四川省成都市2024-2025学年高二年级上册1月期末调研数学试题（解析版）

四川省成都市2024-2025学年高二上学期1月期末调研

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求.

1.直线氐一>二°的倾斜角为（）

71一兀八2兀、5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】\/3x-y=0化为y=垂,

所以直线&-y=0的斜率为6，

设直线JIE-》=0的倾斜角为。，则0<夕<180。，

又因为tan8=JJ，所以6=60=],

故选：B.

2.从1〜9这9个数字中隙机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）

【答案】B

【解析】12=1,22=4,32=9,42=16,52=25»62=36,72=49,82=64,92=81>故个位数字为

2

1的概率为：--

故选：B.

3.圆C：Y+y2=4和圆C2：（x—3『+（y—4）2=16的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.相嘲

【答案】C

【解析】圆G：f+_/=4的圆心为c（O,O）,半径《二2,

圆C2:（x—3f+（y-4>=16的圆心为G（工4）,半径G=4,

圆心即一|G。,|二132+4?=5，/+弓=6心一4=2,

所以2v5<6,即今一彳<|^。21<4+（，故两圆相交.

故选：C.

4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=”第一枚硬币正面朝上“，事件8="第二枚硬币反

面朝上”，则下述正确的是（）

A.A与8互为对立事件B.A与8互斥

C.A与8相等D.A与“相互独立

【答案】D

【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，

反），事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），事件8包含的结果有：（正，反），（反，

反），显然事件A,事件B都含有“（正，反）”这一结果，印事件A,事件8能同时发生，因

此，事件4,事件8既不互斥也不对立，故A,B均错误：

事件A,事件3中有不同狗结果，于是得事件A与事件8不相等，故C错误；

21?11

因为尸(4)=一=一，2(3)=—=一，2(43)=一，则尸(,43)=/\4)2(8),所以A与B相

42424

互独立，故D正确.

故诜：D.

22

5.已知产为椭圆。:二+汇=1上一点,耳，鸟分别是椭圆C的左、右焦点.若点。的横坐

84

标为J5,则4P"鸟的面积为（）

A.V3B.272C.2x/3D.4

【答案】C

22

【解析】因为C:二+汇=1,所以。=2,又因为点尸的横坐标为正，

84

所以2+—=1=>},2=3=>I=>/3,

8411

所以点尸的纵坐标为土6，所以=；x|£用x3=；x2cxg=2jL

J，

故选：c.

6.如图，在四面体ABC。中，E是4c的中点，若福=入AC=b^AD=c^则屁=

B-1]_

—a+—b+c

22

11U

D.—a+—br+—c

242

22

【答案】A

【解析】由题意知,

DS=-DB+-W=-(AB-Ab)+-(AC-AD)=-AB+-AC-AD=-a+-b-c.

22222222

故选：A.

7.已知双曲线c：\一靠■=I（Q〉O,/?〉O）的右焦点为尸，渐近线为4,4,过歹且垂直

于4的直线分别交于M，N两点，且两二—g或，则双曲线的离心率为（）

A.拽B.G

C.2D.75

3

【答案】A

【解析】如下图所示：

双曲线的渐近线方程为bx±ay=O,则F到宜线OM的距离为IFM\=/,,=h，

yjlr+a

因为而二一;前，则|FN|=2|FM|=»,故|肱V|=|FM|+|F7V|=Z?+2〃=3/7,

由勾股定理可得|0M|二^|OF|2-|FM|2=\lc2-b2=a，

设4FON=/FOM=6,则tan6=一，

a

2h

八〃八*rc八2lanelab

则tan/MON=tan2。=------=-=—-----,

l-tan26>.b2a2-h2

1-晨

因为tan/MON=线)=—=孚，，整理可得a2=3b2=3(c2-a2Y

\OM\aa-b-'7

则：=解得《=拽.

a233

故选：A.

8.如图，二面角。一/一6的棱上有两个点AB,线段AC与3。分别在这个二面角的两

个面内，并且都垂直于棱/.若AB=1，AC=2,BD=3,二面角。一/一〃的平面角

为四，则CD=（）

C.2GD.2、号

【答案】B

【解析】由条件知d而=0，丽.丽=0，CD=CA+AB+BD^

又二面角。一/一尸的平面角为三，

所以=|CA|2+1AS|2+1^5|2+2CA-AS+2AB-ED+ICA-BD

/\

=22+12+32+2x2x3cosn--=8,所以|C£）|=2五.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得（）分.

