（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展一：平面向量的拓展应用 精讲（解析版）

拓展一：平面向量的拓展应用(精讲）目录题型1：平面向量基本定理应用题型2：平面向量夹角为锐角（钝角）问题题型3：向量模最值（范围）问题题型4：平面向量数量积最值（或范围）问题题型5：平面向量与三角函数的结合高考（模拟）题体验题型1：平面向量基本定理应用典型例题例题1．在中，E为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．12【答案】D【详解】解：，，三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D．例题2．如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【详解】因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且，所以，且，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为16，故选：A例题3．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由条件可得，∵∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．例题4．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为_______【答案】【详解】先证明结论：已知为直线外一点，、、三点共线存在、，使得且.因为为直线外一点，、、三点共线，则存在使得，所以，，则，取，，则且，所以，、、三点共线存在、，使得且；因为为直线外一点，若存在、，使得且，则，所以，，即，所以，、、三点共线，所以，、、三点共线存在、，使得且.所以，、、三点共线存在、，使得且.本题中，因为、、三点共线，且，所以，，解得.故答案为：.例题5．在中，过重心的直线交边于点，交边于点，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．【答案】【详解】根据题意，连接，作图如下：，在三角形中，因为为其重心，故可得结合已知条件可得：，因为三点共线，故可得，即，由题设可知，，又，得，故，令，可得，，则，又在单调递减，单调递增，当时，，当时，，当时，，故.故答案为：.同类题型演练1．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，而，于是得，又点M，O，N共线，因此，，即，又，解得，所以.故选：B2．在中，已知，，在方向上的投影为，P为线段上的一点，且.则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【详解】因为，在方向上的投影为，所以，解得：.因为，所以，即，所以，解得：.因为P为线段上的一点，且，所以，即.所以（当且仅当时取等号）.所以的最小值为4.故选：B3．如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】B【详解】先证明结论：设为与、、不在同一直线外的一点，三点、、共线且.若三点、、共线，可设，其中，则，所以，，设，则，所以，三点、、共线且.若且，则，所以，，可得，故三点、、共线，即三点、、共线且.所以，三点、、共线且.本题中，连接，则，因为、、三点共线，所以，由题意可知且，于是，当且仅当时，取到最小值.故选：B.4．设、为内的两点，且满足，，则__．【答案】【详解】由题意作下图：取的中点，连接，则；，故且,延长AP与BC交于F点，则，∴，，∴F点是EC的中点，，故答案为：．5．在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足()，则λ＝________.【答案】7【详解】法一:由已知得，①由M，O，N三点共线，知，使，故，故，整理得，②对比①②两式的系数，得,解得,故答案为：7法二：因为M是AB的中点，所以，于是，同理，将两式代入，整理得，因为M，O，N三点共线，故，使得，于是，显然不共线，故，故λ＝7，故答案为：7题型2：平面向量夹角为锐角（钝角）问题典型例题例题1．已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，与反向共线，且，所以不能推出与夹角为钝角；当与夹角为钝角时，，且与不反向共线，解得，且，此时可以推出，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.例题2．已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，为互相垂直的单位向量，所以，，由题设，，，则，，则，所以，即.当，可得，此时与的夹角为，不为锐角，综上，的范围为.故选：C.例题3．已知，若与的夹角为钝角.则实数的取值范围为______________.【答案】且【详解】由，又与的夹角为钝角，所以，即.当与反向共线时，即有，则，此时与的夹角为，综上，的取值范围为且.故答案为：且.例题4．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________．【答案】【详解】因为与的夹角为锐角，所以，即且、不共线，所以且，解得且，即实数x的取值范围为.故答案为：.同类题型演练1．已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题设：，当时，，，注意当时，，故充分性不成立.当与的夹角为锐角时，，解得.故必要性成立.故选：B.2．已知向量，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为向量与向量的夹角为钝角，所以且向量与向量不共线，所以且，所以且.故选：C3．已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，所以；因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.4．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．【答案】【详解】解：因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，所以且，解得且，所以的取值范围为，故答案为：5．已知向量，，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________.【答案】【详解】和的夹角为锐角，则，则，解之得又时，有，解之得，此时，、所成角为，故不合题意.综上，实数的取值范围为故答案为：题型3：向量模最值（范围）问题典型例题例题1．在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，，，，则，，，设，则，则，，，，，，，，其中，，当时，，当时，，当时，取得最大值，最大值为．故选：A．例题2．在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，则，所以，所以，所以当时，取最小值，故选：C例题3．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】A【详解】由题以为原点建立直角坐标系，则，设，设，则，则，当，即时，取得最小值为8.故选：A.例题4．已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为______.【答案】【详解】不妨设代入得：任意的恒成立，当时，最小值为：故答案为：例题5．已知与，要使最小，则实数的值为__________.【答案】【详解】，.当时，有最小值，故答案为：.同类题型演练1．已知点和点，点为坐标原点，则的最小值为（

）A． B．5 C．3 D．【答案】D【详解】由题意可得：，则：，结合二次函数的性质可得，当时，.本题选择D选项.2．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为7，故选：D．3．已知向量，，，若，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，且，则，所以，，，因此，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.4．已知向量，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【详解】向量，.当时，有最小值1.故选A.5．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【详解】不妨假设在上且，如下图示，所以，在且，设，则，，，所以，故，当时，的最小值为.故答案为：题型4：平面向量数量积最值（或范围）问题典型例题例题1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，所以，当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，所以的最大值为，故选：D.例题2．如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系.则由已知可得，，，，根据三角函数的定义知，.则，，所以，，因为，，所以.则，当，即时，该式子有最小值为-8.故选：A.例题3．如图直角梯形中，是边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.

