浙教版八年级数学下册《一元二次方程的解法》同步练习题（含答案）

浙教版八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法》同步练习题（含答案）

学校:班级：姓名：考号：

一、配方法解^一元二次方程

1.方程＞2+6*-5=0的左边配成完全平方式后所得的方程为（）

A.（*3）2=14B.（X・3）2=14C.（x+6）24D.以上答案都不对

2.用配方法解方程2/-6/1=0时，若将方程化为（/加2=〃的形式，则而〃的值为（）

A.-1B.4C.-4D.1

44

3.一元二次方程，+4/1=0配方后可变形为（/2）2=丘则〃的值是（）

A.3B.2C.1D.0

4.将方程/+4/1=0化成（户勿）2=〃的形式，则而〃的值为.

5.如图，在用配方法解一元二次方程*2+6x=40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成

将一个长是（/6）、宽是X、面积是40的矩形割补成一个正方形，则用的值是_____________.

6.(1)计算：(-3)2+(2024-n)°-|-4|；

（2）下面是小明用配方法解一元二次方程2，+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：移项，得2x2+4x=8…第一步，

二次项系数化为1,得/+2%=4…第二步，

配方，得（x+2）2=8…第三步，

由此可得升2=±2&…第四步，

所以，xi=-2+2^2,%2=-2-2&…第五步.

第I页共23页

①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；

②请写出你认为正确的解答过程.

7.阅读下列材料：

有人研究了利用几何图形求解方程?+34x-71000=0的方法，该方法求解的过程如下：

第一步：构造

已知小正方形边长为x,将其边长增加17,得到大正方形（如图）.

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（A+17）2=X+2X17^172.

由原方程x+34x-71000=0,得x+34x=71000.

所以（/17）2=71000+172.

所以（/17）2=71289.

直接开方可得正根x=250.

依照上述解法，要解方程，+6吠0=0（/>>0）,请写出第一步“构造”的具体内

容：;

与第二步中“（/17）2=71000+17?“相应的等式是

二、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围

1.关于x的方程af+2/1=0有实数根，则a的取值范围是（）

A.aW1B.aWI且a羊。C.a取一切实数D.a<1

2.若关于x的一元二次方程4，-2X-1=0有实数根，则〃的取值范围是（）

A.kV-1B.1C.«>-1D.-1且k丰。

3.若关于x的一元二次方程』-4/3"-2=0无实数根，则加的取值范围是（）

第2页共23页

A.后2B.777^2C.m<2D.m>2

4.关于x的方程x2-/c=0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是

5.若关于x的一元二次方程AA+/77=O没有实数根，则勿的取值范围是.

6.乙知关于x的一元二次方程x-4A+1-Zr=O.

（1）若这个方程没有实数根，求"的取值范围.

（2）当穴=-2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.

7.已知关于x的一元二次方程（府1）F+2加什加-3=0有两个不相等的实数根.

（1）求力的取值范围；

（2）当加取满足条件的最小奇数时，求方程的根.

三、开平方法解一元二次方程

1.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（）

输入了|------>|（x-1）2|-----\X2|——输出8

A.毛=2,x2=-2B.x=3,x2=-3C.2=3,x2=-1D.毛=-3,x2=1

2.若一元二次方程ax?=1（a>0）的两根分别是m1与2m-4,则这两根分别是（）

A.1,4B.1,-1C.2,-2D.3,0

3.若x=3是关于x的一元二次方程x?=a的一个解，则a的值为（）

A.9B.6C.3D.1

22

4.已知关于x的方程加（/a）+n=Q的解是2=-3,x2=1,则关于x的方程m（尸a-5）+/7

=0的解是.

5.对于实数a,b,定义一种运算“㊉”为：a㊉。=才-2仇若关于x的方程（/1）㊉（3m）=

0没有实数根，则实数用的取值范围为.

6.解方程：（3x-1）2=4（2,什3）2.

7.关于x的一元二次方程ax2+-+c=0（a手0）的一个根是1,且a,6满足6=心工+V?工？一

3,求关于y的方程］丫2一。=0的根.

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=

当y=6时，即x?-x=6./.＜x-3）（A+2）=0.，x-3=0或/2=0./.x33,x4=-2.

