天津市河北区2024-2025学年高一年级下册期末质量检测数学试题（含答案解析）

学校:姓名：班级：考号：

I.为了了解某地参加计算机水平测试的5。0。名学生的成绩，从中抽取了20U名学生进行调

查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是（）

A.个体B.样本C.总体D.样本量

2.已知向量不二（2,4）,b=（-2"）（/〃ER）,若石」,则打二（）

A.-1B.1C.-4D.4

3.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（）

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没有中靶

4.以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几

何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2,则该几何体的体积为（）

阮2y121t471

A.—B.阮C.丝二D.——

??3

5.如图，在48c中，点。是8c的中点，点E是4）的中点，设己4=%巳-8=力，则2一厂一二

()

A.-n+-hB.-a+-h

4274

C.-a+-bD.-a+-b

4?94

6.如图，在正方体。中，直线4/C与平面,48CO所成角的余弦值是（）

试卷第I页，共4页

7.已知集合力二{-1,0,1},点P的坐标为G，y）,其中力，yA,则点尸落在第一象限

的概率为（）

1121

A.—B.-C.—D.一

6aQ9

8.已知，明〃表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（）

A.若〃7IIa,则加II〃B.若加II”，m_La,则〃_La

C.若〃?_La,mJ_n,则〃HaD.若n（~at则〃?

9.走路是“最简单、最优良的锻炼方式“，它不仅可以和助减肥，还可以增强心肺功能、血

管弹性、肌肉力量等.如性为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结

论中不取弗的是（）

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

A.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙B.这一星期内甲的日步数的方差大于乙

C.这一星期内乙的日步数的30%分位数是7030D.这一星期内甲的日步数的中位数

为II600

10.已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为2力，A/为,4/中点，则点■到

试卷第2页，共4页

平面48〈的距离为（）

4J5

A,以Dt>.-----c屿

757。・半

11.i是虚数单位，化简上辿的结果为_____

4-4i

12.一组数据按从小到大的顺序排列为56,59,60,62,a,若这组数据的极差为7,则这

组数据的方差为.

23

13.甲、乙两名同学参加某项测试，己知甲达标的概率为Q,乙达标的概率为两人能否

达标互不影响，则至少有一人达标的概率为.

14.如图，在四棱锥产iACO中，尸力，底面48CO,底面48。是边长为1的正方形，PA

=1，则侧面PCD与底面48CO所成的二面角的大小是.

15.在44。中，JLBAC=60°,AC=2,_2DC-14则AB=;设

AE=A4C—7?)»且/fO.XE=4*则力的值为

16.从两名男生（记为乱和&）、两名女生（记为G和G：）中任意抽取两人.

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本

空间.

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.

17.在43。中，内角44,。所对的边分别为4c.已知a=Jii，6=2,cosJ=-.

4

（1）求sinB的值;

试卷第3页，共4页

《天津市河北区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBDADDDBDCA

I.B

【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可.

【详解】被抽取的200名学生是样本.

故选:B.

2.B

【分析】根据平而向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由±b,得/.人=-4+初?=o,解得m=1.

故选：B.

3.D

【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.

【详解】连续射击两次中杷的情况如下：①两次都中靶；

②只有一次中靶；③两次都没有中靶，

所以事件“至少一次中靶''互为对立事件的是两次都没有中靶.

故选：D.

4.A

【分析】由圆锥的体积公式求解即可.

【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为2,高为2的圆锥，

则该几何体的体积为P=：（7Tx22）x2=

故选：A

5.D

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求得答案.

【详解】由点。是8c的中点，点七是的中点，

—I—1—1—1—|1-

^CE=-CA+-CD=-CA+-CB=-a+-b.

yyy4y4

故选：D

6.D

【分析】连接力C,根据线面角定义可以判断出上小。是直线4C与平面48CQ所成角,设出

答案第1页，共9页

正方体的梭长，利用勾股定理和锐角的三角函数定义可以求出直线4C与平面48CQ所成角

的余弦值.

