第07讲函数与方程（复习讲义）

第07讲函数与方程目录01TOC\o"13"\h\u考情解码・命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 3知能解码 3知识点1函数的零点 3知识点2二分法 4题型破译 5题型1零点所在区间的判断 5【方法技巧】连续且区间函数端点值异号题型2求零点个数 7【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数题型3根据零点所在区间求参数范围 9题型4比较零点的大小 11题型5零点个数的应用 14题型6函数与方程的综合应用 1704真题溯源·考向感知 2305课本典例·高考素材 31

考点要求考察形式2025年2024年2023年1.求函数零点或方程根的个数2.根据函数零点的个数求参数范围3.求函数零点或方程根的个数4.判断零点所在的区间5.根据函数零点的个数求参数范围单选题多选题填空题解答题全国二卷，第10题，6分天津卷，第7题，5分新课标I卷，第7题，5分新课标Ⅱ卷，第6题，5分新课标Ⅱ卷，第9题，6分新课标Ⅱ卷，第11题，6分新课标I卷，第15题，5分考情分析：本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为56分复习目标：1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解

知识点1函数的零点（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.（2）函数零点存在定理：若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.【答案】ACD故选：ACD．知识点2二分法（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．0.1250.43750.7520.493.58依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（

）【答案】C题型1零点所在区间的判断A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.故选：C.A．精确到0.1的近似解为1.4C．精确到0.1的近似解为1.5【答案】AB方法技巧(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;(2)利用函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.【答案】C【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解.故选：C【答案】B【答案】C【分析】利用二分法即可判断.故选：C.题型2求零点个数【答案】63【分析】作出两函数图象，根据图象的对称性和以及正弦曲线的周期性，可求得交点个数.【详解】作出两函数图象的简图，如图所示：故答案为：63【答案】2故答案为：2方法技巧（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.【答案】故答案为：3.【答案】3【答案】3故答案为：.题型3根据零点所在区间求参数范围【答案】B方法技巧(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.故选：D.【答案】D故选：D．【答案】D故选：D.题型4比较零点的大小【答案】B故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想【答案】ABC故选：ABC.方法技巧（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系（2）数形结合，通过图形来比较零点大小【答案】A【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图象交点的横坐标，最后通过比较函数图象交点的位置来确定、、的大小关系.故选：A.【答案】B如图所示：故选：B【答案】C故选：C.题型5函数零点个数的应用A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B故选：B【答案】C故选：C.方法技巧(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解【答案】2【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.故答案为：2.【分析】根据函数的导数，求出函数单调性和极值，确定方程有三个解的参数范围，求得结果.正0负0正单调递增极大值单调递减极小值单调递增可得函数大致图形如下：题型6函数与方程的综合应用【答案】A故选：A．A．15 B．15.5 C．16 D．17【答案】C，故选：C．方法技巧求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与yt的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.【答案】A故选：A.【答案】C故选：C

A．12 B． C．15 D．【答案】B所以原方程一共有5个不同的实根，故选：B【答案】B【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.故选：B【答案】AD于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，故选：AD【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.故选：BCA． B． C．1 D．2【答案】D故选：D.

【答案】无数

故答案为：无数【答案】1.3利用二分法，列表计算如下：x11.51.251.3751.31251.343750.8750.0826因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3.所以近似解为1.3.3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据二次方程的判别式确定解的个数，再由求根公式求出根判定根所在的一个区间；（2）去掉绝对值号，直接求解，判断根的个数及根所在区间.所以方程有两个根，故方程的根有两个，【答案】5.7【分析】利用二分法求解