出所求双曲线的•般方程九P<0).

(1)当时，双曲线的焦点在X轴上；

(2)当时，双曲线的焦点在y轴上.

4.双曲线的基础三角形

在双曲线的标准方程中，因为a,b,c三个量满足c?=a?+〃,所以长度分别为a.的三条线段恰好构成

一个直角三角形,此三角形为双曲线的基础三角形，且长度为c的线段是此三角形的斜边,如图.

【即学即练】

1.(24-25高二上•北京・月考)化简方程J(X+5)2+/—J(X—5F+_/=8的结果是()

f人1

A.B.

*916

C.D.

2516而一

2.在双曲线的标准力程中，若a=3,b=4,则其标准力程为.

方法技巧

待定系数法求双曲线标准方程的步骤

【变式1-1]（24-25高二上•内蒙古包头•期中）过点（2,2）且与椭圆9』+3/=27有相同焦点的双曲线方程

为（）

AX2//VC//7D/%

A.------=1B.-------=1

68682424

【变式1-2]（24-25高二上•河北・期中）已知双曲线经过点对2日6）1卜2"-网，则其标准方程为

B.

3

I或1-：印

D.y-f

题型02定义法求双曲线的标准方程

99

【典例2】求以椭圆看+g1的短轴的两个端点为焦点"且过点月（4,一5）的双曲线的标准方程;

方法技巧

利用定义法求双曲线的标准方程

若已知双曲线两焦点及双曲线上一点的坐标，则由双曲线定义可知，双曲线上的任一点到两焦点的距:

离之差的绝对值为2a,由此可确定a的值，再进一步求b.:

［至亮2m五二25-高三金茂而市）7口囱二看而三而拓拓不济团二蕨二豆疝万6「81以一茄而黄而宣最为

x轴，D的中垂线为丁轴，建立平面直角坐标系，则以A,3为焦点，口过点C的双曲线方程为.

【变式2-2］（24-25高二上•江苏常州•期中）在直角坐标平面内，已知Z=（x+2j）［=（x-2,），），若

|£H昨2,则点尸（2）所在曲线的方程为.

题型03由方程表示双曲线的条件求参

【典例3】（多选）（24-25高二上•广西桂林•期中）对于曲线C：工+工=1,下面说法正确的是（）

I4—k

A.若％=2,曲线C的长轴长为2

B.若曲线。是椭圆，则左的取值范围是l<k<4

C.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则R的取值范围是左>4

D.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，离心率为走，则左值为3

2

方法技巧

由双曲线标准方程求参数范围

V

（I）对于方程二Y十2=1,当相〃<0时表示双曲线；

mn

当tn>0,〃<0时表示焦点在.x轴上的双曲线；

当m<0,〃>0时表示焦点在>，轴上的双曲线.

x2y2

（2）对于方程-------=1»当〃H7>0时表示双曲线；

mn

当〃7>0,”>0时表示焦点在/轴上的双曲线；

当m<0,/?<0时表示焦点在轴上的双曲线.

（3）己知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,

再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围.

【变式3-1】已知方程上+上=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数〃，的取值范围是（）

w-32-m

A.（f,2）B.C.（3,+8）D.（豹）

【变式3-2］（多选）已知方程£+上二=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

4-/t-\

A.当lv/<4时，曲线。是椭圆

B.当04或。<1时，曲线C是双曲线

C.若曲线。是焦点在x轴上的椭圆，则l</<g

D.若曲线。是焦点在V轴上的椭圆，则Z>4

题型04点与双曲线位置关系的判断

【典例4】若点P（L1）在椭圆G公+2/二产+］内，也在双由线。6丫2一72=*+1内，则t的取值范

围为.

方法技巧

点与双曲线位置关系的判断方法

22

双曲线是一个开放的图形，平面内点。（小,为）和双曲线一x7—2V=1（。>0/>0）的位置关系如下：

Q-O

⑴若2-驾=1,则点尸（迎,打）在双曲线上；

ab“

（2）若?一冬〉1,则点Pg,%,）在双曲线内；

crb’

（3）若"一与<1,则点尸（玉,打）在双曲线两支之间.

ab

【变式4】善点P（L1）Z椭圆。：15犬+2/=广+1外，也&双曲薮。：6/一/=/+1的两支之间，则t

的取值范围为.

