山东省德州市2026届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2026届高三上学期开学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知向量，，若，则（）．A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】，，由可得，解得.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则.故选：C.3.已知复数（其中i为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.4.在的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展开式通项为，令，解得，所以，展开式中的常数项为.故选：D.5.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位:厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（）A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5【答案】C【解析】观察频率分布直方图，得，则，，所以，与最接近的数为.故选：C.6.某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该圆锥的高为，底面半径为，则，由圆锥侧面积与轴截面面积的比值为，得，解得，所以该圆锥体积为.故选：B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点A，若线段的中点在上，则的离心率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，由题知圆的半径为，且，得为等边三角形，则，设线段的中点为，则，且，因为点在上，所以得，即，即的离心率为.故选：A.8.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.，互斥 B.C. D.【答案】C【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为2B.的定义域是C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增【答案】ACD【解析】对于A，由可知其最小正周期，故A正确；对于B，由可知，故B错误；对于C，令，，可得，，所以函数的对称中心为，，又，，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，由可知，又在上递增，故D正确.故选：ACD.10.在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（）A.平面 B.∥平面C.平面平面 D.平面∥平面【答案】BC【解析】对于A，若，因为，所以，因为，所以，矛盾，所以A错误；对于B，因为平面，所以，因为，且，所以，所以B正确；对于C，因为平面，且，所以平面，所以C正确；对于D，若平面，因为，所以平面，又平面，矛盾，所以D错误．故选：BC.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（）A.直线的斜率为 B.的离心率为2C.到上最近点的距离为 D.【答案】ABD【解析】对于A，记双曲线的焦距为，则，，由，，根据勾股定理得，如图过点A作轴的垂线，垂足为，由AF2=因此，，，即，所以，选项A正确；对于B，将代入双曲线方程可得，即，再将代入得，即，解得，所以的离心率为，选项B正确；对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为，则点到双曲线的渐近线的距离为，所以点到上最近点的距离大于352a，选项C对于D，由得，且双曲线的方程可转化为，由，得，将与联立并消去得：，记，则，解得，所以，选项D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的图象在点处的切线的斜率为______．【答案】【解析】因为，则，故函数的图象在点处的切线的斜率为.故答案为：.13.已知，函数，若，则________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，则，即，因为，所以，，经验证满足题设，所以．故答案为：1.14.有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______.【答案】【解析】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为种，满足，则，当时，对应的情况有，1种；当时，对应的情况有，2种；当时，对应的情况有，3种；当时，对应的情况有，种；所以满足的情况有种，故所求事件的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤．15.已知等差数列满足，．（1）求；（2）求数列的前2n项和．【答案】解：（1）设等差数列的公差为，则，因为，，所以，，所以，，所以，，所以，（2）由（1）-1n所以数列-1n⋅anS2n所以，所以数列-1n⋅an+a16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．【答案】解：（1）在中，由正弦定理得.因为，所以.整理得.故.又，故（2）由的面积为，得，解得，∵为内角A的角平分线，∴，由，得，因此，，当且仅当时取等号.所以线段长的最大值为.17.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.【答案】（1）解：的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：由（1）可知：①当时，在上单调递增.所以至多有一个实根，不符合题意.②当时，在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为.若，则，所以至多有一个实根，不符合题意若，即，得.又，且在上单调递减，所以在上有唯一零点.因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为，所以在上的唯一零点就是.所以.所以.所以“”等价于“”，即.由（1）可知当时，的最小值为.又因为，所以.所以.18.如图，在直三棱柱中，为边长为2的正三角形，，为的中点，点在棱上，，．（1）当时，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值．【答案】（1）证明：直三棱柱中，平面，所以是矩形，又当时，，，所以，，．因为为的中点，连接，所以，，．所以，所以．因为平面，平面，所以，又因为是正三角形边的中点，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面．（2）解：取的中点，以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为，，，，，，，设为平面的一个法向量，则，所以取，，设与平面所成角为，所以．令，．因为，所以．所以当，即时，取到最大值，最大值为1．19.过点作抛物线：的两条切线，切点分别为．（1）若，求；（2）求证：直线过定点（与的取值无关）；（3）记的焦点为，求证：．【答案】（1）解：设过点的切线为，与联立方程组并消去，得．所以判别