原方程的解是毛=2,々=-1，$=3,x4=-2.

请你利用换元法解方程：（¥-7）2-（¥-7）-2=0.

五、根据一元二次方程根的情况求字母的值

1.若关于x的一元二次方程＞-3/加=0有两个不相等的实数根，则实数加的值可以是（）

A.5B.4C.3D.2

2.若关于x的一元二次方程f+x-加=0有两个相等的实数根，则实数勿的值为（）

A.-4B.-4C.4D.4

44

3.若关于x的一元二次方程/-*-勿=0有两个相等实数根，则实数加的值为（）

A.—B.-4C.—D.4

44

4.关于x的一元二次方程*2一3*-//7=0没有实数根，写出一个符合条件的整数力的值

为.

5.已知关于x的方程（血-1）/-怎7乂4=0有两个实数根，请写出一个符合条件的加的

值.

6.已知a,b,c为三角形的三边长，且关于x的方程6必+（＞。）A+a=0有两个相等的实数根,

试判断这个三角形的形状.

7.已知关于x的一元二次方程x?-（A+1）/2A-3=0.

（1）求证：无论〃为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）等腰三角形力8。中，48=3,若4?、8C为方程X?-（A+1）卢2〃-3=0的两个尖数根，求

A的值.

参考答案

一、配方法解一元二次方程

1.方程F+6x-5=0的左边配成完全平方式后所得的方程为（）

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A.（户3）2=14B.（x-3）2=14。（x+6）2JD.以上答案都不对

【答案】A

【解析】先变形得到f+6x=5,再把方程两边加上9得f+6/9=5+9,然后根据完全平方公式

得到（A+3）2=14.

先移项得x+6x=5

方程两边加上9得x+6A+9=5+9

所以（/3）2=14.

故选：A.

2.用配方法解方程242-6/1=0时，若将方程化为（/而2=n的形式,则府"的值为（）

A.-1B.4C.-4D.1

44

【答案】B

【解析】根据配方法进行计算即可求解

2〉-6/1=0

27

，m=7,

.371

故选：B.

3.一元二次方程了+4/i=o配方后可变形为（/2）2=丘则4的值是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

第6页共23页

【解析】利用配方法将原方程CM/1=0变形成与（/2）2=〃的形式，即可求解.

/+4/1=0

x+4x=-1

x"+4/4=-1+4

02）2=3

：.k=3

故选：A.

4.将方程X?+4A+1=0化成（/勿）？=〃的形式，则府”的值为.

【答案】5.

【解析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

$+4"=0

：.x+4x=-1

，*+4/4=-1+4

・•・（A+2）2=3

==

m2fn3

.\（n^n=2+3=5

故答案为：5.

5.如图，在用配方法解一元二次方程x?+6x=40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成

将一个长是（/6）、宽是X、面积是40的矩形割补成一个正方形，则勿的值是_____________.

【答案】3.

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【解析】用配方法求解即可.

由题意,得X(A+6)=40,

.\?+6x=40

・・・/+6/9=40+9

(x+3)2=49

m—3.

故答案为:3.

6.(1)计算:(-3)2+(2024-n)°-|-4|;

(2)下面是小明用配方法解一元二次方程2x?+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：移项，得2%2+4x=8…第一步，

二次项系数化为1,得/+2x=4…第二步，

配方，得(x+2)2=8…第三步，

由此可得"2=±2&・・•第四步，

所以，X1=-2+2V2,%2=-2-…第五步.

①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；

②请写出你认为正确的解答过程.

【答案】解：(1)(-3)2+(2024-n)°-|-4|

=9+1-4

=10-4

=6;

(2)①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误

故答案为：三；

②正确的解答过程如下：

2f+4x-8=0

2f+4x=8

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x+2x=4

X2+2A+1=4+1

O1）2=5

A+1=±V5

Xy=-1+V5»*2=-1一巡.

7.闱读下列材料：

有人研究了利用几何图形求解方程?+34x-71000=0的方法，该方法求解的过程如下：

第一步：构造

已知小正方彩边长为x,将其边长增加17,得到大正方形（如图）.

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（/17）2=X+2X17A4-172.

由原方程*2+34%-71000=0,得x+34x=71000.

所以（/17）2=71000+172.

