线段的垂直平分线-2024青岛版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

4.2线段的垂直平分线青岛版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分考试时间：120分钟命题人:

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知△A8CG4c<8C）,用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使24+PC=BC,则符合要求的作图痕

迹是（）

2.如图，在△力8c中，AB=AC,AD.CE是△4BC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等

于BP+EP最小值的是（）

BDC

3.如图，等腰△48C中，AB=AC=W,BC=12,点0是底边8C的中点，以4、C为圆心，大于24c的长

度为半径分别画圆弧相交于两点E、F,若直线E"上有一个动点P,则线段PC+PD的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

4.如图，在正方形网格中有E,F两点，在直线，上求一点P,使PE+P/最短，则点P应选在（）

C.C点、D.。点

5.如图，在团力BC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF是8C的垂直平分线，P是直线E尸上的任意一点，则

P4+P8的最小值是（）

C.5D.6

6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,。是边8C上的中点，AD=12,M,N分别是

4D和4B上的动点，则BM+MN的最小值是)

60

A.10B•百C.12D.詈

7.如图，在A/IBC中，^ABC=54°,P为△ABC内一点，过点PII勺直线MN分别交

AB,BC于点M,N,若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则

乙4PC的度数为（）

A.104°B.106°C.117°D.136°

8.如图，在△48C中，根据图中尺规作图的痕迹作直线MN,分别交线段BC、4c于点。、E,连接4D.若

AE=2cm,△力BD的周长为11cm,则△A8C的周长为（）

A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm

9.到三角形三边距离相等的点是（）

A.三条边中线的交点B.一:条边的高的交点

C.三个角的角平分线的交点D.三条边的垂直且分线的交点

10.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与坐标轴交于上8两

点，已知C（0,2）是y轴上的一点，D、E分别为直线y=-％+4和不轴上的

动点，当△CDE的周长最小时，点。的坐标为（）

A.（0,4）

B£[）

C（|?）

D.[2,2）

11.如图，在中，AB=AC,49的垂直平分线交49于点N,交/C于点M,P是直线MN上一动点，点

H为BC的中点.若BC=5,△ABC的面积是30,则P8+PH的最小值为（）

12.如图，在中，ZC=90°,NB=30。，点。在BC上，且BD=2CD,过点。作B

BC的垂线交AB于点E,点F为线段4c上一个动点，若BE=8cm,则△£）£12的周长的最

小值为（）

D

A.8cm

B.12cmAF

17.（本小题8分）

如图，电信部门要在S区修建一座信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇4、8的距离必须相等,

到两条高速公路m和九的距离也必须相等，该发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.

18.（本小题8分）

如图，在中，AB=AC,的垂直平分线交718于点N,交力。于点M,连接3M.若AB=12cm,△

BCM的周长是21cm.

⑴求8C的长.

（2）若P是直线MN上一点，则△BCP周长的最小值是cm.

19.（本小题8分）

如图，在△718C中，点。为8c边的中点，过点B作BE〃/1C交力。的延长线手点E.

(1)求证：^BDE^LCDAx

(2)若AD1BC,求证：BA=BE.

20.（本小题8分）

如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，团48c的顶点4B,C均在格点上（小正

方形的顶点为格点），利用网格画图，（保留必要的画图痕迹）

（1）在直线4c上找一点P,使得点P到点8,C的距离相等；

（2）在图中找一点。，使得OA=OB=OC；

（3）在（1）、（2）小题的基础上，请在直线48上确定一点M,使MP+M。的值最小.

21.（本小题8分）

如图，在四边形48CD中，AD=AB=BC,AC上BD交于点0.

（1）求证：四边形ABCD为菱形；

（2）如图2,过四边形ABCD的顶点A作AE1BC于点E,交OB于点”，若48=AC=6,求四边形OHEC的面

积.

EC

(S2)

22.（本小题8分）

如图，在四边形力BCD内部作一点P,使得PA=PB,并且点P到匕BCD两边的距离相等.（不写作法，保留作

图痕迹）.

D

B

23.(本小题8分)

如图，将边长为3的正方形纸片沿EF折叠，点C落在力B边上的点G处，点。和点，重合，CG1EF于点

P,取GH的中点Q,连接PQ.

(1)求证：EF=CGx

(2)求△GPQ的周长最小值.

24.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中,△A3C的三个顶点坐标为A(3,4),8(1,2),C(5,l).

⑴画出△A8C关于y轴对称的44当G，并写出点当的坐标为;

(2)△/18C的面积为______；

(3)在X轴上找一点P,使三角形PBC的周长最小，在工轴上画出点P的位置.