2

9.设。为坐标原点，尸为椭圆G：猴+V=1与双曲线。2：/-3，2=1在第一象限的公共

点，片，8分别是椭圆a的左、右焦点，则（）

A.G与的焦点相同B.|班卜|尸图二2

C.|叫=3D.\OP\=yf2

【答案】ABD

【解析】对于A,椭圆G：三+尸=1的焦点坐标为（土夜刀），双曲线仇：/一旷口的

3

焦点坐标也为卜&,0）,I"周二26，A正确：

对于B,对于双曲线。2：工2-)3=1，其实半轴长。=1，P点在双曲线右支上，

则\PFi\-\PF2\=2a=2,B正确;

2

对于C,对于椭圆G：,+y2=],有|p四+归周=2石，结合|?用一|尸闾=2,

则归用=1+JLC错误;

对于D,结合C的分析可得|P用=6—1,

叫哺+|P周2=(1+何+(6—1)2=8=(忻周丫，

即N£P鸟为直角，故|0尸|二4耳行|=J5,D正确，

故选：ABD.

10.某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学

生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方

图，下面结论正确的是()

频率

B.此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为25%

C.此次竞赛成绩众数的估计值为75

D.此次竞赛成绩平均数估计值不超过80

【答案】BCD

【解析】A：l(X0.(X)5+x+0.020+0.03()+0.035)=l,解得x=Q010,故A错误;

B：由图可知，此次竞赛成绩低于70的学生比率为10(0.005+0.020)X100%=25%,故B正

确；

C：由图可知，众数位于纽(70,80]内，所以其估计值为75,故C正确；

D：此次竞赛的平均成绩为：

55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,不超过80,故D正确.

故选：BCD.

11.已知一条线段的端点分别是A(%.y),3(%.%)・关于x，y的方程

a(x-xl)(x-x2)+b(y-yl)(y-y2)=cf则()

A.当。=bwO,c=O时，方程所表示的曲线是以AB为直径的圆

B.当。=l/=-l,c6O时，方程所表示的曲线是双曲线

C.存在。力,c,使得方程所表示的曲线是椭圆

D.任意。>0,b>0,c>0,方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大了;兀

【答案】AC

【解析】对于A,记P(xy),

则题干条件即为(x-xj(x72)+()‘-y)(y-y2)=oo方•方=°，

则F4_L依，方程所表示的曲线是以A3为直径的圆，故A正确，

对于B,我们令A(0,0),B(0,2),a=l,/?=-l,c=1,

此时方程化为(十一0)(工一0)-()，一。)()-2)=1,

即x2-(y2-2y)=1,化简得x2-(y2-2y+l)=0,

得到f_(y_l)2=0,即[戈一(),_1)][1+(),一])]=0,

故得到x-y+1=0或x+y-1=0,

此时方程所表示的曲线不是双曲线，故B错误，

对于C,a(x-^)(x-x)+Z?(j-y,)(y-y2)=(?,

‘玉+工2丫(y+必丫

卜一^2^)+V2_)_°(%-超『()'「必『'

—z-----------------।-------------------I------------十----------

baab4/?4a

a>()/〉()

若要使该方程表示椭圆，只需<4W。即可，C正确;

C』(不一工()'|一丫2『、八

,ab4〃4a

对于D,由C可得曲线方程为

J#]0丫(、2/、2

I2JI2J_c(玉-电)山-必)，

baab4b4a

记5为c：江+£=£+(3%)-+(y)'2)的面积,

baah4b4a

S?为G：Y+y2=（%一'）；（1一%）的面积•

当G的长半轴小于等于G半径时，S1<S2=；HAB|2,故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线V=4x的准线方程为

【答案】x=-l

【解析】由抛物线£:），2=4X,可得£（1,0）,

抛物线G的准线方程为/=一1,

故答案为：x=-l.

13.已知空间三点A（l,2,1）,6（1,3,2）,C（2,3,1）,则以A8,AC为邻边的平行四边形的面

积为.