所以（/17）2=71289.

直接开方可得正根x=250.

依照上述解法，要解方程»+6吠0=0（b>0）,请写出第一步“构造”的具体内

容：;

与第二步中“（/17）2=71000+172“相应的等式是

【答案】已知小正方形边长为x,将其边长增加得到大正方形;

第9页共23页

（吟2=2吟）2.

乙乙

【解析】第一步：仿照材料中的内容构造具体内容；

第二步：根据图形面积关系和等式的性质列出相应的等式.

解方程，+6/c=0（6>0）

第一步“构造”：已知小正方形边长为x,将其边长增加得到大正方形

故答案为：已知小正方形边长为X,将其边长增加得到大正方形；

第二步：推理

根据图形面积之间的关系，可得（於£）2=X2+2X-1A+（晟）2,

由原方程x+6/c=0,得x?+bx=-c.

所以（内92=一1吟）2

乙乙

故答案为：（/5）2=-c+（5）2.

二、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围

1.关于X的方程af+2/i=0有实数根，则a的取值范围是（）

A.aW1B.aWI且aWOC.a取一切实数D.a<1

【咨案】A

【解析】分为两种情况：①当a=0,②a/0,根据已知得出△》（），求出即可.

分为两种情况：①当a=0时，2内d=0

解得：x=-£；

②当a手0时，•.•关于x的方程/+2/1=0有实数根

AA=22-4X5X1=4-4a、0

解得：

故选：A.

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2.若关于x的一元二次方程％，-2*-1=0有实数根，则〃的取值范围是()

A.kV-1B.42・1C.A>-1D.42・1且k*U

【答案】D

【解析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于A的不等式，求出A的取值范围即可.

•・•关于x的一元二次方程〃»-2x-1=0有实数根

，△=(-2)2-4XA-X(-1)^0,k*Q

解得：“2-1且〃手0.

故选：D.

3.若关于x的一元二次方程*2-4/3/77-2=0无实数根，则加的取值范围是()

A.>77^2B.622C.mV2D.m>2

【答案】D

【解析】由方程无实数根即△=6-4acV0,从而得出关于力的不等式，解之可得.

♦・,关于x的一元二次方程/-4/3勿-2=0无实数根

:・&=t}-4ac=(-4)2-4(3/77-2)=16-12m8Vo

解得：加>2.

故选：D.

4.关于x的方程¥一/0=0有两个不相等的实数，则实数0的取值范围是.

【答■案】c〈［.

4

【解析】根据一元二次方程根的情况求参数，根据两个不相等的实数，得△=。2-4初>0,代

入数值进行计算，即可作答.

・・•关于x的方程/。=0有两个不相等的实数

.,•△=6-4ac=(-1)2-4X1XC>0

解得c<)

4

第11页共23页

故答案为：c<J.

4

5.若关于x的一元二次方程，+/加=0没有实数根，则m的取值范围是.

【冷案】m>-y.

4

【解析】由方程的系数结合根的判别式△<(),即可得出关于"的一元一次不等式，解之即可得

出m的取值范围.

♦・•关于X的一元二次方程彳2+//77=0没有实数根

/.△=12-4X1X/77=1-4/77<0

解得：加

4

故答案为：加>[.

4

6.已知关于x的--元二次方程x-4%|1-A=0.

(1)若这个方程没有实数根，求〃的取值范围.

(2)当〃=-2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.

【答案】解：(1)根据题意，得△=(-4)2-4X1X(1-k)=16-4(1-k)<0

.・・16-4+44VO

：Ak<-12

解得k<-3.

(2)当％=-2时，方程为X?-4/3=0

解得“1=3,々=1•

若3为腰，则周长=3+3+1=7；

若1为腰，V1+K3

工构不成三角形，舍去

・・・等腰三角形的周长为7.

7.已知关于x的一元二次方程(研1)f+2加/加-3=0有两个不相等的实数根.

(1)求勿的取值范围；

第12页共23页

(2)当加取满足条件的最小奇数时，求方程的根.

【答案】解：(1)・・♦关于x的一元二次方程(府1)了+2如什加-3=0有两个不相等的实数根

・••加1W0且△>().

*.*△—(2/77)2-4(办1)(/??-3)=4(2府3)

・・・2府3>0.

