（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.2.4 向量的数量积 精讲（原卷版）

6.2.4向量的数量积(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:与向量数量积有关的概念题型2：向量的夹角题型3：平面向量的数量积题型4：向量的投影题型5：向量垂直问题题型6：利用平面向量数量积求向量的模题型7：利用平面向量的模求参数题型8：利用平面向量数量积求最值三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面向量数列积的物理背景如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.知识点2：向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.(2)向量的夹角范围.(3)特殊情况：①，与同向；②，与垂直，记作；③，与反向.知识点3：平面向量数量积的概念（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0特别提醒:（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量,不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.（2）投影如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.特别提醒:①为向量在上的投影的数量；②为向量在上的投影的数量；③投影的数量（）是一个值，不是向量.知识点4：平面向量数量积的性质设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则①.

②.③当与同向时,；④当与反向时,；⑤或；⑥；⑦.知识点5：向量数量积的运算律①交换律：②对数乘的结合律：③分配律：④⑤二、重点题型分类研究题型1:与向量数量积有关的概念典型例题例题1．设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．如图，的外接圆圆心为，，，则（

）A． B． C．3 D．2例题3．已知边长为2的等边三角形，则___________．例题4．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则________．同类题型演练1．“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．在中，是边上的点，且为的外心，则（

）A．3 B． C． D．3．已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________.4．已知为单位向量，向量在上的投影向量为，且，则______．题型2：向量的夹角典型例题例题1．已知向量满足，且，则夹角为（

）A． B． C． D．例题2．已知，则（

）A．0 B． C． D．例题3．已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题4．平面向量，满足，，则与夹角最大值为______．例题5．已知平面向量满足，，且的夹角为．(1)若，求实数的值；(2)计算，夹角的余弦值．同类题型演练1．已知向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．已知向量满足，则与的夹角为_______________．3．已知非零向量满足，则的夹角大小是_________．4．已知向量､的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.5．已知.(1)求与夹角的余弦值.(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.题型3：平面向量的数量积典型例题例题1．若向量满足（

）A． B． C．1 D．2例题2．在中，，且，是的外接圆的直径，则的值（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题3．设向量，满足，则__________.例题4．已知等边的边长为4，若，则__________．例题5．已知在平行四边形中，，则值为__________．同类题型演练1．设向量的夹角的余弦值为，且，则（

）A．3 B．4 C． D．62．已知为的外心，，，则___________．3．在中，是边上的中点，且，，，，则__________．4．已知非零向量满足，，则___________．5．如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.题型4：向量的投影典型例题例题1．已知，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题3．已知，则在方向上的投影是_____．例题4．已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为__．同类题型演练1．设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（

）A． B． C． D．2．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知且，则向量在向量方向上的投影向量为________.题型5：向量垂直问题典型例题例题1．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（

）A．2 B． C． D．例题2．已知向量，的夹角为，且，若，则______.例题3．已知平面向量，，，，且与的夹角为．(1)求(2)若与垂直，求的值．例题4．已知，，与的夹角是．(1)计算；(2)当为何值时，？同类题型演练1．已知非零向量的夹角正切值为，且，则（

）A．2 B． C． D．12．已知，其中、分别为、轴正方向单位向量，若，则的值______．3．若向量满足与垂直，则__________．4．已知向量，若，(1)求与的夹角θ；(2)求；(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？题型6：利用平面向量数量积求向量的模典型例题例题1．已知，满足，，且，的夹角为，则（

）A． B．2 C．4 D．例题2．已知，，，则______.例题3．已知平面向量满足，则的最大值是__.例题4．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．例题5．已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．(1)若与垂直，求；(2)若，求的最小值及对应的的值.同类题型演练1．已知平面向量满足，则的最小值为___________.2．已知，为两个互相垂直的单位向量，则______.3．平面向量与的夹角为，，则_______________．4．若平面向量两两的夹角相等且不为，且，，则____________5．已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为____________．题型7：利用平面向量的模求参数典型例题例题1．已知向量，夹角为，且，，则（

）A．3 B． C．4 D．5例题2．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．例题3．已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数的取值范围是___________.同类题型演练1．已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．两不共线的向量，，满足，且，，则（

）A． B． C． D．3．已知单位向量，满足，则与夹角的取值范围是（）A． B． C． D．题型8：利用平面向量数量积求最值典型例题例题1．如图，在平面四边形，，，，．若点为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．已知是边长为1的正六边形内或其边界上的一点，则的取值范围是________.例题3．在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是______．例题4．在中，，，，，则___________，若动点在线段上，则的最小值为___________.同类题型演练1．在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（

）A．[2，14] B．[0，12]C．[0，6] D．[2，8]2．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.3．如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是_____________．4．已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为__________.三、高考（模拟）题体验1．已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．22．已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（

）A． B． C． D．3.（多