题型05利用定义求双曲线的焦半径

【典例】设尸是双曲线上一点，”，鸟分别是双曲线左右两个焦点，若归用=9,则|?周等于

A.1B.17C.1或17D.5或13

方法技巧

利用定义求双曲线的焦半径

若点P在以F】，F2为焦点的双曲线上，则由双曲线的定义可得忸用-归周卜2%故已知双曲线的一

条焦半径|。用时，可用双曲线的定义求得它的另一条焦半径|P段=|P£|±2a,但要注意检验所求得的两

解是否都符合题意.

【变式5-1】已知双曲线C：2-4=】的左，右焦点分别为£，F,,过K的直线与双曲线。的右支交于

169

A,4两点，且|力邳=6,则△大4B的周长为（）

A.20B.22C.28D.36

【变式5-2】双曲线=-匕=15>0）的两个焦点分别是片与巴，焦距为8;M是双曲线上的一点，且

a'12

块用1=5,则|A华卜.

题型06与双曲线有关的轨迹问题

【典例6-1］（24-25高二上•云南•月考）设48两点的坐标分别为（-3,0）,（3,0）,直线4W与5M相交于点

2

",且它们的斜率之积为♦，则点M的轨迹方程为（）

2222

A.二十匕=l（x齐士3）B.---匕=l（x『±3）

96V769V7

C.匕+工=1（XH±3）D.--^=1（X^±3）

96V796V7

【典例6-2］（24-25高二上•重庆•期中）己知M（-2,0）,圆C:x?-4》+_/=0,动圆。经过M点且与圆C

相切，则动圆圆心尸的轨迹方程是（）

A.x2-^-=l（x>l）B.y-/=l（x>V3）

C./一匕=iD.—-y2=l

33“

方法技巧

两种方法搞定与双曲线有关的点的轨迹问题

求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出等量关系，化简得到方程.（2）寻找

几何关系，若符合双曲线的定义，从而得出对应的方程.

求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：（D双曲线的焦点所在的坐标轴.（2）检验所求的轨迹对应的是

双曲线的一支还是两支.

【变式6-1】已知圆G：（工+3）~+）户=1和圆G：（X-3）~+V=9,动圆“同时与圆G及圆G相外切，则

动圆的圆心M的轨迹方程为（）

A.x2-^-=l(x>l)B.x2-^-=l

8

C.x2-^=l(x<-l)D.上-/=i

8

【变式6-2】过椭圆工+工一=右焦点尸的圆与圆O：F+y2=4外切，则该圆直径产。的端点。

mm-9

的轨迹方程为（）

A//IB『/

A.-----=1=1(x4-2)

4545

C.^--^=l(x>2)D//

45

【变式6-3】过点（-3,0）,且与圆（x-3f+_/=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为

题型07双曲线的焦点三角形问题

【典例7】设双曲线的左、右焦点为小匕点尸是C上一点，满足分〜。。，则

△4跖的面积为.

方法技巧

双曲线的焦点三角形求解策略

1.双曲线上的点”与其两个焦点内，K连接而成的△依£称为焦点三角形.对于双曲线的焦点三角

形问题常利用双曲线定义结合三角形有关知识（正、余弦定理、面积公式）求解，要注意把握整体思想的应

用.

2.双曲线中的焦点三角形△不居面积的方法

（1）①根据双曲线的定义求出俨61Tp引=2%

②利用余弦定理表示出|尸士|、|，乙|、|£八|之间满足的关系式：

③通过配方，利用整体的思想求出|尸"卜|尸用的值；

④利用公式S=，x|罚讣归sinN耳P用求得面积.

2

（2）利用公式5=3、寓&卜|匕,|求得面积；

（3）若双曲线中焦点三角形的顶角";尸月二夕，则面积s=，结论适用r-选择或填空题.

tan—

2

2

【变式7・1】（24・25高二下•安徽・月考）设尸是双曲线C:二-丁=1右支上一点，鼻,巴分别是双曲线。

4'

的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段尸片的中点，若|。0|=1,则|P£|的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式7-2］（24-25高二上•河北衡水・月考）已知椭圆二+匕=1与双曲线--片=1有相同的焦点耳,巴，

a123

且椭圆与双曲线在第一象限的交点为尸，则cos/月月用的值为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

22

【变式7-3］（24-25高二上•广东肇庆•期木）已知双曲线5-*=1（。＞。，方＞。）的左、右焦点分别为

K，F2,离心率为石.点。为双曲线右支上的一点，

⑴若点P到x轴的距离为2,△?£鸟的面积为2石，求双曲线的标准方程；

（2）若叫工桃,求lan/尸/笆的值.