解得m>今

m的取值范围是m>一|■且内丰~1.

Q

(2)在加>下且加#=-1的范围内，最小奇数加为1.

此时，方程化为x+x-1=0.

VA=Z?2-4ac=12-4X1X(-1)=5

.-1±V5-1±V5

2X12

・・・方程的根为xi;¥，、2片区•

三、开平方法解一元二次方程

1.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为()

输入工|------J(1产|----->|X2|-------A|输出8

A.再=2，x2=-2B.毛=3，x2=-3C.毛=3，x2=-1D.毛=-3，x2=\

【答案】C

【解析】利用程序图中的程序列出方程，解方程即可解答.

由题意得：2(x-1)2=8

整理得：(x-1)2=4

直接开平方得：*-1=2或彳-1=-2

解得M=3,X2=-1.

故选：C.

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2.若一元二次方程a/=1（a>0）的两根分别是府1与2m-4,则这两根分别是（）

A.1,4B.1,-1C.2,-2D.3,0

【答案】C

【解析】方程af=i（5>o）的两根互为相反数，据此可得府1+2加-4=0,求得小的值，继而

可得答案.

由题意知，方程2，=1（2>0）的两根互为相反教

1+2/77-4=0

解得加=1

.•.冰1=2,2m-4=-2

故选：C.

3.若x=3是关于x的一元二次方程F=a的一个解，则a的值为（）

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【解析】把方程的解x=3代入方程，即可求出a的值.

Vx=3是方程f=a的解

a=32=9

故选:A.

2

4.已知关于x的方程勿（/a）?+n=0的解是％=-3,x2=1,则关于x的方程m（x^a-5）+n

=0的解是.

【答案】Xi=2,*2=6.

【解析】把关于x的方程加（户a-5）2+〃=。看作关于（x-5）的一元二次方程，则>-5=-3

或x-5=1,然后解一次方程即可.

二•关于x的方程m（x+a）2+〃=0的解是毛=-3,々=1

・•・关于（x-5）的方程加（/a-5）2+。=0的解满足*-5=-3或x-5=1

解得毛=2,々=6.

第14页共23页

故答案为：x]=2,X2=6.

5.对于实数a,b,定义一种运算“㊉”为：a®b=a-2b,若关于x的方程（xH）㊉（3m）=

0没有实数根，则实数m的取值范围为.

【答案】m<0.

【解析】根据定义的新运算可得：（/1）2-6/77=0,从而可得（加）2=6叫然后利用解一元

二次方程-直接开平方法进行计算，即可解答.

•・•（/1）㊉（3/77）=0

J（A+1）2-6m=Q

（A+1）2=6加

・・•方程（/1）©（3/77）=0没有实数根

6/77<0

：.m<0

故答案为：/V0.

6.解方程：（3x7）2=4（2户3）2.

【答案】解：由原方程，得

3x-1=±2|2/3|

则3x-1=4/6或3x-1=-4x-6

整理，得

x=-7或1x=-5

解得毛=-7,x2=-

7.关于x的一元二次方程丁+6/。=0（a#=0）的一个根是1,且凡。满足6=色4-2+V12a一

3,求关于y的方程92一。=0的根.

【答案】解：由题意得：a-220,4-2a20

解得：a=2

：.b=-3

第15页共23页

♦・•关于x的一元二次方程（a羊0）的一个根是1

，＞加c=0

c=1

则方程为。1=0

4

整理得：y=4

・,・%=2,y2=-2.

四、换元法解一元二次方程

1.若（x+y2-3）2=25,则/+/等于（）

A.8B.8或-2C.-2D.以上都不对

【答案】A

【解析】根据开平方法求解即可.

另/+/=m，则（m-3）三25

m-3=±5

m-3=5或勿-3=-5

解得：m=8或m=-2

Vx+y=m^Q

/+y=m=8

故选：A.

2.已知（研〃）2+2/7^2/7=0,则W〃的值是（）

A.0B,-2C.0或-2D.0或2

【答案】C

【解析】设研/7=x,则原方程化为f+2x=0,求出方程的解，再求出答案即可.

