专题02一元二次方程（考点清单知识导图5个考点清单12个题型解读）（原卷版）

清单02一元二次方程（9个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】一元二次方程的基本概念1.定义:只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=02.一般形式:ax3.项数和系数:ax二次项:ax2;一次项:bx;二次项系数:常数项:c4.注意事项:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程【清单02】解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型对于一元二次方程ax2∆=b∆=b∆=b【清单04】一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且∆=【清单05】一元二次方程在生活中的应用列方程解应用题的一般步骤答、审、设、列、解、检(1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系(2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题(4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性，(5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语【考点题型一】一元二次方程的定义【例1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2−2x+y=0B．x3−2x+1=0C．x【变式11】下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．x−2y=1 B．x2+3=2x C．【变式12】关于x的方程m+1xm+1−m−1A．−1 B．1 C．±1 D．0【变式13】一元二次方程x2−2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（A．1，2，1 B．1，−2，1 C．0，−2，−1 D．0，−2，1【变式14】已知1为关于x的一元二次方程x2−ax+1=0的根，则a值为（A．2 B．3 C．4 D．5【变式15】若m−3xm−1−x−5=0是关于x的一元二次方程，则m【考点题型二】用直接开方法解一元二次方程【例2】一元二次方程x2+m=0(m<0)的解是（A．x1=−m，x2=C．x1=−−m，【变式21】若关于x的一元二次方程x−a2=1的两个根均为正整数，则a的值可能为（A．−1 B．0 C．1 D．2【变式22】方程x2−4=0的解是【变式23】42x−1解：2x−122x−1=9……第一步；2x=8……第二步；x=4……第三步；(1)以上解方程的过程中从第_______步开始出现错误．(2)请写出正确的解方程过程．【考点题型三】用配方法解一元二次方程【例3】用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，此方程可变形为（A．x+32=1 B．x−32=17 C．【变式31】用配方法解方程x2−10x=1，下列配方正确的是（A．x−52=26 B．x−52=24 C．【变式32】将一元二次方程x2−6x−1=0配方为x+m2【变式33】用配方法解方程(1)x(2)−3【考点题型四】用公式法解一元二次方程【例4】解下列方程(1)2xx−3(2)14【变式41】解方程：x2【变式42】用公式法解方程：3x【变式43】用公式法解方程：x2【考点题型五】用因式分解法解一元二次方程【例5】方程x2−2x=0的根是（A．x1=xC．x1=0，x2=2 【变式51】一元二次方程xx−2=2−x的解是（A．x1=x2=−1 B．x1=x2=2【变式52】一元二次方程5x2=4x【考点题型六】一元二次方程判别式的应用【例6】在平面直角坐标系中，若直线y=kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x−k=0的实数根的情况为（A．无解 B．两个不相等的实数根C．两个相等的实数根 D．无法确定【变式61】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实根，则m的值为【变式62】已知：关于x的一元二次方程mx2−3(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．【考点题型七】一元二次方程根与系数的关系【例7】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0的两个实数根为x1和x【变式71】已知一元二次方程x2−5x+2=0的两个根为x1、x2，【变式72】已知关于x的一元二次方程2x(1)证明：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若方程的两个实数根分别为α,β，且α−3β=5，求m的值．【变式73】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）①x2−2x−3=0；②x2(2)如果关于x的方程x2−8x+c=0是“三倍根方程”，求(3)如果点p,q在反比例函数y=3x的图象上，那么关于的x方程(4)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是“3倍根方程”，那么【考点题型八】增长率问题（一元二次方程的应用）【例8】某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（

）A．5% B．10% C．15%【变式81】某校图书馆第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率为x．则可列方程．【变式82】近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2021年数字阅读市场规模为400万元，2023年数字阅读市场规模为576万元，若年平均增长率不变，预计2024年该市数字阅读市场规模是多少万元？【变式83】某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．(1)求每月盈利的平均增长率．(2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【考点题型九】利润问题（一元二次方程的应用）【例9】物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【变式91】中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍．(1)求商家购买笔和圆规的进价；(2)商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%【变式92】有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．(1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则P=________；(2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？【变式93】某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000【考点题型十】几何问题（一元二次方程的应用）【例10】我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为．【变式101】用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设AB为xm(1)如果要围成面积为45m2的花圃，AB(2)能围成面积为50m2【变式102】为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）．(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；(2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由．【考点题型十一】动点问题（一元二次方程的应用）【例11】如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=7，BC=5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q【变式111】在矩形ABCD中，已知AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度运动．当点(1)分别用含t的代数式表示PB与BQ；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时【变式112】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm．点P、Q为AB边及BC边上的两个动点．若点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8cm(2)是否存在PQ平分△ABC的面积的情况？如果存在，请求出BP的长度；如果不存在，请说明理由．【变式113】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4c(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm(3)在（1）中，△PBQ的面积能否等于8c【考点题型十二】其他问题（一元二次方程的应用）【例12】要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（

）．A．12xx+1C．xx+1=15 【变式121】在一次聚会上，每两个人都只碰一次杯，若一共碰杯66次，则参加聚会的人数为．【变式122】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？【变式123】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【变式124】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（a>0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【变式125】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．