题型08双曲线中的距离最值问题

【典例8-1］（24-25高二上•广东深圳•期末）（24已知点尸是双曲线Q号一M=1的上焦点，M是g下支上

的一点，点N是圆。2：/+、2-4%+3=0上一点，则|MH+|MN|的最小值是（）

A.7B.6C.5D.4V2-1

【典例8-2］（24-25高二上•江苏南通・期末）设双曲线C的左焦点和右焦点分别是£,F1,点

421

3

P是C右支上的一点，则|P用+的的最小值为.

方法技巧

双曲线中的距离最值求解策略

1.在遇到双曲线中线段和或的最值问题时，常利用双曲线的上点的性质（||"用一|，收||二2。）及三

角形三边关系转化求解，即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解.

2.注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.

【变式8-1］（2025・山东济南•三模）双曲线C:工-亡=1的左焦点为尸，点力（0,4）,若P为C右支上的一

45

个动点，则I211+10耳的最小值为.

X22

------J厂二1

【变式8-2］（24-25高二上•山西太原•期末）已知双曲线伤3的左焦点为凡点必是少右支上的

动点，点*是圆一+（尸2y=3上的动点，则的最大值为,

题型09双曲线的实际应用

【典例9】（24-25高二下•上海浦东新•期中）如图，某苗圃有两个入口A、4,|力却=100,欲在苗圃内开

辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的C处，已知|C/|=80,|C5|=88,以科所在直线为

x轴，中点为原点建立直角坐标系.

（1）工人计划将树苗运送至P（7,l）处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；

（2）工人将。处树苗运送到苗圃内点尸处时，发现从两个入口A、3运输的最近距离相等，求出的点夕所有

可能的位置.

方法技巧

双曲线的实际应用

双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实

际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.

【变式9-1］（24-25高二上•河北张家口•阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线二=1

9m

的图象的一部分，当拱顶”到水面的距离为3米时，水面宽45为米，则当水面宽度为4布米时，拱

顶M到水面的距离为（）

【变式9-2］（2025高三•全国•专题练习）如图，已知力，4两地相距600m,在/地听到炮弹爆炸声比在

〃地早1s,且声速为340m/s.以线段48的中点为坐标原点，花的方向为x轴的正方向建立平面直角坐

标系xOf则炮弹爆炸点的轨迹方程为（）

2222

.-------=l(x<0)B.-------=l(x<0)

28900610002890061100

X2V2X2V2

.-------—=l(.r>0)D.-...........=l(x>0)

28900610002890061100

题型10双曲线与向量、复数模长交汇问题

【典例10-1】（2025•江苏盐城•模拟预测）已知复数z满足|z十2i|-|z-2i|=±2,则复数z所对应的点的轨迹

方程为.

【典例10-2］（2025•江西•模拟预测）已知平面向量G,B,c,满足|万|=2,m+菊-西-划=2,

I“训=1,则修-5|的最小值为______.

方法技巧

双曲线与向量、复数的模长交汇问题

平面向量与复数的一类模长问题可转化为点到两定点间距离之差或差的绝对值为定值的问题，对于这

类问题，常进•步转化为双曲线问题求解.

[]（24-25高三R工嬴不与*而一,而而耳而云石五品百而品质面菱1£:…/满适

I+石帝卜-石耳+4邛-6可=1,则坂在方方向上的数量投影的取值范围是.