【详解】连接力C,由正方体的性质可知：平面48CQ,由线面角的定义可知：上出口是

直线4/C与平面48C。所成角，设正方体的棱长为I,底面是与正方形，故应在即

ACyflx/6

中,4。=小油+AC?=73,cosZ.A/JA=

芯二7TT

故选：D

【点睛】本题考查了线面角的求法，考查了数学运算能力.

7.D

【分析】列举出所有的情)兄，结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】点尸的坐标为(・1,・1),(-1,0),(・1,1),(0,・1),(0,0),(0,1),(1,7),(1,0),(1,1)，

其中在第一象限的有(1,1),

则点P落在第一象限的概率为t.

故选：D.

8.BD

【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,若〃“la,nWa,则MH”或者孙〃异面，或者机，〃相交，故A错吴,

对于B,若mH〃，〃?_!_。，则〃_La,故B正确，

对于c,若用_La,〃?_!_〃，贝Milm戈者“La,故c错误，

对于D,若机_La,。，则/〃_!_〃，D正确，

故选：BD

9.C

【分析】根据平均数，方差，白分位数，中位数的定义求解判断各选项即口J.

答案第2页，共9页

一1,

【详解】对于A，(16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000

^=1(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500,

所以x甲>不乙，故A正确;

对于B,由折线图可以看出，甲的日步数的波动性大于乙的门步数的波动性，

所以S*>灵，故B正确：

对于C,乙的步数从小到大排列为：5340,7030,10060,11600,12300,12970,14200,

因为7x30%=2.1,故这一星期内乙的日步数为30%分位数是10060,故C错误；

对于D,甲的步数从小到大排列为：2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,

中位数是11600,故D正确.

故选：C.

10.A

【分析】根据三棱柱的体积求出棱长,设M到平面48c的距离为d,利用匕=忆'M

以及棱锥的体积公式即可求解•.

【详解】直三棱柱力4。・4々加的各棱长均相等，设棱长为。，因为体积为2J3,

所以/=*/•〃=26，解得：«=2,

设点用到平面48c的距离为d,

因为44=2,CBkCA=2及,

所以“四。中，AA边上的高为，(2及『一产二汨,

取力8的中点〃，连接“，则

因为44_L面力8C，面彳8C,所以

因为44rM4,所以。，_1_面相用小，在V48c中，CH=C，

由乙”",即:7L44=g.0”母”向“，

即•布=1xVJx』x2xL

332

答案第3页，共9页

解得：d=—^

7

故点〃到平面的距离为与

故选：A.

【分析】根据复数的运算法则求解即可.

l+2i(l+2i)(3+4i)3+4i+6i+8i?_-5+10i_12.

【详3^4i-(3-4i)(3+4i)~~9-l6i2-~25~-5+5,

12

故答案为：一一+-i.

SS

12.6

【分析】由极差定义求得。=63,再根据方差定义计算方差.

【详解】由题意得a・56=7,则a=63,

所以这组数据的平均数为56+59+^+62+63=60：

方差为1(56-60『+(59-60)2+(60-601+包-6G介包-60*6.

故答案为：6.

13.丫

IS

【分析】先考虑两人均未达标的概率，即可得到至少有一人达标的概率.

【详解】两人均未达标的就率为："可卜1--=—,

故至少有一人达标的概率为1-25=1/3.

故答案为：

14.45°

答案第4页，共9页

【分析】由题意可证得CDJ_平面尸4）,从而/PQZ为侧面PC。与底面48C。所成的二面

角的平面角，求解即可.

【详解】因为底面"C。是边长为1的正方形，所以4）_LC。，

又因为底面48c£）,CPCJ^ffiABCD,所以/MJ.CO,

因为2irUQ=/l,PA.4D在面PHD内，所以CO_L平面"。，

又因为尸。u平面尸4。，所以C0_L&）,

于是NPDA为侧面PCD与底面/18CQ所成的二面角的平面角，

因为产力_1_底面/18C。，/Du底面/8CO,PA±AD,

又因为4=1,AD=\,所以NP£M=45。，

于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45。.