25.（本小题8分）

如图，在△A8C中，=Z,C,点P,Q,R分别在边A8,BC,AC上，且P8=QC,Q8=RC.求证：点Q

在户R的垂直平分线上.

B。C

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了尺规作图.解决此类题目的关键是热悉基本几何图形的作法和性质.

利用等线段代换得到PA=PB,利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断.

【解答】

解：A.由图可知8/1=BP,则无法得出力P=8P,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误；

B、由图可知P4=PC,则无法得出力P=BP,故不能得出P4+PC=BC,故此选项错误；

C、由图可知。4=CP,则无法得出AP=BP,故不能得出P4+PC=BC,故此选项错误；

。、由图可知8P=RP,故能得出PA+PC=8C,故此选项正确.

故选：D.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关健是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.连接PC,只要证明P8=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,

由PE+PCNCE,推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】

解：连接PC,

AD1BC,

•••PB=PC,

•••PB+PE=PC+PE,

vPE+PC>CE,

••.p、C、E共线时，，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度,

故选反

3.【答案】B

【解析】解：连接PA、AD,如图，

:.PA=PC,

:.PC+PD=PA+PD,

•••P4+PD之力。（当且仅当P、4、D共线时取等号），

P/+PD的最小值为力D,

•・•/B=AC,点。为BC的中点，

AAD1BC,

在At△48。中，vAB=10,BD=6,

:.AD=V102-62=8，

二PC+PD的最小值为8.

故选:B.

连接P4AD,如图，利用基本作图可判断E"垂直平分力C,粮据线段垂直平分线的性质得到PA=PC,由

于/^+2。=24+&）24）（当且仅当「、4、。共线时取等号），所以PC+PD的最小值为力。，接着利用

等腰三角形的性质得到1BC,然后利用勾股定理计算出力。即可.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作

已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了线段垂直平分线的性

质、等腰三角形的性质和最短路径问题.

4.【答案】C

【解析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点E关于直线侑勺对称点H,连接FH交直线Z于点P,此时

PE+PF最短，据此结合图形可得答案.

【详解】解：如图所示，作点E关于直线［的对称点“，连接FH交直线，于点P,此时PE+Pr最短，

由图可知，?”交直线（于点C,

.••点P应选在C点，

故选:C.

£•

!：：:

弁一

I/

ii（p）i/i，：

\AB/\C\D«

:/

i…，/I…县……:……\

//:

/…，……1…1…：

5.【答案】B

【解析】【分析】连接8E,根据线段垂直平分线的性质得到BE=CE,进而得到P4+PB的最小值即为4c

的长，由此得到答案.

【详解】解：如图，连接

•••E尸是8。的垂直平分线,

•••BE=CE,

根据两点之间线段最短，

PA+PB=PA+PC=AC,最小，

此时点尸与点E重合.

所以PA+PB的最小值即为4。的长，为4.

所以P4+P8的最小值为4.

故选：B.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，熟

记性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】如图，过点8作BH_L力C,垂足为H,交力。于点M',过点M‘作M'N'J.48,垂足为N，，此时+

M'N'最小.•••=/1C,。是边BC上的中点，.•.力。是的平分线.二M'H=M'N'「8〃_L4C,二的

长是点B到直线4c的最短距离.=4C=13,BC=10,。是边8c上的中点，.•.1BC;=

^AC•8,=•4D,•••Jx13x8,=Jx10x12.BH=粤.BM+MN的最小值是等.

7.【答案】C

【解析】解：由条件可知48MN+4BNM=180。-54。=126。，

•••M在尸4的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，

•••MA=MP,NP=NC,

/.MAP=^MPA,Z.NPC=Z.NCP,

•••/8MN=2MAP+4MPA=2ZMPA,乙BNM=乙NCP+乙NPC=24NPC,

•••/MPA4-乙NPC=g乙BMN+[K8NM=1x126°=63°,

乙乙乙

:./.APC=180°-^MPA+乙NPC)=180°-63°=117°.

故选：C.

由//BC=54。，可得上8MN+匕BNM=126。，根据线段垂直平分线的性质可得：MA=MP,NP=NC,

推出NMAP=乙〃尸力，Z.NPC=Z.NCP,再结合三角形的外角性质可得々MP力+4NPC=：48MN+

g乙BNM=63。，最后根据4"。=180°-(^MPA+乙NPC),即可求解.

本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂

直平分线的性质.

8.【答案】C

【解析】略

9.【答案】C

【解析】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点.

故选：C.

根据角平分线的性质判断即可.

本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理.