【答案】【详解】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，即的取值范围为.故答案为：例题4．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边.若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.【答案】【详解】过点作于所以且,其中,当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为的取值范围是．故答案为：．例题5．半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是________．【答案】【详解】由得，所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，易得是等边三角形，所以，设四边形对角线的交点为E，，由极化恒等式得，，所以，因为是圆内一点，所以，所以，即.故答案为：同类题型演练1．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】解：如图令，由于，故，，如图，，故，，故同理可求得，即，所以所以当时，取得最大值为2，故选：C．2．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为______.【答案】【详解】由题意知：，设，所以故由于，所以，以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，所以A（﹣，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），设F（0，t），则＝（，t），＝，所以当t＝时，取最小值，故答案为：3．已知锐角外接圆的半径为，内角，，所对边分别为，，，，则的取值范围是____.【答案】【详解】因为，所以，，所以，因为，，所以，所以，故，即，所以的取值范围是.故答案为：.4．在梯形中，，，，是线段上的动点，若，则的取值范围是________【答案】【详解】解：由已知有：，，，，则，所以，因为，，，因为，其中为与的夹角，，因为，所以，又，所以．故答案为：．5．如图.在平面四边形中，，______；若点为边上的动点，则的最小值为___________.【答案】

2

【详解】连接，因为，故，在中，，故.所以，所以，所以，故，而，所以为等边三角形，故且，延长交的延长线于，则设，则，故，其中，故当时，有最小值.故答案为：.题型5：平面向量与三角函数的结合典型例题例题1．已知向量，满足，，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】要想不等式恒成立，只需，而，所以，即，则有，则有，所以，故选：D例题2．圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点圆上任意一点，（，），则的最大值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，所以，即内切圆的圆心为，半径为1，可设，又，∴，，∴，故得到，∴，，当时等号成立，即的最大值为2.故选：B.例题3．如图，已知向量满足：，且.若则___________.【答案】【详解】设，，，，故，，，，，，故，整理得到.故答案为：例题4．已知满足，是的边上一点，且，，则的最大值为______．【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，因为，，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又基本不等式可得，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故答案为：.例题5．已知平面向量，，，其中．(1)求函数的单调增区间；(2)将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到的图象，若在上恰有2个解，求的取值范围．【答案】(1)(2)（1）解：因为，且，所以，即，令，，解得，，又因为，所以函数的单调增区间为：．（2）解：因为，所以将函数的图象所有的点向右平移个单位得到，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）再向下平移个单位得到，又因为，所以，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，且，作出图像可得：所以的取值范围．例题6．已知向量，．(1)当时，求的值；(2)设函数，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，求在的值域．【答案】(1)；(2).（1）向量，，由得：，所以.（2）由（1）知，，，当时，，则有，即有，所以在的值域是.同类题型演练1．已知平面向量，若对任意的正实数的最小值为，则此时（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【详解】若，则当时有最小值，而，故不成立．∴∴当时有最小值，∴∴，∴∴故选：D．2．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，设，设，又，所以，可得，，所以，其中，又，所以，所以，，所以，的最小值为．故选：B.3．设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．①；②；③．【答案】①③【详解】由题意可知：．①，则，两边同时平方得到：，解得：，故①正确．②，则，，两边再平方得到：．所以|，所以②不正确．③，，两边平方得到：，，，同理可得：，，，．故，，且，，，即．故③正确．故答案为：①③4．给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为___________.【答案】【详解】设，如图，则，即，所以，因为，所以，所以故答案为：5．已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，(1)若，求角的大小；(2)在（1）的条件下，，求的最大值.【答案】(1)(2)（1）由题所以，即又因为，所以，.（2）由余弦定理，代入数据得：，整理得到解得，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.6．已知，，．(1)化简函数的解析式，并求最小正周期；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2)（1）因为，所以最小正周期为；（2）由于，所以，故，因为，所以，因此，所以，因此，由题意可得，解得，故实数m的取值范围为；综上，，最小正周期为，.高考（模拟）题体验1．已知向量，满足，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【详解】∵，∴，其中为向量，的夹角，即，当时，有最小值，故选:．2．已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】A【详解】设,,所以当时，取得最小值为.故选：A3．已知向量满足，，若向量，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由得，所以．如图：设，，，，由可知，，所以，即，所以，则，当且仅当时取得等号.设，由，可知A，B，C三点共线，由可知，所以，由等面积法可得：，得，所以的最大值为．故选：B．4．已知向量，，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】，故，又，当且仅当即等号成立，故的最大值为，故选：D.5．（多选）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】CD【详解】因为，且，所以不妨设，，如图，设．因为，则点在轴负半轴或射线上（不含原点），，，显然当在在轴负半轴的点时，，不满足，因此满足的点在射线上（不含原点），由得，即，所以，，只有CD满足．故选：CD．6．在中，内角，，的对边分别为，，，边的中点为，线段的中点为，且，则____________.【答案】【详解】边的中点为，线段的中点为，∴，又，∴，即，由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：.故答案为：7．如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.【答案】8【详解】设，，则，，，，所以，所以，又，所以，所以，因为，，所以，，所以，即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理所以，当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为8．故答案为：8．8．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．【答案】【详解】由已知，得，所以，因为，所以，，所以．故答案为：9．已知，若适合的任意正实数桓有，则的取值范围是__________.【答案】【详解】由等和线可知，只需保证在条件下，—①即可，由，再结合，化简①式得对恒成立.令，由于，又对称轴为，（1）当时，显然成立