（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.2.2 向量的减法运算 精讲（解析版）

6.2.2向量的减法运算(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:向量减法及其几何意义题型2：利用向量加减法运算化简表达式题型3：向量的模题型4：利用已知向量表示其它向量题型5：向量加减法运算的实际应用一、必备知识分层透析知识点1：向量的减法（1）相反向量与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:③若,互为相反向量,则，，.（2）向量减法定义向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.（3）向量减法的几何意义已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.知识点2：向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；二、重点题型分类研究题型1:向量减法及其几何意义典型例题例题1．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据平面向量减法原则，，而，故.故选：C例题2．已知正六边形，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由正六边形的特征可知：,所以故选：B例题3．已知向量，，，求作和.【答案】详见解析【详解】由向量加法的三角形法则作图：由向量三角形加减法则作图：同类题型演练1．化简向量等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，故选：D2．＝________.【答案】【详解】解：，故答案为：.3．在中，分别是的中点，则___________.【答案】【详解】利用三角形中位线定理知，所以.故答案为：4．化简下列式子：(1)；(2)；【答案】(1)(2)（1）原式（2）原式题型2：利用向量加减法运算化简表达式典型例题例题1．（多选））下列各式中，化简结果为的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】A.，故A正确；B.，故B正确；C.，故C正确；D.，故D不正确.故选：ABC例题2．化简（1）（2）；（3）＋．【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）方法一(统一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）同类题型演练1．等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意得：，故选：B.2．化简（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】故选：D.3．化简：（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C题型3：向量的模典型例题例题1．如图所示，单位圆上有动点，，当取得最大值时，等于（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为，A，B是单位圆上的动点，所以的最大值为2，此时与反向.故选：D.例题2．在四边形ABCD中，，若，则四边形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定【答案】B【详解】解：在四边形ABCD中，因为，所以四边形ABCD为平行四边形，又，即，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.例题3．已知非零向量，满足，则_________.【答案】【详解】如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则.因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以，所以.故答案为：．例题4．若，则的取值范围是_______________．【答案】【详解】因为，，所以有，故答案为：同类题型演练1．在矩形中，，则向量的长度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【详解】在矩形中，由可得,又因为,故，故，故选:A2．已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【详解】如图所示：设点是的中点，由题可知：.故选：C.3．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形，由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形，故选：C4．已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）①；②；③；④.【答案】①②③【详解】对于①，，故①成立；对于②，设分别为的中点，则，，，所以，故②成立；对于③，，所以，故③正确；对于④，，故④不成立.故答案为：①②③.5．若，则的取值范围为________，当取得最大值时，向量的方向________．【答案】

[0，4]

相同【详解】由知当时，两向量方向相同故答案为：[0，4]相同题型4：利用已知向量表示其它向量典型例题例题1．如图所示，已知到平行四边形的三个顶点的向量分别为，则________(用表示)．【答案】【详解】.故答案为：.例题2．如图所示，已知，，，，，，试用表示下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)(1)(2)(3)同类题型演练1．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.【答案】，，【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以，，.2．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，，，试用向量表示向量，，.【答案】，，【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以，，所以.3．如图所示，四边形是平行四边形，是该平行四边形外一点，且，，，试用向量、、表示向量与.【答案】，【详解】解：由平面向量的减法可得，.题型5：向量加减法运算的实际应用典型例题例题1．如图正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为3，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：A.例题2．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），，在格点上，则的最小值是____________；最大值是____________.【答案】

【详解】本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图，于是最小值为，最大值为.故答案为：.同类题型演练1．若，则的取值范围是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故的取值范围