专题18乘法公式（原卷版）

专题18乘法公式（重难点题型专训）【知识考点乘法公式】【解题知识必备】1.平方差公式（1）用语言表达：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（2）用式子表达：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（3）注意：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．2.完全平方公式（1）用语言表达：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．（2）用式子表达：(a+b)2=a（3）注意：①左边是两个数的和（或差）的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．③公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；④对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；=5\*GB3⑤对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．3.添括号（1）用语言表达：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.（2）用式子表达：a+b+c=a+(b+c)abc=a(b+c)【重难点常考题型梳理】【题型01】判断能否使用乘法公式进行运算【题型02】运用平方差公式进行运算【题型03】利用完全平方公式进行运算【题型04】根据完全平方公式求字母的值【题型05】通过添括号运用乘法公式进行运算【题型06】利用完全平方公式变形求值【题型07】运用乘法公式综合运算【题型08】运用乘法公式化简求值【题型09】乘法公式在几何图形中的应用【特训10】综合强化提升【特训11】直通中考真题【题型01】判断能否使用乘法公式进行运算【例1】（20252026八年级上·全国·课后作业）下列各式中能用平方差公式的是（

）【变式11】（20242025七年级下·宁夏银川·期中）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（）【变式12】（20242025七年级·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（

）A．2a+b2a-b B．C．2a+ba+2b D．【题型02】运用平方差公式进行运算【例2】（20252026八年级上·全国·课后作业）下列计算正确的是（

）【变式21】（20242025八年级上·湖北武汉·期末）观察规律：11-若1-1221-13A．2012 B．2013 C．2024 D．2025【变式22】（20252026八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式简便运算：【变式23】（20232024八年级上·广东江门·期中）运用平方差公式计算：【题型03】利用完全平方公式进行运算【例3】（20252026八年级上·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（

）【变式31】（20242025七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：【变式32】（20252026八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算：【变式33】（20242025八年级上·河北邢台·期末）淇淇准备完成题目：化简x■x+6-(1)淇淇猜测系数■=2(2)老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数．【题型04】根据完全平方公式求字母的值A． B． C． D．【变式41】（20242025八年级上·吉林长春·阶段练习）如果4x2-kxy+25y2是关于x，A．−20 B．±20 C．20 D．无法确定【变式43】（20242025八年级上·四川宜宾·期中）将多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是【题型05】通过添括号运用乘法公式进行运算【例5】（20252026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算．【变式52】（20242025七年级下·全国·期末）计算：【变式53】（20252026八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算：【题型06】利用完全平方公式变形求值（2）的值．【变式61】（20242025七年级下·安徽合肥·期末）已知x-20242+x-20262=8A．4 B．6 C．2 D．8【变式63】（20242025八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：a±b2=a2±解：设9-x=a，x-根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2(2)若x满足5-xx(3)如图，小唯家打算用长为140m的篱笆围一个长方形院子（即长方形ABCD）．以AB，AD为边分别向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为2500m2【题型07】运用乘法公式综合运算【例7】（20242025八年级上·四川眉山·期末）下列计算中正确的是（）A．2a3÷C．5a-1-5a【变式71】（20242025八年级上·山东日照·阶段练习）将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abcd【变式72】（20242025七年级下·江苏泰州·阶段练习）化简：【变式73】（20242025七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算：(1)a3(2)xx+1(3)-2x-7y2(4)-2a+52(5)m+2n2n-m(6)3y-x-x-3y(7)x-3x+3(8)2x+32(9)2a+bb-2a(10)x-y+4x+y-4【题型08】运用乘法公式化简求值【题型09】乘法公式在几何图形中的应用【例9】（20242025八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．(1)图2的阴影部分的正方形的边长是________．(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．【方法1】S阴影=________；【方法2】(3)若a>b，且a+b=3，ab=1，求a-(1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示，；并写出上述过程所揭示的公式；【变式93】（20242025七年级下·陕西西安·阶段练习）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为a+b2【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b=15，ab=4，则a2（2）若x满足5-xx-1=2，求【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC=16米，求种草区域的面积和．．【特训10】综合强化提升2.（20242025七年级下·江苏泰州·阶段练习）多顶式x2+k-1A．11 B．-11 C．±103.（20242025七年级下·江苏无锡·阶段练习）18×3+132+1A．9 B．7 C．3 D．14．（20242025七年级下·广东佛山·期末）观察下列等式：…5．（20242025八年级上·河北邢台·期末）如图，点B是线段AC上一点，以AB，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AC=5，S1+SA．25 B．6 C．9 D．127．（20242025八年级上·吉林长春·期末）若x-y=4，xy=5，则x9．（20232024八年级上·湖北恩施·期末）小明同学在复习整式的乘法时，看到了自己以前做过的一道计算题，但是有一部分被墨迹污染，无法看清，所呈现的部分为：x+2y⋅（）=x2-10.（20242025七年级下·广东广州·期中）已知39+81340+513=a-b，若a11．（20242025八年级·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4=22-02，12=42-22）．在12.（20242025七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M=2x2-x+6与(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是______（填序号）：①3x2+2x②x-6与-x+2；③-5x2y(2)多项式A=x-a2与多项式B=-bx2-2x+b13．（20242025八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）阅读材料：若x满足9-xx解：设9-x=a，x-4=b，则∴9-x2这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．请仿照上述材料解决下面的问题：(1)若x满足50-xx(2)若x满足8-x214．（20252026八年级上·海南海口·阶段练习）巧用乘法公式解决最值问题请你根据上述方法，解答下列问题：15.（20232024七年级下·广东佛山·期中）（1）图1所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种方法，结果分别如下方法①：__________方法②：__________从小明的两种方法中，可以得出的等式为__________（2）如图2，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示__________16．（20242025七年级下·广东河源·期中）某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证平方差公式．（1）探究：以上两种图形能够验证平方差公式的是__________________；（填序号）17.（20242025七年级下·湖南株洲·期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示）(2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知a+b=7,a2-(3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B,C,G三点在同一条直线上，若a+b=20,ab=80，求阴影部分的面积．18．（20242025七年级下·江苏泰州·阶段练习）对于两个正数a，ba≠1，，定义一种新的运算，记作a,b，即：如果：ac=b(1)根据上述运算填空：2，4=；2，8=(2)先观察2，4，2，8与2(3)如图①，正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若a,m+(4)如图②，四边形ABED，CGHD是长方形纸条，AD=CD=m，CG=FG=n，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形HFED，沿着DE翻折得到长方形DEMN．若a,m=b,n19.（20252026八年级上·河南南阳·阶段练习）观察图形，解决问题：(1)如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；20.（20242025八年级上·福建福州·期末）对于一个正整数n，若存在正整数k，使得n能表示为k和k-2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：(1)直接写出5系平方差数______(2)已知M=2k+32k-3-(3)已知a，b为正整数，a>b，且a+2b2-3①直接写出a与b之间的数量关系______；②若a+b+11是m系平方差数，请写出2024a-2022b是______系平方差数（用含【特训11】直通中考真题1．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（

）2．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（

）3．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（

）A．x2÷C．xy34．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（

）A．6 B． C． D．46．（2023·新疆乌鲁木齐·中考真题）有若干张面积分别为a2、b2、c2的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形