故答案为：45°.

27

15.3

11

【分析】由内力二）八i可得力f。=[%f8+?2疣T，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运

和，解方程即可：

-*1T2f

把/。=1/8+彳”和我二庆.为代入心介=4,化简整理后，代入已知数据，解关于

/!的方程即可得解•.

【详解】解：•’而二2元，由、D、C二点共线，

T]T2T

AD=-AB+-AC

33»

**I**4f

两边平方得：|/1D|2=^|/lfi|2+-|/lC|2+2xlx±|AB\-\AC\cos60°

37I-*44.1

彳=：|/8『+5x4+：x2x|明x；：

解得：网=3或-7（舍去）.

AD.AE=4»

.•.（那+：左）44足血=4,

化简整理，得」成一+以772+工：^^元=3

I2zZ-227

--x9+—x4+—x3x2xcos60°=4,解得K=—.

答案第5页，共9页

故答案为：3,—.

11

【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面

向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力.

16.（1）详见解析（2）025;0.167;0

【解析】（1）设第一次抽取的人记为为，第二次抽取的人记为马，则可用数组（单”2）表示

样本点.，有放回地抽样，任取一个，然后与所有的组合，包括自身；无放回抽样，任取一

个，然后与剩下的所有组合：按性别等比例分层抽样，取一个男的，只能与一个女的组合，

同样取一个女的，只能与一个男的组合.这样可一一列举出所有样本点.

（2）分别求出各种抽样中事件力所含样本点的个数，然后计算概率.

【详解】解：设第一次抽取的人记为占，第二次抽取的人记为X2,则可用数组（Xi/?）表示

样本点.

（1）根据相应的抽样方法可知：

有放问简单随机抽样的样本空间

Q=侬⑥㈤,&G）,（B%G2）,

（G出）,（G,4）,（G,G）（G,G2）,（G㈤,&GJ,QGJ｝

不放回简单随机抽样的样本空间

Q=｛0㈤®@）,（5£）,（应四,（G/J,（G/J,（G,G）

&"）,（G"）（0,Gj｝

按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间

a=｛（%G.）,（%G2）,（%G）,⑶G2）｝

（2）设事件4="抽到两名男生“，则

对于有放回简单随机抽样，A=（所,丛），（昆*）,（&,a）｝,

因为抽中样本空间Q1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个占典概型.因此

4

P（j）=_=0.25.

v716

对于不放回简单随机抽样，A=｛（从，丛），（丛，&）｝,

答案第6页，共9页

因为抽中样本空间。2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个占典概型.

,21

因幽2）=正=铲0.167

因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以力=（7）,因此〃（,4）=0.

【点睛】本题考查样本空间，考查占典概型.属于基础题.

17.（1）^

4

(22,&…浮

【分析】（1）根据平方关系可得sirM=正，进而结合正弦定理求解即可;

（2）由余弦定理可得。，再结合三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）由题意，sinA=y）\-cos2A=,

V164

.V10_2r-

由号则而-痛，解悬巾8=乎・

sinAsinBy4

d

⑵由馍乂=立

2bc4c4

解得c=3或c=-2（舍去），

Jcs田乂24叵=4

则S而

??44

18.(1)0.02

(2)77.5

⑶A

【分析】（1）根据已知条件，由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1,即可求出“的

值;

（2）结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解;

（3）根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解.

【详解】⑴由频率分布直方图可得，（0.01+2a+0.04+0.05+0.06）x5=1,解得a=0.02;

(2)由频率分布直方图可得，

(0.01+0.02+0.()4)x5=().35<().5,

(0.01+0.02+0.04+0.06)x5=0,65>0.5

则中位数在［75,80)之瓦设为x,

答案第7页，共9页

则（x-75）x0.06+0.35=0.5,解得x=77.5,

故中位数为77.5分；

（3）评分在［65,70）,［70,75）对应的频率