湖南省部分名校2026届高三十月调研考试数学试题

高三年级十月调研考试数学考生注意：．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.命题“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定概念可得答案.【详解】由题可得原命题的否定为“”.故选：C2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，再由交集运算即可得出结果.第1页/共22页【详解】解不等式可得，也即，可得；所以.故选：D3.国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（）A.6B.7C.9D.10【答案】D【解析】【分析】按中位数的定义结合选项逐一验证，即可求解.【详解】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数.故选：D.4.已知向量，，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，即，代入即可求解.【详解】已知向量，，若，则，即，所以的值为.故选：C5.函数的大致图象是（）第2页/共22页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，求得为奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，当时，，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项；当时，可得，所以，此时；当时，可得，所以，此时，所以选项B符合函数的图象的形状.故选：B.6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3页/共22页【分析】由面积求得侧棱与底面边长的关系，再根据线面角定义求解．【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，设底面边长为，，由已知，则，又，所以，而，所以，.故选：D．7.在中，内角的对边分别为，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】求的值.【详解】由余弦定理化简可得，即，由正弦定理可得，即，第4页/共22页由题意，且，故，所以.故选：A.8.已知双曲线，过点有且仅有一条直线与双曲线的右支相切，则双曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的几何性质以及切弦条数可确定点的位置，得出不等关系再由离心率公式计算可得.【详解】依题意双曲线的渐近线方程为，若过点有且仅有一条直线与双曲线右支相切，则点在图中阴影部分区域或在双曲线的右支上，如下图所示：当点在双曲线的右支上时，，解得；此时双曲线的离心率为；当点在图中阴影部分区域时，需满足，解得，第5页/共22页此时双曲线的离心率为，综上可得双曲线的离心率的取值范围为.故选：A的坐标以及切弦条数限定出点离心率定义计算可求得离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，在复平面内对应的点为，则（）A.B.C.的虚部为2D.点在直线上【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的运算化简，再由复数和共轭复数的概念，复数的几何意义对选项进行判断.【详解】，，故A正确；，故B错误；的虚部为2，故C正确；点坐标代入直线成立，故D正确.故选：ACD.10.已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（）A.B.第6页/共22页C.D.是等比数列【答案】ACD【解析】【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案.【详解】设的公比为，则由递增，得，因为，所以，解得或对于A，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，，又，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．故选：ACD.已知函数是定义在区间上的连续函数，若，使得，，都有，则称函数是区间上的“类函第7页/共22页数”．下列说法正确的有（）A.函数是区间上的“3类函数”B.函数是区间上的“2类函数”C.若函数是区间上的“类函数”，则方程在区间上至多只有一个解D.若函数是区间上的“2类函数”，且，则存在满足条件的函数，使得【答案】ABC【解析】【分析】根据定义判断A，C，D，应用“类函数”的定义应用导函数正负判断函数的单调性判断B.【详解】对于选项A，，，，所以选项A正确；对于选项B是区间上‘2类函数’”等价于“，，恒成立”，不妨设，即等价于“在上恒成立”，即“”和“，对，，且恒成立”，所以等价于“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”，令，，又因为时，，在上单调递减”且“函数在上单调递增”，第8页/共22页即“函数是区间上的‘2类函数’”成立，所以选项B正确；对于选项C，若方程在区间上有两个及以上的解，不妨设其中两个不同的解为，则，所以，所以是区间上的“k以选项C正确；对于选项D，不妨设，且，若，则；若，则，所以，恒成立，所以选项D错误，故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.二项式展开式中的第4项为___________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】二项式展开式的通项公式为，，所以展开式的第4项为.故答案为：.13.如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为___________．第9页/共22页【答案】【解析】【分析】设，结合反比例函数的几何性质，用表示出的面积，再用基本不等式求最小值即可.【详解】如图：过点作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为.结合题意可设点，则，.所以，，.所以，当且仅当即时取等号.故答案：14.在平面四边形中，，是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成第10页/共22页一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为___________．【答案】【解析】与的外接球球心相连所得直线与平面的范围计算即即可得解.【详解】取中点，由，则点为外心，连接，取线段上靠近点的三等分点，由是正三角形，则点为外心，令四面体的外接球球心为，连接、，则有平面、平面，又平面、平面，故、，由二面角的大小为，则，，则，则，由，则，则，故，即，即四面体的外接球半径的取值范围为.故答案为：.第11页/共22页四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200960名学生的劳动技能得到了提升．（1）补充完整下面的列联表；劳动技能提升的学生人数劳动技能未提升的学生人数合计首次活动第二次活动合计（2动改进有关？（320名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率．附：，．0.100050.012.7063.8416.635第12页/共22页【答案】（1）列联表见详解（2）能（3）【解析】1）由已知条件即可完成列联表；（2）由独立性检验知识可以完成判断；（3）依据组合的知识和古典概型公式即可求解.【小问1详解】首次活动劳动技能提升的学生人数70%人；首次活动劳动技能未提升的学生人数人；第二次活动劳动技能提升的学生人数为人；第二次活动劳动技能未提升的学生人数人，劳动技能提升的学生人数劳动技能未提升的学生人数合计首次活动560240800第二次活动9602401200合小问2详解】零假设为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过.【小问3详解】抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为名学生中劳动技能未得到提升的人数为人，记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则第13页/共22页.16.如图，在三棱锥中，，为的中点，，且平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1是等腰直角三角形，进而得到.然后根据面面垂直的性质定理得到平面，从而得出.接着通过勾股定理逆定理证明.最后根据线面垂直判定定理得到平面，再依据面面垂直判定定理证明平面平面.（2）先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到平面和平面的法向量.再利用向量的夹角公式求出两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】已知，，为的中点.所以，且，.可知为等腰直角三角形.由勾股定理，且，可得，所以.因为平面平面为交线，平面平第14页/共22页面.由于平面，所以.已知，，则，，所以.根据勾股定理的逆定理可得，即.因为，，，平面，平面，根据线面垂直的判定定理,所以平面.又因为平面，根据面面垂直的判定定理,所以平面平面.【小问2详解】建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标：设为平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理可得平面.连接，因为为中点，为中点，所以，又，所以，且平面.以、、方向建立空间直角坐标系.已知，，则，，.所以，，，，进而可得，，.设平面的法向量为，由可得，即.令，则，，所以.同理，设平面的法向量为，由可得，即.第15页/共22页令，则，所以.设平面与平面的夹角为，根据向量的夹角公式.求出，，.所以.则平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且．（1）求的方程；（2）点关于轴对称点为（异于点交轴于点，记，的面积分别为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）根据双曲线的定义可得，再根据双曲线经过点可求得，可得双曲线的方程.（2）先确定为定点，再根据可求解.【小问1详解】因为，根据双曲线的定义可得.又双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为：.第16页/共22页【小问2详解】如图：因为，所以，.因为、关于轴对称，且与不同，所以直线必存在斜率,可设直线：，代入得：，整理得：.设，，则，因为均在双曲线右支，由韦达定理可得，，所以.直线方程为：，令得.所以为定点，坐标为.所以.第17页/共22页18.在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.（1）求角；（2）若，求边AC上的角平分线BD长；（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得；（2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得；（3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围.【小问1详解】由可得，因为，所以，由，得，又，则.【小问2详解】如图：第18页/共22页由余弦定理，，因为，，所以，又，所以.由，得，整理得：.小问3详解】因为是边上的中线，则，两边取平方，，由（2）已得，代入可得，由正弦定理，，则，所以，第19页/共22页因为为锐角三角形，则有，解得，则，由正弦函数的图象性质，可得，故得，从而，故边上的中线的取值范围为.19.