10.【答案】C

【解析】解:由条件可知4(0,4),8(4,0),

二0A=OB=4,

:.£OAB=Z.OBA=45°,

作点C关于“轴的对称点G，关于直线y=-%+4的对称点G，连接GCz，交48于点F,作FGJ.4C,

则：△CDE的周长=CD+CE+DE=C2D+CrE+DE>CXC2,CF1AB,

.•.兰D,E在线段GQ上时，△COE的周长最小，

vC(0,2),/-CAF=45°,4(0,4),

G(0,-2),AC=2,△AFC为等腰直角三角形，

•••CG=-AC=1,

:.GG=OC+CG=3,

•••y(.=3,

当y=-x+4=3时，x=1»

由条件可知?为C,C2的中点，

，。2(2,4),

设直线GC2的解析式为y=依一2,由条件可得：4=2k-2,解得：k=3,

••y=3x-2»

联立学:言，解得J。，

V~2

•,・竭3,》S

故选：C.

坐标与轴对称，作点C关于％轴的对称点Q,关于直线y=—X+4的对称点Q，连接qc；,QCz与％轴的交

点即为点E,与直线y=-x+4的交点即为点。，求出直线GQ的解析式，与直线y=—x+4联立，求出点

D的坐标即可.

本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握以上知识点是关键.

11.【答案】C

【解析】略

12.【答案】B

【解析】解：如图，作点。关于直线4C的对称点“，连接E”交AC于凡此时FE+F。的值最小，即ADE尸

的周长最小.

，：乙B=30°,BE=8cm,

•••DE=4cm,

:.BD=y/BE2-ED2=4/3cm，

•••BD=2CD,

•••CD=CH=2y/~3cm^

DH=CD+CH=4/3c7n,

EH=\/DE2+DH2=8cg

vFD=FH,

DE"的周长的最小值=DE+EF+DF=DE+EF+FH=EH+DE=8+4=12(cm),

故选:B.

作点。关于直线AC的对称点H，连接交力C于F,此时FE+F。的值最小，即的周长最小.求出

DE、EH的长即可解决问题.

本题考查轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题.

13.【答案】9

【解析】解：在等腰A/IBC中，直线EG是腰/C的垂直平分线，如图1,连接AD,

图1

DA=DC,

：.DF+DC=DF+DA,

当点A、D、尸三点共线且4F_LBC时，。尸+ZM的值最小，即等于的长，如图2,

图2

vBC=4,等腰△力8c的面积为18,

1x4x/1F=18,

"=9,

OF+DC的最小值为9,

故答案为：9.

连接4D,由线段垂直平分线的性质可得D4=DC,得到OH+DC=OF+ZM,可知当点/、D、F三点共线

且人尸18。时，DF+DA的值最小，即等于力9的长，利用三角形的面积求出力F的长即可求解.

本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的

性质是解题的关键.

14.【答案】12

【解析】解：直线m是△48C中BC边的垂直平分线，点尸是直线m上的一动点，

PB=PC,

-.AP+CP=BP+AP>AB,

•••4、B、P三点共线时，4P+CP取最小值48,

♦:AB=7,AC=5,

.••△4PC周长的最小值为：AP+CP+AC=AB+AC=5+7=12,

故答案为：12.

根据题意得到△4PC周长的最小值是48+AC,直接求解即可得到答案.

本题考查轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的

性质.

15.【答案】12

【解析】【分析】

本题考查了轴对称-最短路线的叵题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键.因为8c

的垂直平分线为。氏所以点C和点8关于直线对称，所以当点动点夕和£重合时则4力8的周长最小值，

再结合撅目的已知条件求出48的长即可.

【解答】

•••P为BC边的垂直平分线。E上一个动点，

.••点C和点B关于直线DE对称，

・•・当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值,

vZ.ACB=90°,乙B=30°,AC=4cm,

:.AB=2AC=8cm,

vAP+CP=AP+BP=AB=8cm,

4cp的周长最小值=AC+AB=12cm,

故答案为：12.

16.【答案】蔡

C

【解析】解：如图，连接BE,过B作BG14C于G；

••♦4）垂直平分BC,

：.AC=AB=10,BE=CE,

:.EC+EF=BE+EF>BF,

.•.当8、E、F三点共线时，BF最小,

此时即产、G重合，

•••BF与8G重合，

从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长;

-^ACxBG=^BCxAD,

BCxAD12x848

••.8G=F^=方针十

故答案为：y.

