（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.1基本立体图形（第1课时）精讲（解析版）

8.1基本立体图形（第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:棱柱的结构特征题型2：棱锥、棱台的结构特征题型3：空间几何体的展开图及应用题型4：空间几何体的截面图及应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：空间几何体的相关概念（1）空间几何体如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（2）多面体由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.（3）旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.知识点2：棱柱（1）棱柱的定义定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱知识点3：棱锥（1）棱锥的定义定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥底面：多边形面侧面：有公共顶点的各三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点（2）棱锥的图形（3）棱锥的分类及表示按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥知识点4：棱台（1）棱台的定义定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（2）棱台的图形（3）棱台的分类及表示由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各顶点字母表示棱柱，如棱台二、重点题型分类研究题型1:棱柱的结构特征典型例题例题1．以下各几何体中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.故选：D例题2．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；③如图3，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A例题3．如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．【答案】【详解】解：沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，且.例题4．如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点，分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__.【答案】【详解】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，连接，交于点，交于点，则即为周长的最小值，则，由勾股定理得：.故答案为：.同类题型演练1．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥【答案】A【详解】由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义．故选:A.2．关于棱柱，下列说法正确的是______．（选填序号）①所有的棱长都相等；②相邻两个面的交线叫做侧棱；③棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；④棱柱中至少有两个面的形状完全相同；⑤在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有2个．【答案】④⑤【详解】①棱柱的所有的侧棱长都相等，所有的棱长不一定相等.判断错误；②相邻两个侧面的交线叫做侧棱，相邻两个面的交线可能是底面的边.判断错误；③正四棱柱中相对的两个侧面互相平行.判断错误；④棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同.判断正确；⑤在斜棱柱的所有侧面中，最多互相平行的两个侧面可以是矩形，则矩形最多有2个．判断正确；故答案为：④⑤3．已知正方体的棱长为2，M为的中点，点N在侧面内，若，则△ABN面积的最小值为________．【答案】【详解】取BC中点E，连接，由，，，可得：，∴，则，即，取AD中点F，连接EF，则四边形为平行四边形，∴．∵点N在侧面内，且，∴N在上，且N到AB的最小距离为，∴△ABN面积的最小值为．故答案为：4．如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为___________.【答案】【详解】连接，与平面交于点E，易知平面，作点C关于平面的对称点N，易知，连接NP，由，得，且，∴，当M为NP与平面的交点时取等号，则MC+MP的最小值为.故答案为：.题型2：棱锥、棱台的结构特征典型例题例题1．下列说法中正确的个数为（

）①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．A． B． C． D．【答案】D【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.故选：D.例题2．下面四个几何体中，是棱台的是（

）A． B． C．D．【答案】C【详解】A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．故选：C例题3．如图，在正四棱台中，棱，，的夹角为，，则棱，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由棱台的定义可知，分别延长，，，交于点P，连接AC，如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以△PAB是边长为2的等边三角形，所以.又在正方形中，,则，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选：D例题4．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为___________．【答案】.【详解】设正四棱台的高、斜高分别为h，x．所以，解得．再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得，解得．故答案为：．同类题型演练1．如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（

）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体【答案】C【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选：C.2．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是.故选：C3．正六棱锥高为1，侧棱长为2，则底面边长为___________.【答案】【详解】解：依题意如下正六棱锥，则，，为等边三角形，所以，则底面边长为，故答案为：4．正四棱锥的所有棱长均为2，则该棱锥的高为___________.【答案】【详解】解：如图，四棱锥中，连接、交于点，连接，根据正棱锥的性质可知平面，即即为棱锥的高，因为，所以，所以故答案为：题型3：空间几何体的展开图及应用典型例题例题1．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【详解】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．故选：B．例题2．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.【答案】6【详解】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为，其高为，即四棱锥的高为，则，，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，由已知折叠过程可得，，则，.故答案为：6.例题3．在直三棱柱中，，，，是棱上的一点，则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，将三棱柱的侧面展开如图所示，当三点共线时，的周长的最小，此时，即的周长的最小值为，故选：C例题4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点，分别为面和线段上动点，则周长的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】在平面上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知，关于B1C1的对称点为N，，连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为时，则MN是△PEQ周长的最小值，，,∴△PEQ周长的最小值为故选：B同类题型演练1．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；故选：B.2．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为______cm．【答案】13【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形构成的大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于，宽等于5，由勾股定理．故答案为：13．3．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______.【答案】【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示，则△AED周长为，由于两点之间线段最短，所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长，因为，所以，因为，所以，所以截面△AED周长的最小值为，故答案为：.4．一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？【答案】(1)四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”【详解】试题分析：（1）从一个几何体的表面展开平面图分析，此几何体是四棱台（2）把展开的平面图还原为四棱台即得结果.试题解析：(1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．题型4：空间几何体的截面图及应用典型例题例题1．在正方体中，点是棱上的动点，则过，，三点的截面图形是（

）A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能【答案】D【详解】所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形；当点与重合时，过、、三点的截面是矩形；当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示：所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形．故选：D例题2．（多选）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（

）A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形【答案】AC【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC．例题3．（多选）在正方体中，，，过，的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（

）A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱【答案】ABC【详解】如图，连接，则平面可截得三棱锥，故A正确；如图，过作，过作，则过E，F的平面可截得直三棱柱，故B正确.如图，延长至，连接，分别与交于两点，则可得平面截得三棱台，故C正确；因为将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱，故D错误.故选：ABC.同类题型演练1．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C2．（多选）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】BD【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.故选：BD三、高考（模拟）题体验1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】如图，正四棱锥，为底面中心，则平面，设为的中点，连接，令，则由题意可得，且，解得.故选：C.2．（多选）下列说法中正确的是（

）A．长方体是直四棱柱B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台C．正棱锥的侧面是全等的等腰