强化训练

练基础

1.已知双曲线方程为*2—2y=1,则它的右焦点坐标为（）

D.(y[3,0)

2.（24-25高二上•新疆•月考）动点P到点A/（-L（））,N（1,O）的距离之差等于2,则动点尸的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的一支

C.两条射线D.一条射线

3.（24-25高三下•广西•阶段练习〕双曲线二-亡=1（〃>0）两个焦点斗巴，焦距为8,M为曲线上一点,

a~12

版|=5,贝1」|阿=（）

A.1B.1或9C.9D.3

4.过点（2,2）且与椭圆9/+3/=27有相同焦点的双曲线方程为（）

A.--^=1B.^-―=1C.工上=1D.=1

68682424

5.（24・25高二上•辽宁•期末）已知力（0,-2夜），40,2日），动点P满足丹|-陷=2近，则点P的轨迹

方程为（）

A.近）B.^--x2=l

22

C.y-y2=l（x>V7）D.y-r=1

6（24-25高二上•山东德州•期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图

所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转釉逐层旋转

打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面

计算），则笔筒最细处的直径为（）

7.（多选）（24-25高二•全国・单元测试）过点（1，1）且2=应的双曲线的标准方程是（）

a

2222

8.（多选）（24-25高二上•陕西西安•期末）已知曲线C:g2+//=1,则（）

A.若〃则C是圆B.若=则C是椭圆

C.若〃叫<0,则。是双曲线D.若〃?=0,则C是两条直线

9.（24-25高二下•上海黄浦•阶段练习）方程上+工=1表示焦点在V轴上的双曲线，则〃7的取值范围

3-ww-1

是.

10.已知动点M（x,歹）满足J（x+2）My2_Ja—2>+产=4,则动点M的轨迹方程是.

11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线田一春=1上一点M的横坐标为3,则点"到此双曲线的右焦

点的距离为.

12.设圆C与两圆（X+6）2+JR=4,（工一6）2+炉=4中的一个内切，另一个外切.求圆心。的轨迹£的方

程.

13.(24-25高二上•云南丽江•阶段练习)己知双曲线C：1-3=15>01>0)的焦点为4,且经过点

crb~

(2,3).

(1)求。的方程；

(2)双曲线C的两个焦点是《，鸟，双曲线上有一点P,/4尸乃二12()。，求△石夕名的面积.

14.(24-25高二上•陕西汉中•期末)已知双曲线。：57-/=](。>0)的焦距为2近,

(1)求双曲线。的方•程：

(2)若点4(5,0),点。为双曲线C左支上一点，求|P/|+|PF|的最小值.

练提升

15.(24-25高二上•江西•月考)若动圆过定点4(2,0),且和定圆C:(x+2了+/=1外切，则动圆圆心P的

轨迹方程为()

A.一=1x2；

C.4T1

2)

16.（2024・四川•模拟预测）已知C，5分别为双曲线C的左、右焦点，过大的直线与双曲线。的左支交

于4B两点,若所|=2闺8|,朋=|6用，贝!）8$"明=（）

11-22

A.—B.-C.-D.—

18993

22

17.（24-25高二上•江苏苏州•月考）已知双曲线C：匕—工=1的下焦点为尸，J（3,7）,P是双曲线C上支

45

上的动点，则II^HFI的最大值是（）

A.不存在B.8C.7D.6

18.（多选）（24-25高二上•贵州铜仁・月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点彳（-2,0）,8（2,0）,。是一个

动点，则下列说法错误的是（）

A.若|4|+|P8|=4,则点尸的轨迹是椭圆

B.若月+而卜|西-司，则点尸的轨迹为圆

C.若|R4卜|PB|=2.则点尸的轨迹为双曲线

D.若|丁川2T尸例2=4,则点/＞的轨迹为一条线段

19.（多选）（24-25高三上•浙江•期末）已知曲线。:一^-----=l（weR）,下列说法正确的有（）

加+22tn-1

A.若曲线。表示焦点在x轴上的椭圆，则

B.若曲线。表示焦点在N轴上的椭圆，则-2

C.若曲线。表示焦点在x轴上的双曲线，则

D.若曲线。表示焦点在N轴上的双曲线，则加＜-2

20.124-25高二上•山西大同•期末）点片，居分别是双曲线从二-/二1的左、右焦点，点?在上，且

4

7T

则的周长是.

21.（23-24高二上•山东泰安・月考）设耳乃是双曲线［（=1的两个焦点，A是该双曲线上一点，且

|P£|:|P周二2:1,则△历用的面积等于.

22.（24-25高二上•河北保定•期中）某地发生地震，呈曲线形状的公路灯上任意一点到A村的距离比到3

村的距离远4km,4村在A村的正东方向6km处，。村在A