连接BE,过8作8G_L4C于G；由AD垂直平分BC,得=10,BE=CE,^\EC+EF=BE+EF>

BF,当8、E、尸三点共线，且8F14c即8凡BG重合时，BF最小,从而EC+Er最小；利用面积相等关

系卬可求得最小值.

本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求EC+EF最小值转化为求8E+E"最小值是

解题的关键.

17.【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与NCOD的平分线交于P点，贝UP点为所求.

【解析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图以及线段的垂直平分线和角的平分线的性质,

是基本作图题，需熟练掌握.根据题意，P点既在线段的垂直平分线上，乂在两条公路所夹角的平分线

上.故两线交点即为发射塔P的位置.

18.【答案】9cm；

21

【解析】（1）由题意可得：AM=BM,

8cM的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC=21.

AB=AC=12cm,

:.BC=21-12=9(cm)；

(2)连接4P,当点P与点M重合时，△8CP的周长最小.

理由：vBP+CP=AP+CP,AP+CP>AC,

.・.兰点P与点M重合时，AP+CP=AC,

此时BP+CP的最小值等于AC的长，

.*.△8cp周长的最小值=AC+BC=12+9=21(cm).

故答案为：21.

(1)根据垂直平分线的性质得AM=8M,的周长是21cm,AB=AC=12cm,即可求8c的长度；

(2)当点P与点M重合时，△BCP盾长的最小，即为△BCM的周长.

本胭考杳了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一一最短路线问题.解决本题的关键是掌

握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.

19.【答案】【小题1】

♦.•点D为BC的中点,

BD=CD.

vBE//AC,

Z.EBD=乙C,乙E=Z.CAD.

Z.E=乙CAD,

在ABDE和△CDA中，Z.EBD=LC,

BD=CD,

：.^BDE^ACDA(AAS).

【小题2】

♦:点D为BC的中点,AD1BC,

•・•直线4D为线段BC的垂直平分线.

:.BA=CA.

由Q),得ABDE义ACDA,

BE=CA.

二BA=BE.

【解析】1.略

2.略

20.【答案】【小题1】

解；如图，点P,即为所求.

【小题2】

解；如图，点。即为所求.

【小题3】

解；如图，点”即为所求.

【解析】1.

取格点。，，，作直线01交47于点P，点P即为所求.

2.

0/18C三边垂直平分线的交点。，即为所求.

3.

作点尸关于直线48的对称点P',连接0P'交48于点M,点M即为所求.

21.【答案】(1)证明：-AD=AB,ACLBD,

.•"C垂直平分BD,

•••BC=CD,

•••BC=CD=AD=AB,

匹边形48。。为菱形；

(2)解：如图，连接CH,

•.•匹边形ABC。是菱形,

AAB=BC=CD=AD,AC1BD,0A=0C.

vAB=AC=

:.AB=AC=BC=6,

.•.△ABC是等边三角形，

vAE1CB,6

:.BE=CE=3,

:.AE=y]AB2-BE2=30，

••TO=0C,BE=EC,

•*,S4AOH=S&OCH=SAECH=S^BEH»

S四边形0HEC=S^BCH=5sMB。=§xzx6x3\/~3—3V~3.

【解析】(1)根据题意得出AC垂直平分BD,再由菱形的判定即可证明；

(2)连接CH,根据菱形的性质及等边三角形的判定得出a/lBC是等边三角形，再由其性质及勾股定理得出

4E=3，5,结合图形得出S四边形0HEC=S^BCH=8c求解即可•

本题主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助

线，综合运用这些知识点是解题关键.

22.【答案】如图，点P即为所求.

【解析】解：如图，点P即为所求.

I)

作线段48的垂直平分线E凡作。7平分4BCD,射线CT交直线EF于点P,点P即为所求.

本题考查作图-角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

23.【答案】过点尸作「用1BC于点M,则FM=AB=BC,乙FME=90°,

D______________C

AGB

•正方形为BCD沿E/折叠，点C落在边上的点G处，

:'乙FEC=£FEG,月.EF1CG（折叠性质：折痕垂直平分对应点连线）,

Z.EGC+乙FEG=90°,

又•：乙BCG+乙EGC=90°,

:.乙FEG=Z.BCG，

在以FMEfllAC8G中：

乙FME=ZF=90°

FM=BC,

ZFEM=Z.BCG

丝Q4S4）,

:.EF=CG；

3/5.3

-----十一

22

【解析】（1）过点广作/M18C于点M,贝lJ/M=4B=BC,ZFMF=90°,

D______________C

AGB

•.•正方形ABC。沿EEf斤叠，点C落在48边上的点G处，

：.£FEC=dEG,且11CG（折叠性质：折痕垂直平分对应点连线