2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 拓扑学中的连通性与紧致性

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——拓扑学中的连通性与紧致性考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题2分，共20分）1.下列集合中，不是拓扑空间的是？(A)实数集R，带有通常拓扑(B)空间R^n，带有通常拓扑(C)集合{a,b}，带有离散拓扑(D)集合{a,b}，带有平凡拓扑2.在拓扑空间X中，如果U是X的子集，且U的任意两个点都存在x的邻域包含于U，则称U是？(A)开集(B)闭集(C)连通集(D)紧致集3.下列拓扑空间中，是连通空间的是？(A)空间R，带有通常拓扑(B)集合R\{0}，带有通常拓扑(C)集合{a,b}，带有离散拓扑(D)集合{a,b}，带有平凡拓扑4.设X是拓扑空间，A是X的子集。如果A的任意开覆盖都可以找到一个有限的子覆盖，则称X是？(A)开集(B)闭集(C)连通集(D)紧致集5.下列命题中，正确的是？(A)拓扑空间的连通性是可数可加的(B)紧致空间的闭子集是紧致的(C)拓扑空间的连通性是可乘的(D)紧致空间的任意开覆盖都有有限子覆盖6.设X是紧致拓扑空间，A是X的闭子集。则A的连续像在Y上的像也是？(A)开集(B)闭集(C)连通集(D)紧致集7.下列拓扑空间中，是紧致空间的是？(A)空间R，带有通常拓扑(B)空间[0,1]，带有通常拓扑(C)集合{a,b}，带有离散拓扑(D)集合{a,b}，带有平凡拓扑8.设X是拓扑空间，A是X的子集。如果对于X的任意开覆盖，都存在一个开覆盖使得其与A的交集构成A的一个开覆盖，则称A是？(A)开集(B)闭集(C)连通集(D)紧致集9.下列命题中，正确的是？(A)拓扑空间的紧致性是可数可加的(B)连通空间的闭子集是连通的(C)拓扑空间的紧致性是可乘的(D)连通空间的任意开覆盖都有有限子覆盖10.设X是连通拓扑空间，A是X的闭子集。则X\A也是？(A)开集(B)闭集(C)连通集(D)紧致集二、填空题（每题2分，共10分）1.在拓扑空间中，任意点x的邻域基构成的集合称为该点的？2.设X是拓扑空间，A是X的子集。如果X\A是连通的，则称A是？3.紧致空间的闭子集一定是？4.连通空间不能被分成两个非空且互不相交的？5.离散拓扑空间中的任何子集都是？三、判断题（每题2分，共10分）1.拓扑空间的连通性是可传递的。（）2.紧致空间的任意子集都是紧致的。（）3.连通空间的任意开覆盖都有有限子覆盖。（）4.离散拓扑空间是紧致空间。（）5.紧致空间一定是连通空间。（）四、简答题（每题10分，共30分）1.请解释拓扑空间中连通性的定义，并举例说明一个连通空间和一个非连通空间。2.请解释紧致性的定义，并说明紧致性与连通性之间的关系。3.请解释闭包运算的定义，并说明闭包运算与连通性和紧致性之间的关系。五、证明题（每题20分，共40分）1.证明：紧致拓扑空间X中的连通子集A的闭包cl(A)是连通的。2.证明：紧致度量空间X中的连通子集A的连续像在Y上也是紧致的。试卷答案一、选择题1.D2.C3.B4.D5.B6.B7.B8.D9.B10.C二、填空题1.邻域基2.边缘集3.紧致的4.连通部分5.开集三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×四、简答题1.连通性定义：拓扑空间X中的一个子集A是连通的，如果A不能被分成两个非空且互不相交的非空开集的并集。例如，区间[0,1]在通常拓扑下是连通的，而集合(0,1)∪(1,2)在通常拓扑下是非连通的。2.紧致性定义：拓扑空间X是紧致的，如果X的任意开覆盖都有有限子覆盖。紧致性与连通性之间的关系：紧致空间不一定是连通空间，但连通紧致空间一定是紧致的。3.闭包运算定义：拓扑空间X中，子集A的闭包cl(A)是包含A且包含所有与A相交的开集的极限点的最小闭集。闭包运算与连通性和紧致性之间的关系：闭包运算不改变连通性和紧致性。即，如果A是连通的，则cl(A)也是连通的；如果A是紧致的，则cl(A)也是紧致的。五、证明题1.证明：设A是紧致拓扑空间X中的连通子集，cl(A)是其闭包。假设cl(A)不是连通的，则存在非空且互不相交的开集U和V，使得cl(A)=U∪V。由于A⊆cl(A)，所以A⊆U∪V。因为A是连通的，所以A不能被分成两个非空且互不相交的非空开集的并集。因此，A必须完全包含在U或V中，不妨设A⊆U。由于U是开集且A⊆U，所以对于任意x∈cl(A)，存在一个开集W，使得x∈W⊆U。因此，cl(A)⊆U，这与cl(A)=U∪V