【答案】G

【解析】因为A（1,2,1）,6（1,3,2）,C（2,3,1）,丽=（0,1,1）,/=（1,1,0）,

所以|福卜Jo+1+1=、5,|AC|=>/1+1+0=V2,

阿AC|V2xV22,

所以sinNBAC=Vl-cos2Z.BAC=

所以以A民AC为邻边的平行四边形的面积为

5=|SB||4C|sinZB4C=V2x>/2x^=5/3

14.在某次活动中，登记的8个数据内,“2，七，…，虫的平均数为8,方差为16,其中

内=7.后来发现4应该为10,并且漏登记了一个数据14,则修正后的9个数据的平均

数为,方差为.

1CQ

【答案】9—

【解析】由题意知修正前%+/+&+…+/=8x8=64,

则/£+…+/=64-7=57,

Q1

修正后％+3+%+刍+…+/+14=81,故修正后的9个数据的平均数为亍=9

修正前g[(%i-8)~+(%一81+•+(4-8)[=16,

即得(％-8『+…+(/-8『=128-1=127,

故修正后的方差为"[(10-9『+(为—9『+…+(/-9『+(14-9)2]

=126+(%-8)~+

,+(4-8)-2(x)+…+/)+7x17

I1co

=-[26+127-2x57+7x17]=-^-.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCO-AgGA中，E,RG,”,K,L分别为

A艮B券同C，CADD4各棱的中点.

(1)求证：入。，平面五/6月//.：

(2)求平面与平面EFGHKL夹角的余弦值.

(1)证明：连接AC,B。，因为ABCO-A4G。为正方体，

所以BD_LAC,AAJL平面A3C3,

因为3Ou平面A8CD,所以A4_L33,

因为A4cAC=AA4，ACu平面A/C,所以804平面

因为4(u平面AAC,所以3O_LAC，

因为分别为A。,AB的中点，所以BD//EL,

故EL_LAC,同理可证LKJ.AC，

因为LEQLK=L,LE,LKu平面EFGHKL,

所以AC_L平面EbG”KL.

(2)解：因为ABCO-AgGQ为正方体，所以AB_LAD,AA.1AB,AA.1ADf

以A为原点，A仇A。,AA所在直线分别为X轴、)，轴、Z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,

则4（0,0,2）,C（2,2,0）,秋1,0,0）,“0,1,0）

从而后=（2,2,-2）,可=（-1,0,2）,m=（0,1,-2）,

由(1)知，ACJ.平面EFG/7KL,

故平面EFGHKL的一个法向量为后=(2,2,-2),

设平面AEL的法向量为n=(x,y,z),

力可二0-v+2z=0x=2z

则〈所以《明

>?-v=°y-2z=0y=2z

故平面\EL的一个法向量为方=(2,2,1),

百

由cos4C，万一丁

所以平面AEL与平面EFGHKL夹角的余弦值为走

3

16.已知圆。：寸+)尸一2工+2〉-14=0,直线/:(m+2)x+(〃z-l)y+2〃?-8=0.

(1)求证：直线/恒过定点；

(2)当直线/被圆。截得的弦长最短时，求出的值以及最短弦长.

(1)证明：由直线/:(〃?+2)x+(〃2-l)y+2"z-8=0,

得/:（x+y+2）w+（2x-y—8）=0,

x+y+2=（）x=2

联立方程〈解得J

2x-y-8=0

即当/=2,y=-4时，方程(/?7+2)x+(/?7-l)y4-2/??-8=0对实数加恒成立,

所以直线/恒过定点P(2,T).

(2)解：因为圆C方程可化为(x—1『+()，+1)2=16,

可知圆心为。(1,-1),半径r=4.

因为=可知点。在圆C内,

由圆的性质可知：圆心到直线/的距离J<|CP|=ViO,

2

则弦长卜阳二242―/2>2^r-|CP|.

故当CPJ_/时，直线/被圆C截得的弦长最短.

.—1—11

此时攵cpX勺=_1,故勺=1=二鼻=,.

KCpD。

"z+21口5

即nn-------二一，解得加二—

m-\34

最短弦长MM而°=2y]r2-|CP|2=2>/16-10=2x/6.

17.下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球.

