四川省南充市阆中中学高三上学期10月月考数学试题

高三数学考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分满分分，考试时间分钟.答题前，考生务必用直径毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.，本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的中位数是（）A.7B.9C.D.13【答案】A【解析】【分析】根据中位数的定义求解即可.57，故选:A.2.已知复数，则（）A.B.C.5D.10【答案】C【解析】【分析】方法一：先利用复数乘法法则求，然后利用模的运算公式求解；方法二：直接利用复数模的性质计算.【详解】方法一：，所以.方法二：.故选：C.第1页/共17页3.函数图象的一条对称轴是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数对称轴求出的对称轴函数图象的对称轴，然后逐项判断即可.【详解】因为函数图象的对称轴为直线，令，得，令，得，令，得，令，得，结合选项可知函数图象的一条对称轴是.故选：B.4.已知向量满足，若，则（）A.B.C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直得到，进而由向量数量积运算法则求解即可.【详解】因为，所以，又，，所以．故选：D5.已知双曲线，若，则的离心率为（）A.B.4C.D.2第2页/共17页【答案】C【解析】【分析】由所给，结合双曲线中进行计算即可.【详解】由题意知的焦距为，所以的离心率为.故选C.6.展开式中的系数为（）A210B.C.10D.【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果.【详解】已知展开式中第项为，令，解得；所以含的项为.因此展开式中的系数为.故选：D7.已知三个内角所对的边分别为是线段平分，若，则（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为平分，所以，第3页/共17页又，所以，即.故选：B.8.已知，则的大小关系不可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】.该函数在上单调递减，进而结合单调性分析、、大小关系，从而可判断可能的大小关系.【详解】对两边取对数，得，即.构造函数（.当时，，单调递增；当时，，单调递减.又.由题意有，，，由，得或；因为，所以内存在，使得，由得或；因为，，所以内存在，使得，由得或；当或时，；第4页/共17页当或时，；当或时，；综上所述，的大小关系不可能是.答案：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，，，则（）A.B.CD.集合有64个真子集【答案】AB【解析】【分析】根据集合交并补运算的定义即可求解ABC，根据真子集的个数公式即可求解D.【详解】因为，，所以，故A正确；又因为，所以，所以，故B正确；因为，，所以，故C错误；集合中有6个元素，所以集合有个真子集，故D错误.故选：AB.10.在一个随机试验中，随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A.与是对立事件B.若与相互独立，则C.若与相互独立，则D.若，则【答案】BCD【解析】第5页/共17页【分析】利用对立事件的概念判断A；利用独立事件乘法公式和概率性质计算判断B和C；利用条件概率公式计算判断选项D.【详解】选项A：虽然，但不一定成立（即事件包含的样本点与事件故与不一定是对立事件，错误；选项B：若与相互独立，则，正确；选项C：若与相互独立，则与相互独立，所以，正确；选项D：若，则，所以，所以，正确.故选：BCD已知函数的定义域为（不恒为0）A.为偶函数B.的图象关于点对称C.D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据条件可得，，即可求解；对B，利用A中结果，得，即可求解；对C，利用的周期性，即可求解；对D，结合条件，利用和的周期性，得，进而可得，即可求解.【详解】对于选项A，因为，所以，第6页/共17页因为为偶函数，所以，得到，所以，因为，所以，所以为偶函数，故A正确；对于选项B，因为，所以的图象关于点对称，故B错误；对于选项C，由选项A知的一个周期为4，所以，又由，令，得到，所以，则，故C正确；对于选项D，因为，所以，即，则，所以，又，所以，又所以，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知等比数列满足，则__________.【答案】40【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质求得，进而得解.【详解】设等比数列的公比为，由题意得，即，解得.故（或）故答案为：40第7页/共17页13.已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________.【答案】4【解析】【分析】根据焦半径列式即可求得.【详解】因为抛物线的准线为所以点到的距离，又，所以，解得.故答案：4.14.在三棱锥中，外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为______.【答案】或1【解析】【分析】根据球的性质确定球心位置，根据球的表面积求出半径，利用勾股定理求出三棱锥的高，代入锥体体积公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点，因为，所以点在平面上的射影为的外心，连接，根据球的性质可知三棱锥外接球的球心在上，连接，设三棱锥外接球的半径为，则因为球的表面积为，所以，因为，所以该三棱锥的高为或，如图:第8页/共17页故答案为：或1四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下：偏好新能源车偏好燃油车总计年轻司机300200500中老年司机200300500总计5005001000（1）若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率；（2）依据的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）（2）能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.【解析】1）根据古典概型计算概率即可；第9页/共17页【小问1详解】由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有300人，偏好燃油车的有200人，所以从抽取的年轻司机中任选1人，此人偏好新能源车的概率为.【小问2详解】零假设为：司机对两种汽车的偏好与年龄无关，由表中的数据，得依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.16.已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】1的公差为列通项公式；（2）利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由①由，第10页/共17页联立①②，解得，则的通项公式为；【小问2详解】，则.17.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）法一：求出函数的导数，再由导数恒小于等于0求出范围；法二：令，将问题转化为函数单调递减，再利用导数转化为恒成立问题求出范围.【小问1详解】当时，，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为，即.【小问2详解】方法一：由函数上单调递减，第11页/共17页则在上恒成立，令，求导得，函数在上单调递减，则，因此，所以的取值范围是.方法二：设，显然函数在上单调递增，则，函数，令函数，由在上单调递减，得在上单调递减，则，恒成立，而函数在上单调递减，因此，所以的取值范围是.18.如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，平面平面.（1）证明：平面；（2）证明：二面角的正弦值与二面角的正弦值相等.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】1平面证结论；（2）取的中点，取的中点，可证，，，以为坐标原点，第12页/共17页以所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的正弦值和二面角的正弦值，可证结论.【小问1详解】因为四边形是正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，又因为，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，取的中点，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为四边形是正方形，所以，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，则，设设设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又是平面的一个法向量，所以，所以，第13页/共17页所以二面角的正弦值为；又是平面的一个法向量，所以，所以，所以二面角的正弦值为；所以二面角的正弦值与二面角的正弦值相等.19.已知为坐标原点，椭圆的右焦点为的长轴长为4，直线过点且与交于两点.（1）求的标准方程；（2轴上是否存在一个定点关于请说明理由；（3）当的斜率不为时，直线交于另一点，直线交于另一点，证明：直线过定点.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1）根据题意列方程组即可求出；（2）设，联立椭圆方程，韦达定理，结合斜率公式利用斜率相反化简求得的坐第14页/共17页标，即可求解；（3）设，，直线与轴的交点，设，通过坐标运算得，且，设，同理可知，利用斜率坐标公式化简得，从而有，代入化简得，即可求解直线过的定点.【小问1详解】由题意可得，，所以，故椭圆的标准方程为；【小问2详