（/n）2+2frr^2n=Q

设而〃=x,则原方程化为：x+2x=Q

第16页共23页

x1/2）=0

x=Q或A+2=0

x=0或-2

所以而〃=0或-2.

故选:C.

3.已知关于x的一元二次方程3f-2xy-丁=0,则金=（）

A.1B.1或段C1或1D.

oOu

【答案】C

【解析】方程两边同时除以/,构造以2为未知数的一元二次方程，据此求解.

y

V3x-2xy-y=Q

A3（-）2-2--1=0

yy

解得：-=1或

y3

故选：c.

4.实数x,y满足（x"/）2-x-y-5=0,则/+丁=.

［答案］上△②

2

【解析】设＞2+/=上则220,原方程化为t2-t-5=0,解方程得区或土返L（舍

22

去），即可得出答案.

设¥+/=亡，则亡20

・•・原方程化为#-t-5=0

解得t=上逞L或上叵（舍去）

22

・."=上返I.

2

第17页共23页

故答案为：上M区.

2

5.已知x为实数，且满足（>2+/1），2（』+/1）-3=C,那么的值为.

【答案】1.

【解析】首先利用换元思想，把*2+卢1看作一个整体换为匕化为含y一元二次方程，解这个

方程即可.

另/=42+/1,则「+2v—3=。，即（y-1）（八3）=0

解得：y=1或y=-3

当x'+xH=-3时，即X2+A+4=0

△=12-4X1X4=-15<0,此时方程无解

当F+户1=1时，即x+x=0

△=12-4X1X0=1>0,此时方程有解

.,・¥+/1=1

故答案为：1.

6.对于方程（>2-1）2-5（?-1）+4=0,我们不妨将/-1视为一个整体，然后设*2-1=匕

则有（¥-1）2=y2,从而将原方程转化为丁-5yM=0.

解得乂=1,以=4.

当乂=1时，%-1=1,：.x=2,x=±V2：

当先=4时，x~1=4,%2=5,x=±J^.

，原方程的解为x2=-^2,治=赤，*4=一遍.

问题：利用上述方法解方程（f+x）（x+x-2）=-1.

【答案】解：设V+x=y,则y（y-2）=-1

（/-1）2=0

/1=/2=1

第18页共23页

当y=1时，x+x=1

•.•X_-l±V51

2

.,•原方程的解为：毛=二耳£,々=7产.

7.阅读理解

解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，

这一“神奇”的方法叫换元法.

例如：解方程：(x?-x)2-8(x2-x)+12=0.

解：设X?-x=p.原方程化为6一8>+12=0.(y-2)(了-6)=0.I.v-2=0或y-6=0.，乂

=2,%=6.

当V=2时，即，一*=2..・.(x-2)(A+1)=0,.,.*-2=0或/1=0.，毛=2,x2=-1

当y=6时，即X?-x=6.<x-3)(A+2)=0.x-3=0或A+2=0.x3=3fx4=-2.

原方程的解是M=2,X2=-1,七=3,x4=-2.

请你利用换元法解方程：(/-7)2-(x-7)-2=0.

【答案】解：设必-7=匕

原方程化为y-y-2=Q

(y-2)(yH)=0

2=0或y+-1=0

/i=2,y2=-1-

当y=2时，即x-7=2.

：.x=9

••x[39X],―t-3;

当y——1时，即x?-7=-1.

第19页共23页

,\x=6

・3=&,々=-泥.

二原方程的解是x=3,X2=--3,&=孤，x4=-V6-

五、根据一元二次方程根的情况求字母的值

1.若关于x的一元二次方程>-3/加=0有两个不相等的实数根，则实数加的值可以是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于勿的不等式，求出勿的取

值范围，进而可得出结论.

♦・,关于x的一元二次方程*2-3/切=0有两个不相等的实数根

AA>0,即△=（-3）2-4/77>0

解得mV,

4

工实数勿的值可以是2.

故选：D.

2.若关于x的一元二次方程>2+*-川=0有两个相等的实数根，则实数勿的值为（）

A.-4B.-4C.4D.4

44

【答案】B

【解析】利用根的判别式的意义得到△=<|2+4m=0,然后解方程即可.

根据题意得4=12+4加=0

解得m=

4

即777的值为..-

4

故选：B.

3.若关于X的一元二次方程