游戏1游戏2游戏3

袋子中球的数量和2个红球和1个白

1个红球和2个白球2个红球和2个白球

颜色球

取球规则取1个球依次取2个球依次取2个球

取到红球-甲胜两个球同色f甲胜两个球同色一甲胜

获胜规则

两个球不同色”乙两个球不同色乙

取到白球->乙胜

胜胜

(1)分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；

(2)若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率.

解：(I)设事件A二“在游戏1中，甲获胜“；事件8="在游戏2中，甲获胜”；

事件C="在游戏3中，甲获胜”.

游戏I：设红球。力,白球为。，取1个球，共3种情况4。,C,

2

甲获胜的情况有2种。〃故尸(zA)=§；

游戏2：设红球为。，白球为Ac,依次取2个球，共6种情况aAac,拉7,0c,ca,c〃,

2I

甲获胜的情况有2利Sc,沙，故。(3)=二=彳；

63

游戏3：设红球为凡b,白球为c,d,依次取2个球，共12种情况:

ab,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,db,de,

41

甲获胜的情况有4种ab,ba,cd.dct故。（C）=丘=§

由于故游戏।对甲更有利♦

33

（2）当甲获胜次数多于乙时，甲获胜2次或3次.

设事件。二”在三个游戏中，甲获胜3次“，事件后二"在三个游戏中，甲获胜2次，输一

次“，

?II

由（1）知，P（A）=-,P（fi）=-,P（C）=-,

?112

故P（D）=P（A5C）=P（A）P（B）P（C）=、XQX丁亍

。JJJ1

P（E）=P（ABC）+P（ABC]+P[ABC）

=P（A）P（B）P（C）+P|A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）

11122121291

=­X—X—+—X—X—+—X—X—=——=—.

333333333273

2111

综上，甲获胜次数多于乙的概率尸二夕（。口后）=。（。）+。（£）=-+-=—.

27327

18.已知A3两点的坐标分别是（2,1）,（-2,1）,直线3。相交于点。，且直线的

斜率与直线8。的斜率之差是1,记动点。的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）已知过点尸（0,1）的直线《与C相交于M,N两点，过M,N分别作直线4：y=-l的

垂线，垂足为RQ,R为PQ的中点.

①证明：MR//FQ,

②设直线FQ与NR交于点K,记△KWR,Z\NP。的面积分别为51,邑，当3^2=32

时，求直线4的方程.

（1）解：设点。（乂），），则出一色

3笠4%,即…

所以C的方程为x2=4y（x。±2）.

（2）①证明：由题知，直线4斜率存在且不为0,

设4:y=辰+1,M（内,yJ,N（x2,y2）,故尸（％,-1）,Q（x2,-1）,

r=4V

由｛,，消去y得丁一4日一4二0，

y=KX+i

因此％+%=4k，M%2=<4=16（公+1）>0恒成立，

从而R（2k,T）,

故荻=（2%—%,-1-凶）=（24_%,_2_七「），匝=（々，-2）,

又因为（22_内）乂（_2）_（_2一例）£=TZ:+2（X[+玉）+如%2=74+8女-4攵=0,

所以疏//匝，

由M,F,R三点不共线得MR/AFQ成立.

②解：由①知，MR//FQ,

故公KMR的面积S「与△MRQ的面积相等，

又因为R为PQ的中点，所以△MRQ的面积等于aMPQ的面积的一半,

即S]=gSAMP。=；|内一与Hy+1|,

又因为S?=NPQ=3|工1一%I,|%+1|，

所以5s=：|再一七「.瓜+小民+1|二-(西+%)2-44q](a+2)(d+2)

O

="[(X+/『一[公玉々+2MM+W)+4],

由①知，%+々=4&,玉&=-4,

故“2=，(16/+16)(-4二+弘2+4)=8(/+1/=32,

解得z2=],即攵=±1.

所以直线/,的方程为），=/+1或y=-x+1.

19.在直角坐标系xQy中，椭圆的离心率是半，点

座㈤

4在。上，直线/：），=工+m（-与椭圆C相交于M,N两点，与x

2'2

轴相交于点K.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）将平面*Qv沿X轴翻折，使y轴正半轴和X轴所确定的半平面与.V轴负.半釉和X和所

确定的半平面所成二面角的平面角为6,且0〈夕《三.

2

JT

①当6=一,〃?=0时，求翻折后三棱锥A一OMN的体积；